Диссертация (1137475), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (9), (11) ïîëó÷àþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, èç (8), (10) ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà ïîñòàíîâêè÷åðòû D → D̄, z → z̄ , ζ → ζ̄ , tk → t̄k , s → s̄ = s, r → r̄ = −r, äåéñòâèå7êîòîðîãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå ïðè óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèÿ F äåéñòâèòåëüíà. Ìû âèäèì, ÷òî ó êàæäîãî óðàâíåíèÿåñòü ÷åðòîâàííûé àíàëîã.  òî æå âðåìÿ óðàâíåíèÿ (12) è (13) äåéñòâèòåëüíû, ò.å.
îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè êîìïëåêñíîì ñîïðÿæåíèè. Äàëåå â òåêñòå ìû íå áóäåì ïîñòîÿííî âûïèñûâàòü ïàðû êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõóðàâíåíèé è îãðàíè÷èìñÿ íàïèñàíèåì ëèøü îäíîãî èç êàæäîé ïàðû, íåçàáûâàÿ ïðè ýòîì î òîì, ÷òî îáà âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî. Äëÿ äàëüíåéøåãî óäîáíî áóäåò ââåñòè êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå íóëåâûå âðåìåíà t0 = s + r, t̄0 = s − r, òîãäà ∂t0 = 21 (∂s + ∂r ), ∂t̄0 = 21 (∂s − ∂r ).Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ èåðàðõèè ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé(8)(13) ðàçëîæåíèåì ïî ñòåïåíÿì z , ζ , z̄ , ζ̄ . Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ èìåþò âèä eF00 F01̄ = eF0̄0̄ F0̄1 ,F00 +F0̄0̄F11̄ = 2 e(14)sinh 2F00̄ .Ìû ïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè Fmn ≡ ∂tm ∂tn F , Fmn̄ ≡ ∂tm ∂t̄n F , Fm̄n̄ ≡≡ ∂t̄m ∂t̄n F .Âî âòîðîé ãëàâå ìû ïîäðîáíî ðàññìîòðèì Ïôàôôîâû èåðàðõèè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå, çàòåì ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ, è îáîáùèì ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé èåðàðõèè áåçäèñïåðñèîííîé Ïôàôô-Òîäû [21],[22],[21].
Ìû äîêàæåì òåîðåìû îá ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèè ïôàôôîâûõ èåðàðõèé.Òåîðåìà 1.1. Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ äîïóñêàåò ýëëèï-òè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, è â òàêîé ôîðìå âìåñòî (4) è (5) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì:u(z)−u(z)|τθ121,(15)z1−1 − z2−1 e∇(z1 )∇(z2 )F =θ4 u(z1 )−u(z2 )|τñ äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì∇(z) = ∂t0 + D(z),(16)è âñïîìîãàòåëüíûì óðàâíåíèåì , îïðåäåëÿþùèì ôóíêöèþ u(z)e∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)|τ ).θ4 (u(z)|τ )(17)Àíàëîãè÷íî ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà äëÿ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèèÏôàôô-Òîäû.8Òåîðåìà 1.2. Áåçäèñïåðñèîííàÿèåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû äîïóñêàåò ýëëèïòè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ.
Ïàðàìåòðèçàöèþ ìîæíî âûáðàòü òàê,÷òîáû óðàâíåíèÿ èåðàðõèè çàïèñûâàëèñü â ñëåäóþùåì âèäå:(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =¯e∇(z1 )∇(z̄2 )F =¯¯(z1−1 − z2−1 ) e∇(z1 )∇(z2 )F =θ1 (u(z1 ) − u(z2 )|τ ),θ4 (u(z1 ) − u(z2 )|τ )θ1 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η|τ ),θ4 (u(z1 ) + ū(z2 ) + η|τ )(18)θ1 (ū(z1 ) − ū(z2 )|τ ),θ4 (ū(z1 ) − ū(z2 )|τ )ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìèè∇(z) = ∂t0 + D(z),(19)¯∇(z)= ∂t̄0 + D̄(z),(20)è âñïîìîãàòåëüíûìè óðàâíåíèÿìèe∂t0 ∇(z)F = zθ1 (u(z)|τ ),θ4 (u(z)|τ )e∂t̄0 ∇(z)F =θ1 (u(z) + η|τ ).θ4 (u(z) + η|τ )(21) òàêîé ôîðìóëèðîâêå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé óìåíüøàåòñÿ,è íåñêîëüêî íåóêëþæèå íà âèä óðàâíåíèÿ áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèéÏôàôô-ÊÏ è Ïôàôô-Òîäû îáðåòàþò áîëåå ïðèâëåêàòåëüíóþ ôîðìó,â êîòîðîé îíè âûãëÿäÿò êàê åñòåñòâåííûå ýëëèïòè÷åñêèå äåôîðìàöèèáåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè ÊÏ èëè ìîäèôèöèðîâàííîé èåðàðõèè ÊÏ(mKP) è äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû (2DTL).Îáðàòèì âíèìàíèå íà ïåðâîå óðàâíåíèå Ïôàôô-Òîäû â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå, îíî òàêîå æå, êàê è â (15).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîâèíà áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (ñ ôèêñèðîâàííûìèâðåìåíàìè ñ ÷åðòîé) ñîâïàäàåò ñ áåçäèñïåðñèîííîé Ïôàôô-ÊÏ. Ýòîòôàêò áûëî áû íåëåãêî óâèäåòü â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå.Òðåòüå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé âåðñèåé ïåðâîãî.Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðóãóþ êîïèþ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèèÏôàôô-ÊÏ, òîëüêî óæå îòíîñèòåëüíî âðåìåí t̄k , ñ ôèêñèðîâàííûìè tk .Âòîðîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíàì {tk }è {t̄k } è, òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿåò äâå èåðàðõèè â îäíó áîëåå îáùóþ.Ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.9Õîòåëîñü áû òàêæå îòìåòèòü, ÷òî â ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèèìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé.
Ýòî ñâîéñòâî óêàçûâàåò íà íåêîòîðîå ñõîäñòâî ñ óðàâíåíèÿìè Óèçåìà äëÿ ðîäà 1[25] è èíòåãðèðóåìûìè ñòðóêòóðàìè, ñâÿçàííûìè ñ êðàåâûìè çàäà÷àìèâ ïëîñêèõ äâóñâÿçíûõ îáëàñòÿõ [26].Òàê êàê Ïôàôôîâû èåðàðõèè ìåíåå èçó÷åíû, ÷åì áîëåå ïðèâû÷íûåèåðàðõèè ÊÏ èëè Òîäû, òî ìû íàøëè ïîëåçíûì äàòü ïîäðîáíîå ñðàâíåíèå ýòèõ èåðàðõèé.Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà îäíîêîìïîíåíòíûì ðåäóêöèÿì ïôàôôîâûõèåðàðõèé [21],[22]. Êàê è â ïðåäûäóùåé ãëàâå, íà÷íåì èññëåäîâàíèå ñîäíîêîìïîíåíòíûõ ðåäóêöèé áåçäèñïåðñèîííûîé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ,ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå çàâèñÿò îò âðåìåí t ÷åðåç îäíó åäèíñòâåííóþ ïåðåìåííóþ, â êà÷åñòâå êîòîðîé, áåç îãðàíèåíèÿ îáùíîñòè, ìîæíî âûáðàòü ìîäóëÿðíûé ïàðàìåòð τ .
Ìû ïîêàæåì, ÷òî òàêèå ðåäóêöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì àíàëîãîì óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà(ñì. íàïðèìåð, [27, ãë. 6]).  êîìïëåêñíîì àíàëèçå ýòî "ýëëèïòè÷åñêîåóðàâíåíèå Ëåâíåðà" òàêæå èçâåñòíî êàê óðàâíåíèå Ãîëóçèíà-Êîìàöó[28, 29], ñì. òàêæå [30, 31, 32, 33].  òåêñòå ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèåζi (u, τ ) := ∂u log θi (u|τ ).Òåîðåìà 1.3.Ôóíêöèÿ u(z, τ ) ñîâìåñòíà ñ áåñêîíå÷íîé áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèåé Ïôàôô-ÊÏ , åñëè óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìóóðàâíåíèþ4πi ∂τ u(z) = −ζ1 (u(z)+ξ(τ )|τ )−ζ4 (u(z)+ξ(τ )|τ )+ζ1 (ξ(τ )|τ )+ζ4 (ξ(τ )|τ ),(22)ãäå ξ(τ ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé îò τ .Ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ξ(τ ) íàçûâàåòñÿ "ôóíêöèåéóïðàâëåíèÿ" èëè "óïðàâëÿþùåé ôóíêöèåé".
Äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ýëåìåíòîì òåîðèè ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äâóñâÿçíûõ îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì íà êîëüöî. Íà ïðîòÿæåíèèïîñëåäíèõ äåñÿòè ëåò èíòåðåñ ê ýòîé òåìå âîçðîñ â ñâÿçè ñ ýâîëþöèåéØðàììà-Ëåâíåðà (SLE); äëÿ SLE â êîëüöå ñì. [34, 35]. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïîäîáíàÿ ñâÿçü ìåæäó õîðäîâûì óðàâíåíèåì Ëåâíåðà èîäíîêîìïîíåíòíûìè ðåäóêöèÿìè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè ÊÏ áûëàèçâåñòíà èç ðàáîò Äæ.
Ãèááîíñà è Ñ. Öàðåâà [3, 4]. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèåîáñóæäàåòñÿ â [36]-[40].Òàêæå ìû îòìå÷àåì íåîæèäàííóþ ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ïåíëåâå. Àèìåííî, ìû ïîêàæåì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî τ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâ10íåíèÿ Ëåâíåðà (22), ñ îïðåäåëåííûì âûáîðîì óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè,äàåò çàïèñàííîå â ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèå Ïåíëåâå VI ñî ñïåöèàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ.Äàëåå ìû ïðîäåëûâàåì àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû. Êàê èïðåäïîëàãàëîñü, ïîëó÷àåì ñèñòåìó èç óðàâíåíèé Ãîëóçèíà-Êîìàöó êàêóñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè ðåäóêöèè ñ èåðàðõèåé.Òåîðåìà 1.4.Äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèèu(z, τ ), ū(z, τ ) è η(τ ) áûëè ñîâìåñòíûìè ñ áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé ÏôàôôÒîäû, ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ4πi ∂τ η(τ ) = −E( η2 + iκ) − E( η2 − iκ)4πi∂τ u(z, τ ) = −E(u + η2 + iκ) + E( η2 + iκ)(23) 4πi∂ ū(z, τ ) = −E(u + η − iκ) + E( η − iκ)τ22ñη(τ )¯ ) = η(τ ) − iκ(τ ),+ iκ(τ ),ξ(τ22ãäå κ(τ ) - "óïðàâëÿþùàÿ ôóíêöèÿ".ξ(τ ) =(24) ÷åòâåðòîé ãëàâå ìû èçó÷àåì äèàãîíàëüíûå N -êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè èåðàðõèè dDKP [21], ò.å.
òåïåðü u áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåí ÷åðåç N âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ λj . Îòïðàâíîé òî÷êîé áóäåò ñëóæèòüñèñòåìà N ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòçàâèñèìîñòü u(z) îò ïåðåìåííûõλj :i ∂τττ4πi ∂λj u(z, {λi }) = − ζ1 u+ξj , 2 + ζ1 ξj , 2.∂λjh(25) ñâîþ î÷åðåäü èõ óñëîâèå ñîâìåñòèìîñòè âûðàæàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéñèñòåìîé Ãèááîíñà-Öàðåâà.Òåîðåìà 1.5. Óñëîâèåì ñîâìåñòèìîñòè ñèñòåìû ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðài ∂τττ4πi ∂λj u(z, {λi }) = − ζ1 u+ξj , 2 + ζ1 ξj , 2,∂λjh(26)ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà ∂τ∂ξk1 00=ζ1 (−ξk + ξj , τ ) − ζ1 (ξj , τ ),∂λj4πi∂λj11(27)∂ 2τ∂τ ∂τ1℘1 (ξk − ξj , τ 0 )=,∂λk ∂λj2πi∂λk ∂λjäëÿ âñåõ j = 1, . .
. , N , j 6= k .(28)Çàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ λj îò âðåìåí ôèêñèðóåòñÿ ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñëåäóþùåãî âèäà:∂λj∂λj= φj,k ({λi }),(29)∂tk∂t0ãäå φj,k ({λi }) îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèè Ôàáåðà.Ìû äîêàæåì òàêæå, ÷òî ñèñòåìà (29) ñîâìåñòíà è ìîæåò áûòü ðåøåíà ñïîìîùüþ îáîáùåííîãî ìåòîäà ãîäîãðàôà, ðàçðàáîòàííîãî Ñ. Öàðåâûì â[41]. Äëÿ îáùåé òåîðèè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà ñì.
òàêæå[42, 43, 44].Òåîðåìà 1.6.i = 1, . . . , N :Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó äëÿ Ri = Ri ({λj }),∂Ri= Γij (Rj − Ri ),∂λji, j = 1, . . . , N,i 6= j,(30)ãäå Γij îïðåäåëÿåòñÿ∂τ1 S 0 (ξj ) 00S(ξ−ξ).Γij = −ij4πi S 0 (ξi )∂λj(31)Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå:(i) Ñèñòåìà (30) ñîâìåñòíà â ñìûñëå [41].(ii) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ri óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (30). Åñëè λi (t)îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì ãîäîãðàôàXt0 +φi,n ({λj })tn = Ri ({λj }),(32)n≥1òîãäà λj (t) óäîâëåòâîðÿåò (29).Êðîìå òîãî, èçó÷èì òèï ìåòðèêè.Ëåììà 1.1. Ìåòðèêà gi ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòðèêó åãîðîâñêîãî òèïà, ò.å. èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå∂gi∂gk=.∂λk∂λi12(33)Òàêèì îáðàçîì, ïÿòàÿ ãëàâà îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: âïåðâîì ïàðàãðàôå ìû îïðåäåëÿåì N -êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ëåâíåðà, äàëåå âî âòîðîì ïàðàãðàôå âûâîäèì óñëîâèå èõ ñîâåìåñòíîñòè (ýëëèïòè÷åñêèé àíàëîã ñèñòåìû Ãèááîíñà-Öàðåâà), òðåòèé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí îáîáùåííîìó ìåòîäó ãîäîãðàôà, â ÷åòâåðòîì ïàðàãðàôå äîêàçûâàåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìåòðèêà ïðèíàäëåæèò åãîðîâñêîìó òèïó è íàõîäèì ååïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
