Диссертация (1137475), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Åñëè ξ = 0 èëè ξ = 12 , òî ýòî óðàâíåíèå Ïåíëåâå VI,íàïèñàííîå â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìå ñ îñîáûì âûáîðîì ïàðàìåòðîâ [61].434.2Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÒîäûÁóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû òàê, ÷òîáû u(z, t), η(t)è τ (t) çàâèñåëè îò âðåìåíè ÷åðåç îäíó ïåðåìåííóþ λ = λ(t): u(z, t) =u(z, λ(t)), η(t) = η(λ(t)), τ (t) = τ (λ(t)). Êàê ìû óæå âûøå îáñóæäàëè, òàêèå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ îäíîêîìïîíåíòíûìè ðåäóêöèÿìè. Íàøàöåëü - îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ ôóíêöèé u(z, λ), η(λ), τ (λ), êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñî âñåé èåðàðõèåé.
Äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì ìû ñòàâèìλ = τ . Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ τ.E(u) = ζ1 (u|τ ) + ζ4 (u|τ ) = ζ1 u 2Íàì ïîíàäîáèòñÿdS(u)= S 0 (u)∂τ u + Ṡ(u),dτà òàêæå (109), óìíîæåííàÿ íà 2,4πiṠ(u) = 2S 0 (u)ζ2 (u) + π 2 θ44 (0),(125)(126)èS (x1 −x2 ) −E(x1 )+E(x2 )+2ζ2 (x1 −x2 ) +π 2 θ44 (0) = S 0 (x1 )S 0 (x2 ). (127)0Ýòè òîæäåñòâà áûëè äîêàçàíû íàìè â [21]. Ïîäñòàâëÿÿ (126) â (125),ïîëó÷àåìdS(u)04πi= S (u) 4πi∂τ u + 2ζ2 (u) + π 2 θ44 (0).dτ(128)Ðàññìàòðèâàÿ îäíîêîìïîíåíòíóþ ðåäóêöèþ ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåïîäñòàíîâêèñ óñëîâèåì4πi∂τ η = E(ξ − η) − E(ξ)4πi∂τ u = −E(u + ξ) + E(ξ) 4πi∂ ū = −E(ū + ξ)¯ + E(ξ)¯τ(129)ξ + ξ¯ = η(130)óðàâíåíèÿ (96) ñòàíîâÿòñÿ òîæäåñòâàìè (íåêîòîðûå äåòàëè ðàñ÷åòîâïðèâåäåíû â Ïðèëîæåíèè V).
Ýòî ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåäóêöèÿ ñîãëàñîâàííà ñ èåðàðõèåé, ïðè÷åì ξ , ξ¯ - ëþáûå ôóíêöèè îò τ , ñ óñëîâèåì44¯ ) = η(τ ). Çàìåòèì, ÷òî η ïîä÷èíÿåòñÿ òîìó æå äèôôåðåíöèξ(τ ) + ξ(τàëüíîìó óðàâíåíèþ, ÷òî è u(z).Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îãðàíè÷åíèå ξ + ξ¯ = η , ìîæíî ïîëîæèòüξ(τ ) =η(τ )+ iκ(τ ),2¯ ) = η(τ ) − iκ(τ ),ξ(τ2(131)ãäå κ(τ ) - ïðîèçâîëüíàÿ âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, èãðàþùàÿ ðîëü"óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè". Òîãäà óðàâíåíèÿ (129) ìîæíî ïåðåïèñàòü èñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 4.2.Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèèu(z, τ ), ū(z, τ ) è η(τ ) áûëè ñîâìåñòíûìè ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé ÏôàôôÒîäà, ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ4πi ∂τ η(τ ) = −E( η2 + iκ) − E( η2 − iκ)4πi∂τ u(z, τ ) = −E(u + η2 + iκ) + E( η2 + iκ)(132) 4πi∂ ū(z, τ ) = −E(u + η − iκ) + E( η − iκ)τ22ñη(τ )¯ ) = η(τ ) − iκ(τ ),+ iκ(τ ),ξ(τ22ãäå κ(τ ) - "óïðàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ".ξ(τ ) =(133)Óðàâíåíèÿ ðåäóöèðîâàííîé èåðàðõèè çàïèñûâàþòñÿ äëÿ çàâèñèìîéïåðåìåííîé τ .
×òîáû ïîëó÷èòü èõ, íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñîîòíîøåíèÿ∇(z)τ =dS(u(z))/dτdτ∇(z) log ρ =∂t0 τ ,d log ρd log ρ/dτ(134)dτ ¯dS(ū(z̄))/dτ∇(z̄) log R =∂t0 τ ,(135)d log RdS(η)/dτêîòîðûå ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿñëîæíîé ôóíêöèè. Èõ ïðàâûå ñòîðîíû ìîãóò áûòü äîïîëíèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíû ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (AV.2), (AV.3), (AV.5), (AV.6) èç Ïðèëîæåíèÿ V.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì¯∇(z̄)τ=S 0 (u(z) + ξ)∂t0 τ ,∇(z)τ =S 0 (ξ)¯S 0 (ū(z̄) + ξ)¯∇(z̄)τ = −∂t0 τ.S 0 (ξ)45(136)Ýòî ïðîèçâîäÿùèå óðàâíåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íîé ðåäóöèðîâàííîé èåðàðõèè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà.
×òîáû íàïèñàòü èõ ÿâíî, ìûèñïîëüçóåì ðàçëîæåíèåS(u(z) + v) = S 0 (v) +X z −kk≥1kBk0 (v) ,k ≥ 1.(137)(Ôóíêöèè Bk = Bk (v|τ ) ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè àíàëîãàìè ïîëèíîìîâ Ôàáåðà, Bk0 (v) = ∂v Bk (v).) Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0∂τ∂τ= ψk (ξ(τ )|τ ),∂ t̄k∂t0(138)¯ )|τ )B̄k0 (ξ(τψk (ξ(τ )|τ ) = − 0.S (ξ(τ )|τ )(139)ãäåBk0 (ξ(τ )|τ ),φk (ξ(τ )|τ ) = 0S (ξ(τ )|τ )Ôîðìàëüíî ìû ìîæåì ðàñïðîñòðàíèòü ýòó ñèñòåìó è íà çíà÷åíèå k = 0,ïîëîæèâ B00 () = S 0 (). Ïðè k = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå¯ t τ + S 0 (ξ)∂t̄ τ = 0.S 0 (ξ)∂00(140)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå ãîäîãðàôà:Xk≥1tk φk (ξ(τ )) +Xt̄k ψ0 (ξ(τ )) = Φ(τ ).k≥0Çäåñü Φ - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îò τ .46(141)5N-êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ5.1Ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà è áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ ýòîé ÷àñòè ìû ïîêàæåì, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû ýëëèïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà äàåò ðåøåíèå èåðàðõèè dDKP (N -êîìïîíåíòíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ðåäóêöèÿ).
Ïóñòü u = u(z, {λi }) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò z èäåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ {λi } = {λ1 , . . . , λN }. Ðàññìîòðèì ñèñòåìóýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà (Ãîëóçèíà-Êîìàöó) ∂τ1 ∂u−ζ1 (u + ξj ) − ζ4 (u + ξj ) + ζ1 (ξj ) + ζ4 (ξj )=,∂λj4πi∂λj(142)ãäå ζa (x) = ζa (x, τ ) = ∂x log θa (x, τ ) ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìè äçåòà-ôóíêöèèÂåéåðøòðàññà, ξj è τ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèè îò {λi }: ξj = ξj ({λi }),τ = τ ({λi }). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ξj - âåùåñòâåííîçíà÷íûå ôóíêöèè.Íàéäåì ∂λj S(u(z1 ) − u(z2 )): ∂u∂u2 ∂τ1−+ Ṡ(u1 − u2 ),∂λj S(u1 − u2 ) = S (u1 − u2 )∂λj ∂λj∂λj0ãäå ìû èñïîëüçóåì ñîêðàùåíèå ui ≡ u(zi ). Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà (142) è ôîðìóëóπ2 42πiṠ(u) = S (u)ζ2 (u, τ ) +θ (0, τ ),2 40(143)èìååì:∂λj S(u1 −u2 ) =h1 0S (u1 − u2 ) −ζ1 (u1 + ξj ) − ζ4 (u1 + ξj ) + ζ1 (u2 + ξj ) + ζ4 (u2 + ξj )+=4πiπ 2 θ44 (0, τ ) i ∂τ1 0∂τ+ 2ζ2 (u1 − u2 ) + 0=S (u1 + ξj )S 0 (u2 + ξj ),S (u1 − u2 ) ∂λj4πi∂λj(144)ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òîæäåñòâîì (A15) èç [21].
 ÷àñòíîñòè, óñòðåìëÿÿ z2 → ∞, ìû ïîëó÷èì∂λj S(u(z)) =∂τ1 0S (ξj )S 0 (u(z) + ξj ).4πi∂λj47(145)Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûå âûøå ôóíêöèè u(z, {λi }), τ ({λi }), ïîñòðîèìðåøåíèÿ èåðàðõèè dDKP u(z) è τ , êîòîðûå çàâèñÿò îò âðåìåí ÷åðåç λi :u(z, t) = u(z, {λi (t)}), τ (t) = τ ({λi (t)}). Ýòî íàçûâàåòñÿ N êîìïîíåíòíîé ðåäóêöèåé èåðàðõèè. Òîãäà óðàâíåíèå (85) ïðèíèìàåò âèäNX∇(z1 )λj · ∂λj S(u(z2 )) =j=1NX∂t0 λj · ∂λj S(u(z1 ) − u(z2 )).j=1Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà(144), (145), ïîëó÷àåì:NXNX∂τ∂τ∇(z1 )λj ·S (ξj )S (u(z2 )+ξj )=∂t0 λj ·S 0 (u(z1 )+ξj )S 0 (u(z2 )+ξj ).∂λ∂λjjj=1j=100(146)Òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî åñëè ââåñòè çàâèñèìîñòü λj îò t ïîñðåäñòâîì ñîîòíîøåíèÿ0∇(z)λj =S (u(z) + ξj ) ∂λj,S 0 (ξj )∂t0(147)óðàâíåíèå (146) òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (84) òàêæå âûïîëíÿþòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå ðåäóêöèè óðàâíåíèå(84) ïðèìåò âèäNX∇(z3 )λj · ∂λj S(u(z1 ) − u(z2 )) = (ñèì. îòí. ïåðåñòàíîâîê z1 , z2 , z3 ).j=1Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà (144), ïîëó÷èì:NX∇(z3 )λj ·S 0 (u(z1 )+ξj )S 0 (u(z2 )+ξj ) = (ñèì. îòí. ïåðåñòàíîâîê z1 , z2 , z3 ),j=1(148)÷òî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ∇(z)λj çàäàåòñÿ (147). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèèu(z, t) = u(z, {λi (t)}), τ (t) = τ ({λi (t)}) óäîâëåòâîðÿþò èåðàðõèè dDKP.Óðàâíåíèå (147) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. ×òîáû çàïèñàòü èõ ÿâíî,ââåäåì ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè Ôàáåðà Φk (u), ðàñêëàäûâàÿS(u(z) + w) = S(w) +∞Xz −kk=148kΦk (w)èëè00S (u(z) + w) = S (w) +∞Xz −kk=1kΦ0k (w),(149)ãäå Φ0k (w) = ∂w Φk (w).
Òîãäà ñèñòåìà (147) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:∂λj∂λj= φj,k ({λi }),∂tk∂t0φj,kΦ0k (ξj )= 0.S (ξj )(150)Îíà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé äèàãîíàëüíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. Λj èãðàþò ðîëü èíâàðèàíòîâÐèìàíà. Çàìåòèì, ÷òî Φ0k (w) çàâèñèò îò λj îò τ è u(z). Ïðîèçâîäÿùàÿôóíêöèÿ íà φj,k ({λi }) ïîëó÷àåòñÿ èç (149):Xz −kφj,k ({λi }),Q u(z, {λi }, ξj ({λi }), τ ({λi }) = 1 +k(151)k≥1Óäîáíî ïîëîæèòü φi,05.2S 0 (u + ξ, τ )Q(u, ξ, τ ) =.S 0 (ξ, τ )= 1.(152)Ñèñòåìà Ãèááîíñà-ÖàðåâàÇäåñü è íèæå ìû èñïîëüçóåì ñîêðàùåíèå τ 0 = τ2 .
Ìîæåì ïåðåïèñàòüýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå. ∂τ1 ∂u==−ζ1 (u + ξj , τ ) − ζ4 (u + ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ) + ζ4 (ξj , τ )∂λj4πi∂λj ∂τ1 00=−ζ1 (u + ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ).4πi∂λj(153)Òåîðåìà 5.1. Óñëîâèåì ñîâìåñòèìîñòè ñèñòåìû ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà ∂τ∂u1 00=−ζ1 (u + ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λj(154)ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà ∂τ∂ξk1 00=ζ1 (−ξk + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λj49(155)∂ 2τ∂τ ∂τ1℘1 (ξk − ξj , τ 0 )=,∂λk ∂λj2πi∂λk ∂λj(156)äëÿ âñåõ j = 1, . . . , N , j 6= kÄîêàçàòåëüñòâî.
Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòèFjk (u) :=Íà÷íåì ñ∂ ∂u∂ ∂u−= 0.∂λj ∂λk ∂λk ∂λj ∂τ∂u1 00=−ζ1 (u + ξk , τ ) + ζ1 (ξk , τ ).∂λk4πi∂λkÒîãäà∂ ∂u1 h 0∂u∂ξk∂ξk=−ζ1 (u + ξk , τ 0 )(+) + ζ10 (ξk , τ 0 )−∂λj ∂λk4πi∂λj ∂λj∂λk ∂ 2τ i∂ζ1 (u + ξk ) ∂τ ∂ζ1 (ξk ) ∂τ ∂τ00−.++(−ζ1 (u+ξk , τ )+ζ1 (ξk , τ )∂τ∂λj∂τ ∂λj ∂λk∂λj ∂λkÍàì ïîíàäîáèòñÿ ñîîòíîøåíèå4πi∂ζ1 (u, τ 0 )1= −ζ1 (u, τ 0 )℘1 (u, τ 0 ) − ℘01 (u, τ 0 ).∂τ2(157)Òîãäà ∂τ ∂ξ ∂τ1 h1 ∂ ∂uk=℘1 (u + ξk )−ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj )+ ℘1 (u + ξk ) − ℘1 (ξk )+∂λj ∂λk4πi4πi∂λj∂λj ∂λk+ ∂τ i111 ζ1 (u + ξk )℘1 (u + ξk ) + ℘01 (u + ξk ) − ζ1 (ξk )℘1 (ξk ) − ℘01 (ξk )+4πi22∂λj ∂ 2τ1 +−ζ1 (u + ξk ) + ζ1 (ξk )=4πi∂λj ∂λk ∂ 2τ ∂ξ ∂τ1 k−ζ1 (u + ξk ) + ζ1 (ξk )+ ℘1 (u + ξk ) − ℘1 (ξk )4πi∂λj ∂λk∂λj ∂λk1 ∂τ ∂τ h1 00℘(u+ξ)(ζ(u+ξ)−ζ(u+ξ)+ζ(ξ))+℘(u+ξ)−℘(ξ)1k1k1j1 jk1 k(4πi)2 ∂λk ∂λj2 1i−ζ1 (ξk )℘1 (ξk ) .=Àíàëîãè÷íî ∂ 2τ ∂ξ ∂τ∂ ∂u1 j−ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj )=+ ℘1 (u + ξj ) − ℘1 (ξj )∂λk ∂λj4πi∂λk ∂λj∂λk ∂λj501 ∂τ ∂τ h1 00℘1 (u + ξj )(ζ1 (u + ξj ) − ζ1 (u + ξk ) + ζ1 (ξk )) +℘ (u + ξj ) − ℘1 (ξj )(4πi)2 ∂λj ∂λk2 1i−ζ1 (ξj )℘1 (ξj ) .Òîãäà ðàçíîñòü ðàâíà ∂ 2τ∂ ∂u∂ ∂u1 −=−ζ1 (u + ξk ) + ζ1 (ξk ) + ζ1 (u + ξj ) − ζ1 (ξj )∂λj ∂λk ∂λk ∂λj4πi∂λk ∂λj1 ∂τ ∂τ h−℘1 (u + ξj ) ζ1 (u + ξj ) − ζ1 (u + ξk ) + ζ1 (ξk ) +(4πi)2 ∂λj ∂λk+℘1 (u + ξk ) ζ1 (u + ξk ) − ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj ) +i1 1 0000(ξ)+℘(ξ)+(u+ξ)−℘+(u+ξ)−℘℘−ζ(ξ)℘(ξ)+ζ(ξ)℘(ξ)+jk1 j1 j1 j1 j1 k11 j2(4πi)2 1(4πi)2 ∂ξ ∂τ ∂ξ ∂τ1 1 kj℘1 (u + ξk ) − ℘1 (ξk )−℘1 (u + ξj ) − ℘1 (ξj ).+4πi∂λj ∂λk 4πi∂λk ∂λjËåâàÿ ÷àñòü ïðèíèìàåò âèä2∂τ ∂τ∂τ(1) ∂ξj ∂τ(2) ∂ τ− Fkj+ Fjk+ Gjk.
(158)∂λj ∂λk∂λk ∂λj∂λj ∂λk∂λj ∂λk(1) ∂ξkFjk (u) = FjkÊîýôôèöèåíòû:(1)Fjk1 00=℘1 (u + ξk ), τ ) − ℘1 (ξk , τ ) ,4πi1 0000=−ζ1 (u + ξk , τ ) + ζ1 (ξk , τ ) + ζ1 (u + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ) ,4πi1 00000000Gjk =℘ (u + ξk , τ ) − ℘1 (u + ξj , τ ) − ℘1 (ξk , τ ) + ℘1 (ξj , τ ) +2(4πi)2 11 000ζ1 (u + ξk , τ ) − ζ1 (u + ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ) ℘1 (u + ξk , τ 0 )−+2(4πi)1 000ζ(u+ξ,τ)−ζ(u+ξ,τ)+ζ(ξ,τ)℘1 (u + ξj , τ 0 )+−1j1k1 k2(4πi)1 0000+−ζ1 (ξk , τ )℘1 (ξk , τ ) + ζ1 (ξj , τ )℘1 (ξj , τ ) ,(4πi)2(2)Fjkãäå ℘a (x, τ ) = −∂x ζa (x, τ ), ℘0a (x, τ ) = ∂x ℘a (x, τ ).Çàìåòèì, ÷òî51• ℘1 (u, τ 0 ) - ýëëèïòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäàìè 1 è τ 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
