Диссертация (1137475), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Íàêîíåö, â ïÿòîì ïàðàãðàôå ìû îáñóæäàåìñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû. Ïîäðîáíîñòè âû÷èñëåíèé â ïîëíîì îáúåìåñîäåðæàòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ.1322.1Óðàâíåíèÿ ËåâíåðàÈñòîðèÿ óðàâíåíèÿ ËåâíåðàÊàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà îäíîëèñòíûõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé íàôèêñèðîâàííóþ êàíîíè÷åñêóþ îáëàñòü ïîä÷èíÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ëåâíåðà. Ðàáîòû Äæ. Ãèááîíñà è Ñ.
Öàðåâà, äåìîíñòðèðóþò ñâÿçü óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ñ èíòåãðèðóåìûìè èåðàðõèÿìè íåëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Òàê, õîðäîâîåóðàâíåíèå Ëåâíåðà âîçíèêàåò â ñâÿçè ñ ðåäóêöèÿìè èåðàðõèè ÊÏ â áåçäèñïåðñèîííîì (äëèííîâîëíîâîì) ïðåäåëå è ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè ñî âñåé áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé.Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü â èåðàðõèèáåçäèñïåðñèîííîé äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû.×òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó ñóùåñòâóåò ñòîëüêî ðàçíîâèäíîñòåé óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà, è êàê îíè ïîÿâëÿëèñü, íà÷íåì ñ ðàáîòû Ëåâíåðà.Ñàìîé âàæíîé ðàáîòîé Ê. Ëåâíåðà â îáëàñòè êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ åãî ñòàòüÿ [2] 1923-îãî ãîäà, ãäå îí ââåë øèðîêî èçâåñòíûé íûíå ïàðàìåòðè÷åñêèé ìåòîä Ê.
Ëåâíåðà è òàê íàçûâàåìûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà, ÷òî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü ïåðâûéíåýëåìåíòàðíûé ñëó÷àé çíàìåíèòîé ãèïîòåçû Áèáåðáàõà: åñëè f ÿâëÿåòñÿ îäíîëèñòíîé ôóíêöèåé, îïðåäåëåííîé íà åäèíè÷íîì êðóãå â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ðàçëîæåíèå êîòîðîé îêîëî íóëÿ äàåòñÿf (z) = z + a2 z 2 + ... + an z n + . . . ,òîãäà |an | ≤ n äëÿ ëþáîãî n ≥ 1.Ê. Ëåâíåðó óäàëîñü äîêàçàòü, ÷òî |a3 | ≤ 3.
Ãèïîòåçà Áèáåðáàõà áûëà,íàêîíåö, äîêàçàíà Ë. äå Áðàíæåì [45] â 1985 ãîäó  ñâîåì äîêàçàòåëüñòâå Ë. äå Áðàíæ èñïîëüçîâàë èäåè áëèçêèå ê Ê. Ëåâíåðó, è óðàâíåíèåëèøü îòäàëåííî íàïîìèíàâøåå óðàâíåíèå Ëåâíåðà, à òàêæå ñâîþ ñîáñòâåííóþ äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ òåîðèþ îïåðàòîðîâ êîìïîçèöèè.Òåì íå ìåíåå, îñíîâûâàÿñü íà èäåÿõ Ë. äå Áðàíæà, Ê. Ôèòöäæåðàëüä è Õ. Ïîììåðåíêå [46] ñóìåëè ïåðåïèñàòü äîêàçàòåëüñòâà â êëàññè÷åñêèõ òåðìèíàõ, ïðèìåíÿÿ óðàâíåíèå Ëåâíåðà è îáåñïå÷èâàÿ, òàêèìîáðàçîì, ìîùíîå ïðèëîæåíèå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà Ëåâíåðà. Ðàáîòà [2]ñòàëà èñòî÷íèêîì âäîõíîâåíèÿ äëÿ öåëîãî ðÿäà ìàòåìàòèêîâ. Ìåòîäû,ââåäåííûå â íåé, ïîëó÷èëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå è äàëè íà÷àëî ìíîãèì14èíòåðåñíûì ðåçóëüòàòàì.
Ýòî îñîáåííî âåðíî äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, êîòîðûå îí âïåðâûå ðàññìîòðåë â ñâîåé çíàìåíèòîé ðàáîòå, è äàííûé ïàðàãðàô ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåáîëüøèì ýêñêóðñîì â ðàçâèòèåòåîðèè Ëåâíåðà, åå ïðèëîæåíèé è îáîáùåíèé.Ìû õîòåëè áû çàêîí÷èòü ýòî ââåäåíèå, íàïîìíèâ, ÷òî îäíèì èç ïîñëåäíèõ âûäàþùèõñÿ âêëàäîâ â ýòó áóðíî ðàçâèâàþùóþñÿ òåîðèþ áûëîîòêðûòèå ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà (LSE ), òàêæå èçâåñòíîåêàê óðàâíåíèå Øðàììà-Ëåâíåðà.
Ýòî óðàâíåíèå áûëî ïîëó÷åíî è èçó÷åíî Î. Øðàììîì âìåñòå ñ Ã. Ëîóëåðîì è Â. Âåðíåð â ñåðèè ñîâìåñòíûõðàáîò, êîòîðûå ïðèâåëè, ñðåäè ïðî÷åãî, ê äîêàçàòåëüñòâó ãèïîòåçû Ìàíäåëüáðîòà î ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà áðîóíîâñêîé ãðàíèöû [47, 48]. Ýòîäîñòèæåíèå ñòàëî îäíîé èç ïðè÷èí, ïî êîòîðîé Â. Âåðíåð áûë íàãðàæäåí ìåäàëüþ Ôèëäñà â 2006 ãîäó2.2Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà ñâîåé ðàáîòå 1923 ãîäà [2] Ê. Ëåâíåð äîêàçàë, ÷òî êëàññ îòîáðàæåíèé ñîäíèì ðàçðåçîì (ò.å.
â äàííîì ñëó÷àå ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé, îäíîçíà÷íî îòîáðàæàþùèõ åäèíè÷íûé êðóã D ⊂ C íà äîïîëíåíèå æîðäàíîâîéäóãè â C) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì ïîäìíîæåñòâîì â êëàññå âñåõ îäíîëèñòíûõôóíêöèé â åäèíè÷íîì êðóãå, íîðìàëèçîâàííûõ óñëîâèÿìè F (0) = 0 èF 0 (0) = 1. Îí òàêæå îòêðûë ñïîñîá ïàðàìåòðèçîâàòü îòîáðàæåíèÿ ñîäíèì ðàçðåçîì. Ïóñòü g îòîáðàæåíèå ñ ðàçðåçîì, ÷åé îáðàç C áåçðàçðåçà ïî æîðäàíîâîé äóãå γ : [0, +∞) → C .Ê. Ëåâíåð ðàññìîòðåë ñåìåéñòâî (gt ) îäíîëèñòíûõ îòîáðàæåíèé â D,çàïàðàìåòðèçîâàííûõ âðåìåíåì t ∈ [0, +∞), ãäå g0 = g , gt îòîáðàæåíèå, îáðàçîì êîòîðîãî ñëóæèò C áåç æîðäàíîâîé äóãè γ|[t,+∞) . Ñåìåéñòâîîáëàñòåé gt (D) ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùèì, ÷åì áëèæå t ê ∞, òåì áîëüøåîáëàñòü ñòðåìèòñÿ ê C.Êëþ÷åâîå íàáëþäåíèå Ê. Ëåâíåðà çàêëþ÷àëîñü â òîì, ÷òî ñåìåéñòâî(gt ) ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Òî÷íåå,ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ k : [0, +∞) → ∂D, íàçûâàåìàÿ óïðàâëÿþùåé ôóíêöèåé, òàêàÿ ÷òî (gt ) óäîâëåòâîðÿåòk(t) + w ∂gt (w)∂gt (w)=w.∂tk(t) − w ∂w(34)Ýòî óðàâíåíèå îáû÷íî íàçûâàþò ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Ëåâíåðà â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ê.
Ëåâíåð òàêæå îòìåòèë è èñïîëüçîâàë, ÷òî15ñâÿçàííîå ñåìåéñòâî ãîëîìîðôíûõ îòîáðàæåíèé â ñåáÿ åäèíè÷íîãî äèñêà ϕs,t := (gt−1 ◦ gs ) äëÿ 0 ≤ s ≤ t äàåò ðåøåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿdwk(t) + w= −w(35)dtk(t) − wñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì w(s) = z ∈ D. Óðàâíåíèå (35) íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Ëåâíåðà. Ïðèëàãàòåëüíîå "ðàäèàëüíûé" â íàçâàíèè ïðîèñõîäèò îò òîãî, ÷òî îáðàç êàæäîãî ϕs,t ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéåäèíè÷íûé êðóã áåç æîðäàíîâîé äóãè, êîòîðàÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê ñâîåãîðîäà ðàäèóñó, êîãäà t ñòðåìèòñÿ ê ∞.Óðàâíåíèå Ëåâíåðà äëÿ äâóõ ðàçðåçîâ ìîæåò áûòü èçó÷åíî ñàìîñòîÿòåëüíî áåç êàêèõ-ëèáî ññûëîê íà ñåìåéñòâà îäíîëèñòíûõ îòîáðàæåíèé.C íà÷àëüíûì óñëîâèåì w(s) = z óðàâíåíèå Ëåâíåðà (35) èìååò åäèíñòâåííîå wsz (t) ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå äëÿ âñåõ t ∈ [s, +∞).
Áîëåå òîãî,ϕs,t := wsz (t) ÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíûì îòîáðàæåíèåì åäèíè÷íîãî äèñêà âñåáÿ äëÿ âñåõ 0 ≤ s ≤ t < +∞. Òåì íå ìåíåå, áåç óñëîâèé íà óïðàâëÿþùóþ ôóíêöèþ, â öåëîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà íå ÿâëÿþòñÿîòîáðàæåíèÿìè ñ ðàçðåçîì. Íàïðèìåð,Ï. Êóôàðåâ â 1947 ãîäó ïðèâåëïðèìåðû íåïðåðûâíûõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî îáðàçû ðåøåíèÿ (35) ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ïîäîáëàñòè êðóãà, îãðàíè÷åííûå ãèïåðáîëè÷åñêèìè êðèâûìè è íå ÿâëÿëèñü îòîáðàæåíèÿìè ñ ðàçðåçîì.
Êàêîéèìåííî äîëæíà áûòü óïðàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ, ÷òîáû ðåøåíèå áûëî îòîáðàæåíèåì ñ ðàçðåçîì ýòî âîïðîñ, êîòîðûé áûë è äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿîñíîâíîé çàäà÷åé â äàííîé îáëàñòè.Äæ. Ëèíä, Ä. Ìàðøàë è Ñ. Ðîäýíåñêîëüêî ïðîÿñíèëè ïîíèìàíèå äàííîé ïðîáëåìû â ñâîèõ ðàáîòàõ, ñì.[49, 50, 51], à òàêæå ññûëêè â [52].Íà ñàìîì äåëå, ñëåäîâàòü èñòîðè÷åñêîìó ðàçâèòèþ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ìåòîäà âåñüìà òðóäíî, ïîòîìó ÷òî, âî-ïåðâûõ, â ñåðåäèíå 20-ãî âåêàíåêîòîðûå ðàáîòû ïîÿâèëèñü íåçàâèñèìî, à âî-âòîðûõ, íåêîòîðûå èç íèõáûëè îïóáëèêîâàíû â Ñîâåòñêîì Ñîþçå, îñòàâàÿñü ÷àñòè÷íî íåèçâåñòíûìè çàïàäíûì ìàòåìàòèêàì.  ëþáîì ñëó÷àå, íà äàííûé ìîìåíò øèðîêîèçâåñòíî, ÷òî Ï. Êóôàðåâ è Õ. Ïîììåðåíêå áûëè ó÷åíûìè, êîòîðûå ñóìåëè ïîêàçàòü âñþ ìîùü ïàðàìåòðè÷åñêîãî ìåòîäà Ëåâíåðà.2.3Õîðäîâîå óðàâíåíèå 1946 ãîäó Ï.
Êóôàðåâ [53] ïðåäëîæèë óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè àíàëîãè÷íî ââåäåííîìó Ê. Ëåâíåðîì äëÿ åäèíè÷16íîãî êðóãà.  1968 ãîäó Ï. Êóôàðåâ, Â. Ñîáîëåâ è Ë. Ñïîðûøåâà [54]óñòàíîâèëè ïàðàìåòðè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà ýòîì óðàâíåíèè, äëÿêëàññà îäíîëèñòíûõ ôóíêöèé â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè.
Êðîìå òîãî, âîâòîðîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà ñîâåòñêàÿ øêîëà èíòåíñèâíî èçó÷àëàóðàâíåíèå Êóôàðåâà. Íàäî îòìåòèòü âêëàä È. Àëåêñàíäðîâà [30], Ñ.Àëåêñàíäðîâà è Â. Ñîáîëåâà [57], Â. Ãîðÿèíîâà, È. Áà [58, 59]. Ýòè ðàáîòû ïî áîëüøåé ÷àñòè áûëè íåèçâåñòíû ìíîãèì çàïàäíûì ìàòåìàòèêàìâ îñíîâíîì ïîòîìó, ÷òî íåêîòîðûå èç íèõ ïîÿâèëèñü â æóðíàëàõ, íå òàêëåãêî äîñòóïíûõ çà ïðåäåëàìè Ñîâåòñêîãî Ñîþçà.  ëþáîì ñëó÷àå, ìûîòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê ðàáîòå [60], êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïîëíóþ áèáëèîãðàôèþ åãî ðàáîò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ââåñòè óðàâíåíèå Êóôàðåâà ïðàâèëüíî,èçìåíèì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü γ æîðäàíîâà äóãà â âåðõíåéïîëóïëîñêîñòè H ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé γ(0) = 0.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå gt : H \γ[0, t] → H , íîðìàëüçîâàííîåêàê1c(t)+ O( 2 ).zzÏîñëå ïåðåïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé γ , ìîæíî ïîëîæèòü c(t) = 2t. Ñ òàêîé íîðìàëèçàöèåé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî gt óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìóäèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:gz (t) = z +∂gt (w)2=,∂tgt (z) − h(t)g0 (z) = z.Ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ âðåìåíè Tz ∈ (0, +∞], êîòîðîå ìîæíîîõàðàêòåðèçîâàòü êàê ïåðâîå òàêîå t, ïðè êîòîðîì gt (z) ∈ R è h - íåïðåðûâíàÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ äàííîéíåïðåðûâíîé ôóíêöèè h : [0, +∞) → R, ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷óäëÿ êàæäîãî z∂w2=,∂tw − h(t)w(0) = z.(36)Ïóñòü t 7→ wz (t) äàåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è Êîøè, è ïóñòügt (z) := wz (t).
Òîãäà gt (z) ãîëîìîðôíî îòîáðàæàåò ïîäîáëàñòü H (íåîáÿçàòåëüíî H ñ ðàçðåçîì) íà H. Óðàâíåíèå (36) íàçûâàåòñÿ õîðäîâûìóðàâíåíèåì Ëåâíåðà ñ óïðàâëÿþùåé ôóíêöèåé h. Íàçâàíèå ñâÿçàíî ñòåì, ÷òî, êîãäà t ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êðèâàÿ γ[0, t] ðàçâèâàåòñÿâî âðåìåíè â ñâîåãî ðîäà õîðäó, ñîåäèíÿþùóþ äâå ãðàíè÷íûå òî÷êè. 2000 ãîäó Î. Øðàìì [73] ðåøèë çàìåíèòü óïðàâëÿþùóþ ôóíêöèþíà ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ, îòâå÷àþùóþ çà áðîóíîâñêîå äâèæåíèå, ÷òîáû ñèñïîëüçîâàíèåì ïîëó÷åííîãî õîðäîâîãî óðàâíåíèå Ëåâíåðà (SLE), èçó17÷èòü ïðîöåññû íà ïëîñêîñòè, èìåþùèå îòíîøåíèå ê ðÿäó çàäà÷ îò òåîðèè âåðîÿòíîñòè äî êîìïëåêñíîãî àíàëèçà, è âñå ýòî ñîâåðøåííî íîâûìñïîñîáîì.
 ñàìîì äåëå, SLE áûëî îòêðûòî Î. Øðàììîì êàê ïðåäïîëàãàåìûé ñêåéëèíãîâûé ïðåäåë âåðîÿòíîñòíûõ ïðîöåññîâ äëÿ ïëàíàðíûõíàêðûâàþùèõ îäíîðîäíûõ äåðåâüåâ è ïëàíàðíûõ áåçïåòëåâûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé.  äàííûé ìîìåíò SLE íàøëî øèðîêîå ïðèìåíåíèå âçàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè.2.4Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ è ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà×òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàê èìåííî óðàâíåíèå Ëåâíåðà âîçíèêàåò â êîíòåêñòå èíòåãðèðóåìûõ èåðàðõèé, ðàññìîòðèì áåçäèñïåðñèîííóþèåðàðõèþ ÊÏ, òî÷íåå, åå óðàâíåíèå Õèðîòû â ñëåäóþùåì âèäå:eD(z1 )D(z2 )F =z1 − z2 − ∂t1 D(z1 )F + ∂t1 D(z2 )F,z1 − z2ãäåD(z) =X z −kk≥1k∂tk .Ââåäåì ôóíêöèþp(z) = z − ∂t1 D(z)F.(37)(38)(39)Ñ åå ïîìîùüþ óðàâíåíèå (37) çàïèøåòñÿeD(z1 )D(z2 )F =p(z1 ) − p(z2 ).z1 − z2Ïðîëîãàðèôìèðóåì åãî:D(z1 )D(z2 )F = log(p(z1 ) − p(z2 )) − log(z1 − z2 ),âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ ïî t1 :∂t1 D(z1 )D(z2 )F = ∂t1 log(p(z1 ) − p(z2 )).Ó÷òåì âèä p(z) è ∂t1 z = 0, ïîëó÷èì:−D(z1 )p(z2 ) = ∂t1 log(p(z1 ) − p(z2 )).(40)Äàííîå óðàâíåíèå è áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåäóêöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
