Диссертация (1137475), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Èçóðàâíåíèé (50) âèäíî, ÷òî ôóíêöèè w(z), p(z) ïðèíèìàþò âåùåñòâåííûåçíà÷åíèÿ ïðè âåùåñòâåííîì z . Ó÷èòûâàÿ ýòîò ôàêò, óäîáíî íîðìèðîâàòüu(z) óñëîâèåì u(∞) = 0, òàê ÷òî ðàçëîæåíèå îêîëî ∞ áóäåò èìåòü âèäc1 (t) c2 (t)+ 2 + . . . , ci ∈ R.(72)zzËåììà 3.2.  ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèè óðàâíåíèÿ (51) è (52)ñòàíîâÿòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, èõ ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê îäíî.u(z, t) =Äîêàçàòåëüñòâî. Óáåäèìñÿ â ýòîì.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåw(z1 ) − w(z2 )1θ4 (u1 )θ4 (u2 ) θ1 (u1 − u2 )=−,p(z1 ) + p(z2 )γ θ2 (0)θ3 (0) θ1 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u1 − u2 )ãäå ui ≡ u(zi ). Ïðîäåëàåì ýòî, ïîäñòàâèâ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ w è p:θ42 (u1 )θ12 (u1 )−θ42 (u2 )θ12 (u2 )w(z1 ) − w(z2 )=1 ) θ3 (u1 )p(z1 ) + p(z2 )2γθ4 (0) θθ21 (u(u1 ) θ4 (u1 ) +=θ42 (u1 )θ12 (u2 )−θ42 (u2 )θ12 (u1 )θ12 (u1 )θ12 (u2 )=γθ42 (0)=θ2 (u2 ) θ3 (u2 )θ1 (u2 ) θ4 (u2 )θ1 (u2 ) θ4 (u2 )θ2 (u1 ) θ3 (u1 )+θ1 (u1 ) θ4 (u1 )θ2 (u2 ) θ3 (u2 )θ1 (u1 ) θ4 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u2 )=θ42 (u1 )θ12 (u2 ) − θ42 (u2 )θ12 (u1 )θ1 (u1 ) θ4 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u2 )=222θ1 (u1 )θ1 (u2 )γθ4 (0) (θ1 (u2 ) θ4 (u2 )θ2 (u1 ) θ3 (u1 ) + θ1 (u1 ) θ4 (u1 )θ2 (u2 ) θ3 (u2 ))=1 θ1 (u1 + u2 )θ1 (u2 − u1 )θ42 (0)θ4 (u1 ) θ4 (u2 )=γθ42 (0)θ1 (u1 )θ1 (u2 )θ1 (u1 + u2 ) θ4 (u2 − u1 )θ2 (0) θ3 (0)=1θ4 (u1 ) θ4 (u2 ) θ1 (u2 − u1 )=γθ2 (0)θ3 (0) θ1 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u2 − u1 )=−1θ4 (u1 ) θ4 (u2 ) θ1 (u1 − u2 ).γθ2 (0)θ3 (0) θ1 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u1 − u2 )29Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òîæäåñòâàìè:θ1 (y + z)θ1 (y − z)θ42 (0) = θ42 (z)θ12 (y) − θ42 (y)θ12 (z),θ1 (y + z)θ4 (y − z)θ2 (0)θ3 (0) = θ2 (z)θ3 (z)θ1 (y)θ4 (y) − θ2 (y)θ3 (y)θ1 (z)θ4 (z).Ïîëó÷èëè, ÷òî ñ îäíîé ñòîðîíûw(z1 ) − w(z2 )= (z1 − z2 )eD(z1 )D(z2 )F −2∂t0 F .p(z1 ) + p(z2 )À ñ äðóãîé1θ4 (u1 )θ4 (u2 ) θ1 (u1 − u2 )=γ θ2 (0)θ3 (0) θ1 (u1 )θ1 (u2 ) θ4 (u1 − u2 )−1 pθ1 (u1 − u2 )==w(z1 )w(z2 )Rθ4 (u1 − u2 )−1θ1 (u1 − u2 )=z1 z2 e−∂t0 ∇(z1 )F −∂t0 ∇(z2 )F.Rθ4 (u1 − u2 )−Ò.å.θ1 (u1 − u2 )z1 − z2 D(z1 )D(z2 )F −2∂t F +∂t ∇(z1 )F +∂t ∇(z2 )F000e=,z1 z2θ4 (u1 − u2 )2211θ1 (u1 − u2 )−e∂t0 F +D(z1 )D(z2 )F −2∂t0 F +∂t0 ∇(z1 )F +∂t0 ∇(z2 )F =,z1 z2θ4 (u1 − u2 )222θ1 (u1 − u2 )11−eD(z1 )D(z2 )F −∂t0 F +∂t0 F +∂t0 D(z1 )F +∂t0 F +∂t0 D(z2 )F =.z1 z2θ4 (u1 − u2 )Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèÿ (51), (52) êàê îäíîëàêîíè÷íîå óðàâíåíèå:−Rθ1 (u(z1 )−u(z2 ))z1−1 − z2−1 e∇(z1 )∇(z2 )F =.θ4 (u(z1 )−u(z2 ))(73)Äàííîå óðàâíåíèå çàäàåò áåçäèñïåðñèîííóþ èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏ.Çàìåòèì, ÷òî åñëè óñòðåìèòü z2 → ∞ â (73), òî ïîëó÷èì îïðåäåëåíèåôóíêöèè u(z), ýêâèâàëåíòîå ïåðâîé ôîðìóëå â (69):e∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)).θ4 (u(z))(74)Ïðåäåë z → ∞ â óðàâíåíèè (74) äàåò:eF00 = R = πc1 θ2 (0)θ3 (0),30(75)îòêóäàc1 (t) =γ(t),πγ(t) =eF00.θ2 (0|τ )θ3 (0|τ )(76)Áîëåå òîãî, èç (70) âèäíî, ÷òîθ22 (0|τ ) θ32 (0|τ )V−2F0022F11 +F01 −F02 = 2+.− 2= eRθ3 (0|τ ) θ22 (0|τ )(77)Ïîëó÷èëè, ÷òî ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûåâòîðîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè F .
Èç (76) î÷åâèäíî, ÷òî òî æå ñàìîå âåðíîäëÿ c1 è γ . Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îá ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ çàêîí÷åíî.Äëÿ ðåäóêöèé óäîáíåå áóäåò ïîëüçîâàòüñÿ äðóãîé ôîðìîé óðàâíåíèÿ(73). Ââåäåì ôóíêöèþθ1 (u|τ ),(78)θ4 (u|τ )êîòîðàÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè:S(u| τ ) := logS(u + 1|τ ) = S(u|τ ) + iπ ,S(u + τ |τ ) = S(u|τ ).(79)Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè S 0 (u) = ∂u S(u|τ ) äàåòñÿ âûðàæåíèåìS 0 (u) = πθ42 (0)θ2 (u)θ3 (u).θ1 (u)θ4 (u)(80)Ýòó ôîðìóëó ëåãêî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (AI.8) èç Ïðèëîæåíèÿ I è ñðàâíèâàÿ àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà îáåèõ ñòîðîí.
Äëÿ íóæä ñëåäóþùåãî ðàçäåëà îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (71) ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê íåëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ S :S 0 (u)πθ2 (0)θ3 (0)2 θ2 (0) θ32 (0)= 2 cosh 2S(u) − 22−.θ3 (0) θ22 (0)Ïðîëîãàðèôìèðóåì óðàâíåíèå (73)θ1 (u(z1 )−u(z2 ))log z1−1 − z2−1 + ∇(z1 )∇(z2 )F = log,θ4 (u(z1 )−u(z2 ))31(81)âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ ïî ∂t0 ñ îáåèõ ñòîðîíθ1 (u(z1 )−u(z2 ))∂t0 log z1−1 − z2−1 + ∂t0 ∇(z1 )∇(z2 )F = ∂t0 log,θ4 (u(z1 )−u(z2 ))(82)ó÷òåì, ÷òîθ1 (u)= log(z −1 e∂t0 ∇(z)F ) = − log z + ∂t0 ∇(z)F,θ4 (u)è ∂t0 log z1−1 − z2−1 = ∂t0 log z = 0.
Òîãäà óðàâíåíèå (82) ïåðåïèøåòñÿ ââèäå:∇(z1 )S u(z2 )|τ = ∂t0 S u(z1 )−u(z2 )|τ .(83)S(u) = log äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè èçëîæåíèÿ ìû áóäåì ïèñàòü S(u) = S(u, τ ). òåðìèíàõ ýòîé ôóíêöèè èç óðàâíåíèÿ (73) âèäèì, ÷òî ∇(z3 )S(u(z1 ) −− u(z2 )) = ∇(z3 )∇(z2 )∇(z1 )F ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîêz1 , z2 , z3 :∇(z1 )S(u(z2 ) − u(z3 )) = ∇(z2 )S(u(z1 ) − u(z3 )) = ∇(z3 )S(u(z1 ) − u(z2 )).(84)Ýòà ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì èíòåãðèðóåìîñòè.Åñëè óñòðåìèòü z2 → ∞, óðàâíåíèå (83) äàñò:∇(z)∂t20 F = ∂t0 S u(z)τ , ∇(z) log R = ∂t0 S u(z)τ .(85)Òàêæå äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ïîêàæåì ñâÿçü S(u|τ ) ñ àëãåáðàè÷åñêîéôîðìóëèðîâêîé, à èìåííî - ñ ôóíêöèÿìè p(z) è w(z):1S(u(z)|τ ) = − log w(z),2c1 S 0 (u(z)|τ ) = p(z),(86)ãäå S 0 (u|τ ) ≡ ∂u S(u|τ ). Ïåðâàÿ ôîðìóëà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èçîïðåäåëåíèé.
×òîáû âûâåñòè âòîðóþ, íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì (AI.14) èç Ïðèëîæåíèÿ I.323.2.2 Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÒîäûÒåîðåìà 3.2. Áåçäèñïåðñèîííàÿèåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû äîïóñêàåò ýëëèïòè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Ïàðàìåòðèçàöèþ ìîæíî âûáðàòü òàê,÷òîáû óðàâíåíèÿ èåðàðõèè çàïèñûâàëèñü â ñëåäóþùåì âèäå:(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =¯e∇(z1 )∇(z̄2 )F =¯¯(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =θ1 (u(z1 ) − u(z2 )),θ4 (u(z1 ) − u(z2 ))θ1 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η),θ4 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η)(87)θ1 (ū(z1 ) − ū(z2 )),θ4 (ū(z1 ) − ū(z2 ))à ôóíêöèè f è g îïðåäåëÿëèñü ñ ïîìîùüþe∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)),θ4 (u(z))e∂t̄0 ∇(z)F =θ1 (u(z) + η).θ4 (u(z) + η)(88)Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ Ïôàôô-ÊÏ, èñïîëüçóåì ïðîìåæóòî÷íûå ëåììû.Ëåììà 3.3. Ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé (65) â òåðìèíàõ òýòà-ôóíêöèéθa (u) = θa (u|τ ) ìîæåò áûòü âûáðàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:f (z) =θ4 (u(z)),θ1 (u(z))g(z) =θ4 (u(z) + η).θ1 (u(z) + η)(89)Ðàçëîæåíèå u(z) = u(z, t) âáëèçè ∞ èìååò òîò æå âèä (72), íî êîýôôèöèåíòû òåïåðü êîìïëåêñíûå, è, êðîìå òîãî, èìååòñÿ ðàçëîæåíèåu(z) = ū(z̄) = ū(z̄, t) ñ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè êîýôôèöèåíòàìè:c1 (t) c2 (t)c1 (t) c2 (t)+ 2 + ...
,ū(z, t) =+ 2 + . . . . (90)zzzzÏàðàìåòð η , òàê æå êàê γ â (69), ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé,êàê è ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ : η = η(t), τ = τ (t).u(z, t) =Ïîäñòàâèâ (89) â óðàâíåíèå êðèâîé, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî îíî ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, åñëèθ1 (η)R=,θ4 (η)θ42 (0) θ2 (η) θ3 (η)C=2 2.θ4 (η) θ2 (0) θ3 (0)(91)Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî η âåùåñòâåííî, à τ - ÷èñòî ìíèìî. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ âåùåñòâåííîñòüþ R è C .33Ëåììà 3.4. Ïîñëå ïàðàìåòðèçàöèè òîëüêî äâà óðàâíåíèÿ â (61) îñòàþòñÿ íåçàâèñèìûìè.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ïåðâîå è òðåòüå.Íàøà ñëåäóþùàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè èõ â ýëëèïòè÷åñêîéôîðìå. Ñíà÷àëà ïåðåøåì èõ â âèäå(z1−1 − z2−1 )e∇1 ∇2 F = R−1 g1 g2¯e∇1 ∇2 F = R−1 g1 ḡ2W1 − W2,1 − P 1 P21 − W1 W̄2,1 − P1 P̄2¯ i = ∇(z̄¯ i ), gi = g(zi ) è ò.ä.
Òîæäåñòâàãäå ∇i = ∇(zi ), ∇θ1 (η) θ1 (u1 + η) θ1 (u2 + η) θ1 (u1 − u2 )W1 − W2=·,1 − P 1 P2θ4 (η) θ4 (u1 + η) θ4 (u2 + η) θ4 (u1 − u2 )1 − W1 W̄2θ1 (η) θ1 (u1 + η) θ1 (ū2 + η) θ1 (u1 + ū2 + η)=·θ4 (η) θ4 (u1 + η) θ4 (ū2 + η) θ4 (u1 + ū2 + η)1 − P1 P̄2ïîçâîëÿþò ïðåäñòàâèòü ýòè óðàâíåíèÿ â ñëåäóþùåì âèäå:(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =¯e∇(z1 )∇(z̄2 )F =¯¯(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =θ1 (u(z1 ) − u(z2 )),θ4 (u(z1 ) − u(z2 ))θ1 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η),θ4 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η)(92)θ1 (ū(z1 ) − ū(z2 )).θ4 (ū(z1 ) − ū(z2 ))Ïåðâîå óðàâíåíèå òàêîå æå, êàê è â (73). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîâèíà áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäà (ñ ôèêñèðîâàííûìè âðåìåíàìè ñ ÷åðòîé) ñîâïàäàåò ñ Ïôàôô-ÊÏ. Ýòîò ôàêò áûëî áû íåëåãêî óâèäåòü â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå.
Òðåòüå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåðñèåé ïåðâîãî. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðóãóþ êîïèþ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, òîëüêî óæå îòíîñèòåëüíî âðåìåí t̄k , ñ ôèêñèðîâàííûìè tk . Âòîðîå óðàâíåíèå ñîäåðæèòñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíàì {tk } è {t̄k } è, òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿåò äâå èåðàðõèè â îäíó áîëåå îáùóþ. Ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíîîòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.34Óñòðåìëÿÿ z2 → ∞ â óðàâíåíèè (92), ïîëó÷àåì:e∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)),θ4 (u(z))e∂t̄0 ∇(z)F =θ1 (u(z) + η),θ4 (u(z) + η)(93)÷òî åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ïàðàìåòðèçàöèÿ ôóíêöèé f è g (89) ñ ó÷åòîì èõîïðåäåëåíèÿ (64).
Äàëüíåéøåå ðàçëîæåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ïðè z → ∞äàåò2(94)ρ := e∂t0 F = πc1 θ2 (0)θ3 (0),îò ëèäèðóþùèõ ÷ëåíîâ ïåðâîãî è F0̄1 = c1 S 0 (η) îò ÷ëåíîâ ïîðÿäêàO(z −1 ) âòîðîãî (ôóíêöèÿ S îïðåäåëåíà â (78)). Èç (91) ñëåäóåò, ÷òî0R = eS(η) , C/R = πθ22S(0)θ(η)3 (0) . Èñïîëüçóÿ (81) âìåñòå ñ ïîäñòàíîâêîé u → η ,ïîëó÷àåìθ22 (0|τ ) θ32 (0|τ )C2 −F00 −F0̄0̄= 2 cosh (2F00̄ ) − eF0̄1 F01̄ = 2+.R +R1−4θ3 (0|τ ) θ22 (0|τ )(95)Àíàëîãè÷íî (77), ýòî óðàâíåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè F .Òî æå ñàìîå âåðíî è äëÿ c1 è η .Âîçüìåì ëîãàðèôì îò óðàâíåíèé (92) è, ïðèìåíèâ ∂t0 è ∂t̄0 , ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ èåðàðõèè â âèäå2−2∇(z1 )S u(z2 ) = ∂t0 S u(z1 )−u(z2 ) , ∇(z1 )S u(z2 ) + η = ∂t̄0 S u(z1 )−u(z2 ) ,¯¯∇(z̄1 )S u(z2 ) = ∂t0 S ū(z̄1 )+u(z2 )+η , ∇(z̄1 )S u(z2 )+η = ∂t̄0 S ū(z̄1 )+u(z2 )+η .(96) ÷àñòíîñòè, èìååì ∇(z) log R = ∂t̄0 S(u(z)) = ∂t0 S(u(z) + η).3.3Ñðàâíåíèå ñ äðóãèìè èåðàðõèÿìèÏîëåçíî ñðàâíèòü áåçäèñïåðñèîííûå ïôàôôîâû èåðàðõèè ñ áîëåå çíàêîìûìè áåçäèñïåðñèîííûìè KP (dKP), mKP (dmKP) è 2DTL (d2DTL):dKP:eD(z)D(ζ)FdmKP:D(z)D(ζ)Fe∂t1 D(z)−D(ζ) F=1−,z−ζ(97)ze−∂t0 D(z)F − ζe−∂t0 D(ζ)F=,z−ζ(98)35ze−∂t0 D(z)F − ζe−∂t0 D(ζ)FD(z)D(ζ)F=ez−ζ −D(z)D̄(ζ̄)Fe= 1 − (z ζ̄)−1 e∂t0 (∂t0 +D(z)+D̄(ζ̄))F .d2DTL:(99) ñëó÷àå dKP èìååòñÿ íàáîð (âåùåñòâåííûõ) âðåìåí {t1 , t2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
