Диссертация (1137475)
Текст из файла
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÀõìåäîâà Âàëåðèÿ ÝäóàðäîâíàÐåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííûõ èíòåãðèðóåìûõèåðàðõèé è óðàâíåíèå ËåâíåðàÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ÍÈÓ ÂØÝÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüÇàáðîäèí Àíòîí Âëàäèìèðîâè÷äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóêÌîñêâà 2018Ñîäåðæàíèå1 Ââåäåíèå42 Óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà142.1Èñòîðèÿ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 142.2Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3Õîðäîâîå óðàâíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ è ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1Ðåäóêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2Ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Áåçäèñïåðñèîííûå Ïôàôôîâû èåðàðõèè3.13.23.3Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ3.1.2Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . .
. 244.2. . . . . . 23Ýëëèïòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ3.2.2Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . . . 33. . . . . . 27Ñðàâíåíèå ñ äðóãèìè èåðàðõèÿìè . . . . . . . . . . . . . . 354 Îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè4.123Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ39. . . . . . . . . . 394.1.1Óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2Ñèñòåìà óðàâíåíèé è èõ ðåøåíèå . . . . . . . . . . . 424.1.3Ñâÿçü ñ Ïåíëåâå VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . . . . . . . 445 N-êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèèÏôàôô-ÊÏ475.1Ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà è áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 4725.2Ñèñòåìà Ãèááîíñà-Öàðåâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3Îáîáùåííûé ìåòîä ãîäîãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4Ìåòðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû gi . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5Ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 616 Çàêëþ÷åíèå637 Ïðèëîæåíèÿ657.1Ïðèëîæåíèå I. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ î òýòà-ôóíêöèÿõ,íåêîòîðûå òîæäåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2Ïðèëîæåíèå II. Äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ (110) . . . . . . 687.3Ïðèëîæåíèå III. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî òîæäåñòâà . . . 727.4Ïðèëîæåíèå IV.
Âûâîä ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà èç (111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5Ïðèëîæåíèå V. Íåêîòîðûå âû÷èñëåíèÿ äëÿÏôàôôÒîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.6Ïðèëîæåíèå VI. Êîýôôèöèåíòû Γij . . . . . . . . . . . . . 797.7Ïðèëîæåíèå VII. Äîêàçàòåëüñòâî Γij =7.8Ïðèëîæåíèå VIII. Äîêàçàòåëüñòâî∂λk Γij = Γij Γjk + Γik Γkj − Γik Γij . . .
. . . . . . . . . . . . . 937.9Ïðèëîæåíèå IX. Äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ (185) . . . . . . 101Ñïèñîê ëèòåðàòóðû12∂λj log gi . . . . . 8910731ÂâåäåíèåÍà ñåãîäíÿøíèé äåíü õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâàîäíîëèñòíûõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé íà ôèêñèðîâàííóþ êàíîíè÷åñêóþ îáëàñòü (êàê ïðàâèëî,âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü èëè åäèíè÷íûé êðóã) ïîä÷èíÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ëåâíåðà (ñì., íàïðèìåð, [1]). Èìåííî ñ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû íà÷íåì íàøå èññëåäîâàíèå.
Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå Ëåâíåðà çàäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êîíôîðìíûõîòîáðàæåíèé êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé â ñåáÿ è ñëóæèò ìîùíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ îäíîëèñòíûõ ôóíêöèé. Âïåðâûå îíî ïîÿâèëîñü â ðàáîòå Êàðëà Ëåâíåðà â 1923 ãîäó [2] è îòíîñèëîñü ê ôóíêöèÿì, îïðåäåëåííûì â åäèíè÷íîì êðóãå D. Óðàâíåíèå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ èçìåðèìóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü "óïðàâëÿþùåé"ôóíêöèè. Ïîçäíåå â íîâûõ âåðñèÿõ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ðàññìàòðèâàëèñüäðóãèå êàíîíè÷åñêèå îáëàñòè: ïîëóïëîñêîñòü, ïîëîñà, êîëüöî. Íàèáîëüøåå âíèìàíèå â ïîñëåäíèå ãîäû óäåëÿåòñÿ "ðàäèàëüíîìó" óðàâíåíèþäëÿ D è "õîðäîâîìó" óðàâíåíèþ äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Í.
 ïåðâîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû îïèñàíû íåêîòîðûå èñòîðè÷åñêèå ôàêòû ðàçâèòèÿ ìåòîäà Ëåâíåðà è óðàâíåíèé, íîñÿùèõ ñåãîäíÿ åãî èìÿ.Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ Äæ. Ãèááîíñà è Ñ. Öàðåâà [3, 4], âîçíèêàåò èíòåðåñíàÿ ñâÿçü óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ñ èíòåãðèðóåìûìè èåðàðõèÿìè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Õîðäîâîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â êëàññèôèêàöèèðåäóêöèé èåðàðõèè Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè (ÊÏ, KP) â áåçäèñïåðñèîííîì (äëèííîâîëíîâîì) ïðåäåëå.
À èìåííî, îíî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè ñî âñåé áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé.Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü â èåðàðõèèáåçäèñïåðñèîííîé äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû. Óâèäåòü ñâÿçü áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèé ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ëåã÷å âñåãî ñ ïîìîùüþèåðàðõèè ÊÏ.
Áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå ÊÏ âûãëÿäèò ñëåäóþùèìîáðàçîì:33(1)(ut − uux )x − uyy = 0.24Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ). Ýòà èåðàðõèÿ íåïëîõî èçó÷åíà, è ó íåå åñòüíåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé, îäíàêî äëÿ èëëþñòðàöèè ñâÿçè ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ñîîòâåòñòâóþ4ùèì óðàâíåíèåì Õèðîòû:eD(z)D(ζ)F = 1 −∂t1 (D(z) − D(ζ))F.z−ζ(2)Ðàññìîòðåâ îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè äàííîé èåðàðõèè, ìû óâèäèìñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà.Ïîñëå èëëþñòðàöèè âîçíèêàþùåé ñâÿçè, ìû ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê èçó÷åíèþ áåçäèñïåðñèîííîãî ïðåäåëà èåðàðõèé Ïôàôô-ÊÏ è ÏôàôôÒîäû.Èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ (òàêæå èçâåñòíàÿ êàê DKP, ñïàðåííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ, Ïôàôôîâà ðåøåòêà) ÿâëÿåòñÿ èåðàðõèåé ñ D∞ -ñèììåòðèÿìè.Âïåðâûå îíà áûëà ïðåäëîæåíà Ì.
Äæèìáî è Ò. Ìèâîé â 1983 ãîäó [5].Âïîñëåäñòâèè îíà ïîÿâëÿëàñü ïîä ðàçíûìè íàçâàíèÿìè â ðàçëè÷íûõêîíòåêñòàõ [6][11]. Åå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà è íåêîòîðûå ÷àñòíûåðåøåíèÿ áûëè èçó÷åíû â [12, 13, 14]. Òåðìèí ïôàôôîâà îáóñëîâëåíòåì, ÷òî ñîëèòîíîïîäîáíûå ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïôàôôèàíû. Âòåêñòå äèññåðòàöèè ìû áóäåì íàçûâàòü ýòó èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏ èëèDKP.Õîòÿ â äàííîì èññëåäîâàíèè ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè, ïîëåçíî, îäíàêî, ïîñìîòðåòü íà "ïîëíóþ" èåðàðõèþ,÷òîáû óâèäåòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ê áåçäèñïåðñèîííîìó ïðåäåëó. Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå èåðàðõèè Ïôàôôîâîé ðåøåòêè, òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå DKP, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∂u∂ ∂t1 −4 ∂t3 +2 ∂v± +∂t3∂ 3 v±∂t31∂3u∂t31++∂u12u ∂t1±6u ∂v∂t1∓322+ 3 ∂∂tu2 = 12 ∂∂tu2 (v + v − )2∂ 2 v±∂t1 ∂t2+ 2v1±R∂u∂t2 dt1= 0.Êàê ìîæíî óâèäåòü, ëåâàÿ ñòîðîíà ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèåÊÏ, à ïðàâàÿ ñòîðîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïàðåííûé ÷ëåí ïîëÿ v ± .Èìåííî ïîýòîìó óðàâíåíèå DKP èíîãäà è íàçûâàþò ñïàðåííûì ÊÏ(cKP).
Òóò ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðèâû÷íûìè îáîçíà÷åíèÿìè x = t1 ,y = t2 è t = t3 . òåðìèíàõ τ -ôóíêöèé, u è v ± îïðåäåëÿþòñÿ êàêu=∂2τn±1±logτ,v=.n∂t21τn5Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàòîðàìè Õèðîòû (ïðîèçâîäíûìè Õèðîòû), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Dk f · g :=∂∂− 0∂tk ∂tkf (tk )g(t0k ).tk =t0kÑ èõ ïîìîùüþ óðàâíåíèå DKP çàäàåòñÿ((−4D1 D3 + D14 + 3D22 )τn τn = 24τn+1 τn−1(2D3 + D13 ∓ 3D1 D2 )τn±1 τn = 0.(3)Õîòÿ äàííàÿ èåðàðõèÿ èìååò îïðåäåëåííîå ñõîäñòâî ñ èåðàðõèåé ÊÏè öåïî÷êîé Òîäû, îíà, áåçóñëîâíî, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò íèõ è íàäàííûé ìîìåíò ãîðàçäî õóæå èçó÷åíà.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ (dPfa-KP, dDKP)áûëà ïðåäëîæåíà â [17, 18].
 ôîðìå Õèðîòû îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéáåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé1∂t D(z)F − ∂t1 D(ζ)FeD(z)D(ζ)F 1 − 2 2 e2∂t0 (2∂t0 +D(z)+D(ζ))F = 1 − 1,z ζz−ζ(4)2 −2∂t0 D(z)F2 −2∂t0 D(ζ)Fz e−ζ e= z +ζ −∂t1 2∂t0 +D(z)+D(ζ) Fe−D(z)D(ζ)Fz−ζ(5)íà ôóíêöèþ F = F (t) îò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà (äåéñòâèòåëüíûõ) âðåìåít = {t0 , t1 , t2 , . . .}, ãäåX z −kD(z) =∂tk .(6)kk≥1Ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ áåçäèñïåðñèîííûì àíàëîãîì òàó-ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé (4), (5) ðàçëîæåíèåìïî ñòåïåíÿì z è ζ . Òîãäà áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå Ïôàôôîâîé ðåøåòêè çàäàåòñÿ2+ 3F22 − 4F13 = 12e4F00 6F112F03 +34F01(7)+ 6F01 F11 − 6F01 F02 = 3F12 .Äëÿ êðàòêîñòè ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ Fmn ≡ ∂tm ∂tn F . Ýòîò æåðåçóëüòàò ìû ìîãëè ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ DKP (3),âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäåëàìè v ± = exp(log τn±1 − log τn ) → exp(±h̄−1 F0 )è v + v − = exp(log τn+1 − 2 log τn + log τn−1 ) → exp(F00 ) ïðè h̄ → 0.6Äâóìåðíàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû, ïðåäëîæåííàÿ â [11, 17], ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ è ñâÿçàíà ñ íåé òàê æå, êàê äâóìåðèçîâàííàÿ öåïî÷êà Òîäû ñâÿçàíà ñ èåðàðõèåé ÊÏ.
 ÷àñòíîñòè, îáîáùåíèå Ïôàôô-ÊÏ −→ Ïôàôô-Òîäà ïðåäïîëàãàåò óäâîåíèå íàáîðà èåðàðõè÷åñêèõ âðåìåí.  äàííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ âåùåñòâåííûìèôîðìàìè èåðàðõèé, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåíà ÊÏ ñ÷èòàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, â òî âðåìÿ êàê äâà íàáîðà âðåìåí Òîäû ÿâëÿþòñÿêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè äðóã äðóãó.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (dPfa-Toda) [17]ïèøåòñÿ äëÿ ôóíêöèè F , çàâèñÿùåé îò áåñêîíå÷íîãî â îáå ñòîðîíû íàáîðà âðåìåí {. . .
, t̄2 , t̄1 , r, s, t1 , t2 , . . .}. Ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûå èåðàðõèè âäàííîé ðàáîòå íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìû ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèå F äëÿ áåçäèñïåðñèîííîé òàó-ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíàÿ ôîðìà èåðàðõèè, ñ êîòîðîéìû áóäåì èìåòü äåëî, ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âðåìÿ t̄k êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíî ê tk , s äåéñòâèòåëüíî, à r - ÷èñòî ìíèìîå. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿâûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:D(z)D(ζ)Fe1 ∂se1−zζ1 ∂se1−ez̄ ζ̄1 ∂rD(z)D(ζ)Fe1−ezζD̄(z̄)D̄(ζ̄)F ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fze−∂r D(z)F − ζe−∂r D(ζ)F=, (8)z−ζ ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fz̄e∂r D̄(z̄)F − ζ̄e∂r D̄(ζ̄)F=,z̄ − ζ̄(9)ze−∂s D(z)F − ζe−∂s D(ζ)F=,z−ζ(10) −∂s D̄(z̄)F−∂s D̄(ζ̄)F1 −∂r ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fz̄e− ζ̄eeD̄(z̄)D̄(ζ̄)F 1 −e=,z̄ ζ̄z̄ − ζ̄(11) 1 ∂r ∂r +D(z)−D̄(ζ̄) F1 ∂s ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) Fe=1−e, (12)e−D(z)D̄(ζ̄)F 1 −z ζ̄z ζ̄ ze− ∂s +∂r +D(z) D̄(ζ̄)F − 1 = e−∂r ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) F e− ∂s −∂r +D̄(ζ̄) D(z)F − 1 .ζ̄(13)X z̄ −k∂t̄k ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì àíàëîãîìÇäåñü D̄(z̄) =k ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fk≥1äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà (6).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
