Диссертация (1137475), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. .}.  ñëó÷àå dmKP ýòîò íàáîð äîïîëíÿåòñÿ âåùåñòâåííûì t0 .  ñëó÷àå áåçäèñïåðñèîííîé äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû âðåìÿ t0 ïî-ïðåæíåìó âåùåñòâåííîå, â òî âðåìÿ êàê îñòàëüíûå ñòàíîâÿòñÿ êîìïëåêñíûìè, ò. å.èìåþòñÿ äâà íàáîðà âðåìåí {t1 , t2 , . . .} è {t̄1 , t̄2 , . . .}, êîòîðûå êîìïëåêñíîñîïðÿæåíû äðóã äðóãó. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå óðàâíåíèå â (99) è óðàâíåíèå (98) èäåíòè÷íû. Ïîäðîáíîñòè ñì. â [19, 20].Ñðàâíåíèå dPfa-KP ñ dKP è dmKP. ïåðâóþ î÷åðåäü, çàìåòèì,÷òî èç óðàâíåíèÿ dmKP (98) ñëåäóåò (97). Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèñàâ (98)â âèäå z12 eD1 D2 F = z1 e−D1 F0 −z2 e−D2 F0 è ïðîñóììèðîâàâ óðàâíåíèÿ äëÿïàð 12, 23, 31, íàéäåì z12 eD1 D2 F + z23 eD2 D3 F + z31 eD1 D3 F = 0. Óñòðåìèâz3 → ∞, ïîëó÷èì (97).
Äåéñòâóÿ òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîóðàâíåíèå (98), ïåðåïèñàííîå ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ∇(z) â ôîðìå(z1−1 −z2−1 )e∇1 ∇2 F = z1−1 e−∇1 F0 −z2−1 e−∇2 F0 , ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ 1 z −1 e∇2 ∇3 F1 1 z −1 e∇1 ∇3 F2 1 z3−1 e∇1 ∇2 F = 0.(100) ñâîþ î÷åðåäü, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþò àíàëîãè÷íûå äåòåðìèíàíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ñîäåðæàùèå áîëüøå ïåðåìåííûõ.
 ÷àñòíîñòè, ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî èç (100) ñëåäóåò1 z1−1 z1−2 e(∇2 ∇3 +∇3 ∇4 +∇4 ∇2 )F −1−2(∇1 ∇3 +∇3 ∇4 +∇4 ∇1 )F 1 z2 z2 e = 0.1 z3−1 z3−2 e(∇1 ∇2 +∇2 ∇4 +∇4 ∇1 )F −1−21 z4 z4 e(∇1 ∇2 +∇2 ∇3 +∇3 ∇1 )F (101)Íà ñàìîì äåëå ýòî áåçäèñïåðñèîííûé ïðåäåë îäíîãî èç âûñøèõ óðàâíåíèé ðàçíîñòíîé èåðàðõèè Õèðîòû [74].
Òåïåðü ðàññìîòðèì èåðàðõèþ36dPfa-KP â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìå. Ïîäñòàâëÿÿ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ(73) (äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàð ïåðåìåííûõ) â òîæäåñòâîθ1 (u12 )θ1 (u23 )θ1 (u31 )θ1 (u12 )θ1 (u24 )θ1 (u41 )−+θ4 (u12 )θ4 (u23 )θ4 (u31 )θ4 (u12 )θ4 (u24 )θ4 (u41 )+(102)θ1 (u13 )θ1 (u34 )θ1 (u41 )θ1 (u23 )θ1 (u34 )θ1 (u42 )−= 0,θ4 (u13 )θ4 (u34 )θ4 (u41 )θ4 (u23 )θ4 (u34 )θ4 (u42 )ìû ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå äëÿ ôóíêöèè F â òî÷íî òàêîé æå ôîðìå (101),êàê è âûñøåå óðàâíåíèå èåðàðõèè dmKP.  òî æå âðåìÿ íè îäíî èç ðåøåíèé ïîñëåäíåé íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (46), (47) ,áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ. Äåéñòâèòåëüíî, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå,óðàâíåíèå (97) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ èåðàðõèè dmKP; ïîäñòàâëÿÿ åãî â (46),ïîëó÷èìe2∂t0 (2∂t0 +D(z)+D(ζ))F = 0, ÷òî íåâîçìîæíî äëÿ ëþáîé F .
Íàïðèìåð, ïðîñòåéøèì ðåøåíèåì äëÿ (100) è (101) ÿâëÿåòñÿ F = 0, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì äëÿ (46). Òàêèì îáðàçîì, èç (100) ñëåäóåò (101), íî íå íàîáîðîò.Áåçäèñïåðñèîííàÿ öåïî÷êà Òîäû.Îòìåòèì òàêæå èçâåñòíóþ ðåäóêöèþ d2DTL, ïîëó÷àþùóþñÿ ïðè íàëîæåíèè óñëîâèé ∂tk F = ∂t̄k Fäëÿ âñåõ k ≥ 1 , ÷òî îçíà÷àåò D(z)F = D̄(z)F . Ýòà èåðàðõèÿ íàçûâàåòñÿ áåçäèñïåðñèîííîé öåïî÷êîé Òîäû (dTC):dTC:ze−∂t0 D(z)F − ζe−∂t0 D(ζ)FD(z)D(ζ)Fe=z−ζ −D(z)D(ζ)Fe= 1 − (zζ)−1 e∂t0 (∂t0 +D(z)+D(ζ))F .(103)1Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ω(z) = ze− 2 F00 −∂t0 D(z)F , ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (103)â âèäå1ω(z) − ω(ζ)e− 2 F00 +D(z)D(ζ)F =z−ζ e−D(z)D(ζ)F = 1 −1.ω(z)ω(ζ)(104)Îòìåòèì ñõîæåñòü ñ (51), (52).
Ñîãëàñíî [13], ïåðåìíîæèâ ýòè óðàâíåíèÿ,1ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âûðàæåíèå z−e 2 F00 (ω(z)+ω −1 (z)) íå çàâèñèòîò z . Óñòðåìëÿÿ z → ∞, íàõîäèì, ÷òî ýòà êîíñòàíòà ðàâíà F01 . Òàêèì37îáðàçîì, ïåðåìåííûå z è ω óäîâëåòâîðÿþò àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþz=e12 F001 ω(z) ++ F01 ,ω(z)(105)êîòîðîå îïðåäåëÿåò ðàöèîíàëüíóþ (ðîäà 0) êðèâóþ.Íàêîíåö, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ ÏôàôôÊÏ (46), (47) ñîäåðæèò áåçäèñïåðñèîííóþ öåïî÷êó Òîäû êàê ðåäóêöèþ(ñì. [13, Óòâåðæäåíèå 4.1]). Ðàññìîòðèì òàêèå ðåøåíèÿ dPfa-KP, ÷òî∂t2k+1 F = 0 äëÿ âñåõ k ≥ 0. Ïåðåîïðåäåëèì âðåìåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:t̃n = 2t2n , n ≥ 1, t̃0 = 12 t0 .
Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (46),(47) ïðåâðàùàþòñÿ â ñèñòåìó óðàâíåíèé−∂t̃0 D̃(z 2 )F̃−∂t̃0 D̃(ζ 2 )F̃ze−ζe22D̃(z)D̃(ζ)F̃e=z2 − ζ 2 e−D̃(z 2 )D̃(ζ 2 )F̃ = 1 − (z 2 ζ 2 )−1 e∂t̃0 (∂t̃0 +D̃(z 2 )+D̃(ζ 2 ))F̃íà ôóíêöèþ F̃ (t̃0 , t̃1 , t̃2 , . . .) = F (t0 , 0, t2 , 0, t4 , 0, . . .), ãäå D̃(z) =X z −k ∂, ÷òî ýêâèâàëåíòíî (103).k ∂ t̃kk≥138(106)4Îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè4.1Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏÏîòðåáóåì, ÷òîáû u(z, t) è τ (t) çàâèñåëè îò âðåìåí ÷åðåç ïåðåìåííóþλ = λ(t): u(z, t) = u(z, λ(t)), τ (t) = τ (λ(t)). Òàêèå ðåøåíèÿ áóäóò íàçûâàòüñÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèåé. Ôóíêöèÿ u(z, λ) íå ìîæåò áûòüïðîèçâîëüíîé.
Íàøà ñëåäóþùàÿ öåëü îõàðàêòåðèçîâàòü êëàññ ôóíêöèé u(z, λ), τ (λ), ÷òîáû îíè áûëè ñîãëàñîâàíû ñî ñòðóêòóðîé èåðàðõèèè ìîãëè áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè.4.1.1 Óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèèÒåîðåìà 4.1. Ôóíêöèÿ u(z, τ ) ñîâìåñòíà ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé dDKP,åñëè óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ4πi ∂τ u(z) = −ζ1 (u(z)+ξ(τ )|τ )−ζ4 (u(z)+ξ(τ )|τ )+ζ1 (ξ(τ )|τ )+ζ4 (ξ(τ )|τ ),(107)ãäå ξ(τ ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé îò τ .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðèìåíÿÿñëîæíîé ôóíê ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿöèè ê S u(z, t)|τ (t) = S u(z, λ(t)) | τ (λ(t)) , ïîëó÷èì:∇(z1 )S(u(z2 )) = [∇(z1 )λ] ∂λ u(z2 )S (u(z2 )) + ∂λ τ Ṡ(u(z2 )) .0Äàëåå äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè áóäåì ïèñàòü u(z) = u(z, λ), S(u) = S(u|τ )è S 0 (u) = ∂u S(u|τ ), Ṡ(u) = ∂τ S(u|τ ).
Çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ (85):dλdλ∇(z1 ) log R =∂t S(u(z1 )) =d log Rd log R 0dλ0=∂t λ ∂λ u(z1 )S (u(z1 )) + ∂λ τ Ṡ(u(z1 )) .d log R 0Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì:∂t0 S u(z1 )−u(z2 ) =∇(z1 )λ =h i0= ∂t0 λ ∂λ u(z1 )−∂λ u(z2 ) S u(z1 )−u(z2 ) + ∂λ τ Ṡ u(z1 )−u(z2 ) .39Ôîðìóëû óïðîñòÿòñÿ, åñëè âûáðàòü λ = τ .∇(z1 )S(u(z2 )) = [∇(z1 )τ ] ∂τ u(z2 )S (u(z2 )) + Ṡ(u(z2 )) =0dτ00=∂t τ ∂τ u(z1 )S (u(z1 ))+Ṡ(u(z1 )) ∂τ u(z2 )S (u(z2 ))+Ṡ(u(z2 )) .d log R 0Îòêóäà ïîëó÷àåì:dτ00∂t τ ∂τ u(z1 )S (u(z1 ))+ Ṡ(u(z1 )) ∂τ u(z2 )S (u(z2 ))+ Ṡ(u(z2 )) =d log R 0h i0= ∂t0 τ ∂τ u(z1 )−∂τ u(z2 ) S u(z1 )−u(z2 ) + Ṡ u(z1 )−u(z2 ) .Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ∂t0 τ íå íóëü, èìååì:hihi0∂τ u(z1 )S (u(z1 )) + Ṡ(u(z1 )) ∂τ u(z2 )S (u(z2 )) + Ṡ(u(z2 )) =0 id log R h0∂τ u(z1 )−∂τ u(z2 ) S u(z1 )−u(z2 ) + Ṡ u(z1 )−u(z2 ) .=dτ(108)Ýòî îòíîøåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå:dS(u(z1 )) dS(u(z2 ))d log R dS u(z1 )−u(z2 )=,(109)dτdτdτdτãäå d/dτ ïîëíàÿ τ -ïðîèçâîäíàÿ.×òîáû äâèãàòüñÿ äàëüøå, íàì íóæíî çíàòü, ÷åìó ðàâíî Ṡ(u).
Îíîîïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéπ2 42πi Ṡ(u) = S (u) ζ2 (u) +θ (0),2 40(110)êîòîðàÿ äîêàçûâàåòñÿ â Ïðèëîæåíèè II. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå1ζa (u) = ζa (u|τ ) = ∂u log θa (u|τ ).Âñå íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà ýòèõ ôóíêöèé ìîæíî íàéòè â Ïðèëîæåíèè I(ñì. (AI.11), (AI.12)). Óìíîæèâ îáå ÷àñòè íà (4πi)2 , âîñïîëüçóåìñÿ (110)1 Îáðàùàåìëÿåòñÿâíèìàíèå íà òî, ÷òî ñòàíäàðòíûì îáîçíà÷åíèåì äëÿ ôóíêöèè ÝéçåíøòåéíàE1 .40ζ1ÿâ-è ïåðåïèøåì (108) â âèäå2 42 4(0)(0)πθπθS 0 (u1 ) 4πi ∂τ u1 +2ζ2 (u1 )+ 0 4S 0 (u2 ) 4πi ∂τ u2 +2ζ2 (u2 )+ 0 4=S (u1 )S (u2 )d log R 0π 2 θ44 (0)S (u1 −u2 ) 4πi(∂τ u1 −∂τ u2 )+2ζ2 (u1 −u2 )+ 0,= 4πidτS (u1 −u2 )(111)ãäå uj ≡ u(zj ) çàïèñûâàåì äëÿ êðàòêîñòè. Òåïåðü ìîæíî óâèäåòü, ÷òîïîäñòàâëÿÿ 4πi ∂τ u = −ζ1 (u + ξ) − ζ4 (u + ξ) + ζ1 (ξ) + ζ4 (ξ),(112)024πi ∂τ log R = (S (ξ)) ,ãäå ξ ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, (111) îáðàùàåò â òîæäåñòâî.
Ïîäðîáíîñòè äàíû â Ïðèëîæåíèÿõ III è IV. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ u(z, τ )ñîâìåñòíà ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé, åñëè óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ4πi ∂τ u(z) = −ζ1 (u(z)+ξ(τ )|τ )−ζ4 (u(z)+ξ(τ )|τ )+ζ1 (ξ(τ )|τ )+ζ4 (ξ(τ )|τ ),(113)ãäå ξ(τ ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé îò τ . Ñ ïîìîùüþζ1 (u|τ )+ζ4 (u|τ ) = ζ1 (u| τ2 ) óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå:ττ4πi ∂τ u(z) = −ζ1 u(z) + ξ(τ )|+ ζ1 ξ(τ )| .(114)22Ýòî ýëëèïòè÷åñêèé àíàëîã óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà, èçâåñòíîãî òàêæå êàêóðàâíåíèå Ãîëóçèíà-Êîìàöó [28, 29].
Òàêæå ìîæíî óâèäåòü, ÷òî4πi ∂τ log R = (S 0 (ξ(τ )))2(115)ïîëó÷àåòñÿ â ïðåäåëå èç (113), êîãäà z → ∞. Ôóíêöèÿ ξ(τ ) íàçûâàåòñÿ "óïðàâëÿþùåé ôóíêöèåé" , îïðåäåëÿþùåé ôîðìó ðàçðåçà â òåîðèèËåâíåðà.  íàøåì ñëó÷àå îíà îïðåäåëÿåò ðåäóêöèþ.Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ:a) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, äîêàçàííûõ â ïðèëîæåíèè, ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ S(u(z)) ïî τ ðàâíà:dS(u(z))004πi= S (ξ(τ )) S u(z) + ξ(τ ) .dτ41(116)á) ìîæíî èçáàâèòáñÿ îò âòîðîãî ÷ëåíà, íåçàâèñÿùåãî îò u(z), â ïðàâîé ñòîðîíå óðàâíåíèÿ (114) âûáîðîì íîðìèðîâêè. Äåéñòâèòåëüíî,ðàññìîòðèì ũ(z) = u(z) + c0 (τ ), ò.å.c1 (τ ) c2 (τ )ũ(z) = c0 (τ ) ++ 2 + ...zzñ1c0 (τ ) = −4πiZττ0τ0 ζ1 ξ(τ )dτ 020è ïîëîæèâ ξ˜ = ξ − c0 .
Òîãäà ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà(114) ïðèìåò âèäτ˜4πi ∂τ ũ(z) = −ζ1 ũ(z) + ξ(τ ) .2(117)4.1.2 Ñèñòåìà óðàâíåíèé è èõ ðåøåíèå×òîáû îïèñàíèå îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áûëî ïîëíûì, ìû äîëæíûâûâåñòè óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò τ (t) è íàéòè åãî ðåøåíèÿ.Èñïîëüçóÿ òîò æå ìåòîä, ÷òî áûë èñïîëüçîâàí â (109), çàïèøåì:∇(z)τ =dS(u(z))/dτ∂τ u(z)S 0 (u(z)) + Ṡ(u(z))∂t0 τ =∂t0 τ.d log R/dτd log R/dτÏîäñòàâëÿÿ (115) è (116), ïîëó÷èì:S 0 u(z) + ξ(τ )∇(z)τ =(118)∂t0 τ.S 0 (ξ(τ ))Ýòî ïðîèçâîäÿùåå óðàâíåíèå äëÿ èåðàðõèè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà. ×òîáû çàïèñàòü èõ, âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåìS 0 (u(z) + u) = S 0 (u) +X z −kk≥1kBk0 (u),(119)êîòîðîå îïðåäåëÿåò ôóíêöèè Bk0 (u) = Bk0 (u|τ ).  òåðìèíàõ ýòèõ ôóíêöèé, óðàâíåíèÿ èåðàðõèè ïîñëå ðåäóêöèè âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂τ∂τ= φk (ξ(τ )|τ ),∂tk∂t0Bk0 (ξ(τ )|τ )φk (ξ(τ )|τ ) := 0,S (ξ(τ )|τ )k ≥ 1.(120)Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:∞Xtk φk (ξ(τ )|τ ) = Φ(τ ),k=142(121)ãäå Φ(τ ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ îò τ .
 ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäàΦ(τ ) = 0, ìû çàêëþ÷àåì èç (121), ÷òîXk≥1íàÿ ôóíêöèÿ îò âðåìåí ñòåïåíè 0.tk∂τ= 0, ò.å τ (t) - îäíîðîä∂tk4.1.3 Ñâÿçü ñ Ïåíëåâå VIÐàññìîòðèì ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà â íîðìèðîâêå (117), îïóñêàÿ òèëüäó â îáîçíà÷åíèè è èçìåíÿÿ τ → 2τ , ïîëó÷àåì: 2πi ∂τ u(z) = −ζ1 u(z) + ξ τ .(122) êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé âîçìîæíûé ñëó÷àé, êîãäàξ íå çàâèñèò îò τ : ξ = const (â ñëó÷àå dKP òàêîé âûáîð óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè ïðèâîäèò ê áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Êîðòåâåãà-äå Ôðèçà (ÊäÔ) èëè èåðàðõèè åé ýêâèâàëåíòíîé). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u(z) =u(z, τ ) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ. Ëåãêîå âû÷èñëåíèåñ èñïîëüçîâàíèåì (AI.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (ξ, τ ) := ζ1 u(z, τ ) + ξ|τïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè4πi ∂τ f (ξ, τ ) = ∂ξ2 f (ξ, τ ).(123)Ïðèìåíÿÿ ∂τ ê îáåèì ñòîðîíàì óðàâíåíèåÿ (122) è, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèåòåïëîïðîâîäíîñòè (123), ìû ïîëó÷àåì:(2πi)2 ∂τ2 u =1 0℘ (u + ξ),2(124)ãäå ℘(u) = −∂u ζ1 (u) + const ÿâëÿåòñÿ ℘ -ôóíêöèåé Âåéåðøòðàññà ñ ïåðèîäàìè 1 è τ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
