Диссертация (1137475), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Ïîäñòàâèâ x1 7→ u + ξj , x2 7→ −ξi + ξj , x1 − x2 7→ u + ξi ,x1 + x2 7→ u + 2ξj − ξi , ïîëó÷èì−ζ1 (u + ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (u + ξi , τ ) == πθ2 θ3 θ42θ1 (u + ξi , τ )θ4 (u + ξi , τ )θ2 (u + 2ξj − ξi , τ ).θ1 (u + ξj , τ )θ4 (u + ξj , τ )θ1 (−ξi + ξj , τ )θ4 (−ξi + ξj , τ )θ2 (u + ξi , τ )Øàã 2. Ïîäñòàâèâ x1 7→ ξj , x2 7→ −ξi + ξj , x1 − x2 7→ ξi , x1 + x2 7→2ξj − ξi , ïîëó÷èì−ζ1 (ξj ) + ζ1 (ξj − ξi ) + 2ζ2 (ξi , τ ) == πθ2 θ3 θ42θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ ).θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (−ξi + ξj , τ )θ4 (−ξi + ξj , τ )θ2 (ξi , τ )Èñïîëüçóÿ òàêæå (AI.23) èç Ïðèëîæåíèÿ I, ìû ìîæåì çàïèñàòü (AVI.8)â âèäå4πi (S 0 (ξi ))2 ∂ S 0 (u + ξi )= πθ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ42 (0, τ ) f (u),0∂τ /∂λj ∂λj S (ξi )ãäåf (u) = S 00 (u + ξi )S 0 (ξi )θ1 (u + ξi , τ )θ4 (u + ξi , τ )θ2 (u + 2ξj − ξi , τ )−θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (u+ξi , τ )− S 00 (ξi )S 0 (u + ξi )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )−θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj − ξi , τ )θ2 (ξi , τ )− 2πS 0 (u + ξi )S 0 (ξi ) θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ1 (u, τ )θ1 (u + 2ξi , τ ).θ22 (ξi , τ )θ22 (u + ξi , τ )Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ S 0 , S 00 èç (AI.14), (AI.15), ïîëó÷àåì:4πi (S 0 (ξi ))2 ∂ S 0 (u + ξi )= π 4 θ22 (0, τ )θ32 (0, τ )θ46 (0, τ ) g(u),0∂τ /∂λj ∂λj S (ξi )ãäå ôóíêöèÿ g(u) èìååò âèäg(u) = −θ4 (2u+2ξi , τ )θ2 (u+2ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )×θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )θ2 (u+ξi , τ )84(AVI.9)×+θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )+θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (u + ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )θ4 (2ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )−2θ1 (u, τ )θ1 (u + 2ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )θ3 (ξi , τ ).θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ2 (u + ξi , τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî ýëëèïòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò u ñ ïåðèîäàìè 1, τ è÷åòûðüìÿ ïðîñòûìè ïîëþñàìè â ôóíäàìåíòàëüíîì ïàðàëëåëîãðàììå âòî÷êàõ u = −ξi , u = −ξj , u = −ξi + τ2 , u = −ξj + τ2 (î÷åâèäíî ïîëó÷àþòñÿ áëàãîäàðÿ θ1 (u) è θ4 (u) â çíàìåíàòåëÿõ).

 ïåðâóþ î÷åðåäü íóæíîïðîâåðèòü ïåðèîäè÷íîñòü. Äëÿ ýòîãî íàì íóæíî ñäåëàòü íåñêîëüêî ïðîìåæóòî÷íûõ øàãîâ. Âîñïîëüçîâàâøèñü12222θ (u)θ2 (u) + θ3 (u)θ4 (u) ,θ4 (2u) =θ4 (0)θ32 (0) 1ðàññìîòðèì12222θ (u + 1)θ2 (u + 1) + θ3 (u + 1)θ4 (u + 1) =θ4 2(u + 1) =θ4 (0)θ32 (0) 112 22 222=(−1) θ1 (u)(−1) θ2 (u) + θ3 (u + 1)θ4 (u + 1) =θ4 (0)θ32 (0)12222θ (u)θ2 (u) + θ3 (u)θ4 (u) = θ4 (2u).=θ4 (0)θ32 (0) 1Èñïîëüçóÿθ4 (u + τ ) = −e−πi(τ +2u) θ4 (u),íàõîäèì12222θ (u + τ )θ2 (u + τ ) + θ3 (u + τ )θ4 (u + τ ) =θ4 (0)θ32 (0) 11(−1)2 e−2πiτ e−2πi2u θ12 (u)e−2πiτ e−2πi2u θ22 (u)+=2θ4 (0)θ3 (0)−2πiτ −2πi2u 22 −2πiτ −2πi2u 2+eeθ3 (u)(−1) eeθ4 (u) =12222=θ1 (u)θ2 (u) + θ3 (u)θ4 (u) e−4πi(τ +2u) = e−4πi(τ +2u) θ4 (2u).2θ4 (0)θ3 (0)θ4 2(u + τ ) =Òåïåðü ïðîâåðèì ïåðèîäè÷íîñòü g(u + 1)g(u + 1) =85=−θ4 (2(u + 1)+2ξi , τ )θ2 (u + 1+2ξj −ξi , τ )×θ1 (u + 1+ξi , τ )θ4 (u + 1+ξi , τ )θ1 (u + 1+ξj , τ )θ4 (u + 1+ξj , τ )θ2 (u + 1+ξi , τ )×θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )+θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )+×−2θ2 (u + 1 + ξi , τ )θ3 (u + 1 + ξi , τ )×θ1 (u + 1+ξi , τ )θ4 (u + 1+ξi , τ )θ4 (2ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ1 (u + 1, τ )θ1 (u + 1 + 2ξi , τ )θ3 (u + 1 + ξi , τ )θ3 (ξi , τ )=θ1 (u + 1+ξi , τ )θ4 (u + 1+ξi , τ )θ2 (u + 1 + ξi , τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )=−θ4 (2u+2ξi , τ )(−1)θ2 (u+2ξj −ξi , τ )×(−1)θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )(−1)θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )(−1)θ2 (u+ξi , τ )×θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )+θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )+×−2(−1)θ2 (u + ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )×(−1)θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ4 (2ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )(−1)θ1 (u, τ )(−1)θ1 (u + 2ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )θ3 (ξi , τ )= g(u).(−1)θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )(−1)θ2 (u + ξi , τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )Ïîëó÷èëè g(u + 1) = g(u).Òåïåðü ïåðèîäè÷íîñòü g(u + τ )g(u + τ ) ==−×θ4 (2(u + τ )+2ξi , τ )θ2 (u + τ +2ξj −ξi , τ )×θ1 (u + τ +ξi , τ )θ4 (u + τ +ξi , τ )θ1 (u + τ +ξj , τ )θ4 (u + τ +ξj , τ )θ2 (u + τ +ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )θ2 (u + τ + ξi , τ )θ3 (u + τ + ξi , τ )+×θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ1 (u + τ +ξi , τ )θ4 (u + τ +ξi , τ )×−2θ4 (2ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ1 (u + τ, τ )θ1 (u + τ + 2ξi , τ )θ3 (u + τ + ξi , τ )θ3 (ξi , τ ).θ1 (u + τ +ξi , τ )θ4 (u + τ +ξi , τ )θ2 (u + τ + ξi , τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )Ïîäñòàâèì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ òýòà-ôóíêöèé ñ àðãóìåíòîì u, ñäâèíóòûì íà τ−×e−5πiτ e−2πi(4u+4ξi +u+2ξj −ξi )×(−1)4 e−5πiτ e−2πi(u+ξi +u+ξi +u+ξj +u+ξj +u+ξi )θ4 (2u+2ξi , τ )θ2 (u+2ξj −ξi , τ )×θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )θ2 (u+ξi , τ )86×+×θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )+θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )(−1)2 e−2πiτ e−2πi(u+ξi +u+ξi ) θ2 (u + ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )×(−1)2 e−2πiτ e−2πi(u+ξi +u+ξi ) θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ4 (2ξi , τ )θ2 (2ξj − ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξi , τ )−2×(−1)2 e−3πiτ e−2πi(u+u+2ξi +u+ξ)×(−1)2 e−3πiτ e−2πi(u+ξi +u+ξi +u+ξi )θ3 (ξi , τ )θ1 (u, τ )θ1 (u + 2ξi , τ )θ3 (u + ξi , τ )= g(u).θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ2 (u + ξi , τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )Ïîëó÷èëè g(u + τ ) = g(u).Ïåðèîäè÷íîñòü ïðîâåðèëè, òåïåðü íóæíî ðàññìîòðåòü ïðåäïîëàãàåìûé ïîëþñ îò θ2 (u) ïðè u = −ξi + 21 .

Ðàññìîòðèì ïåðâîå è òðåòüåñëàãàåìûå g(−ξi + 12 ):−θ4 (2(−ξi + 12 )+2ξi , τ )θ2 (−ξi + 12 +2ξj −ξi , τ )×θ1 (−ξi + 21 +ξi , τ )θ4 (−ξi + 12 +ξi , τ )θ1 (−ξi + 21 +ξj , τ )θ4 (−ξi + 12 +ξj , τ )θ2 (−ξi + 21 +ξi , τ )×−2θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ1 (−ξi + 21 , τ )θ1 (−ξi + 12 + 2ξi , τ )θ3 (−ξi + 21 + ξi , τ )θ3 (ξi , τ )=111θ1 (−ξi + 2 +ξi , τ )θ4 (−ξi + 2 +ξi , τ )θ2 (−ξi + 2 + ξi , τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )=−θ4 (1, τ )θ2 (2(ξj − ξi ) + 21 , τ )×θ1 ( 12 , τ )θ4 ( 21 , τ )θ1 (−ξi + 21 +ξj , τ )θ4 (−ξi + 12 +ξj , τ )θ2 ( 12 , τ )×θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ1 (−ξi + 21 , τ )θ1 ( 21 + ξi , τ )θ3 ( 12 , τ )θ3 (ξi , τ )−2=111θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ1 ( 2 , τ )θ4 ( 2 , τ )θ2 ( 2 , τ )=−θ4 (0, τ )(−1)θ1 (2(ξj − ξi ), τ )×θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ2 (ξj − ξi , τ )θ3 (ξj − ξi , τ )(−1)θ1 (0, τ )×−2=−θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )−θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ2 (−ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ4 (0, τ )θ3 (ξi , τ )=θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )(−1)θ1 (0, τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ4 (0, τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ1 (2(ξj − ξi ), τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )+θ1 (0, τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ2 (ξj − ξi , τ )θ3 (ξj − ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )+2θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ4 (0, τ ).θ1 (0, τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )87Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîìθ1 (2x, τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ ) = 2θ1 (x, τ )θ2 (x, τ )θ3 (x, τ )θ4 (x, τ )(AVI.10)è ïîëó÷èì−2θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ4 (0, τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ4 (0, τ )+2,θ1 (0, τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (0, τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )ñëåäîâàòåëüíî, ïîëþñà íåò.Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî g(u) èìååò íóëè â ÷åòûðåõ òî÷êàõ u = 0, u =− ξi − ξj , u = τ2 è u = 1+τ2 − ξi − ξj , ïîýòîìó g(u) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå12g(u) =θ1 (u, τ )θ4 (u, τ )θ2 (u + ξi + ξj , τ )θ3 (u + ξi + ξj , τ )×θ1 (u+ξi , τ )θ4 (u+ξi , τ )θ1 (u+ξj , τ )θ4 (u+ξj , τ )Cθ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé C .

Ïîñòîÿííóþ ìîæíî íàéòè, óñòðåìèâ u →−ξj . Âêëàä äàñò òîëüêî ïåðâîå ñëàãàåìîå:×−θ4 (2(−ξj )+2ξi , τ )θ2 (−ξj +2ξj −ξi , τ )×θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (−ξj +ξj , τ )θ4 (−ξj +ξj , τ )θ2 (−ξj +ξi , τ )×=−θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )=θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )θ4 (−2ξj +2ξi , τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ ).θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (0, τ )θ4 (0, τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )Ñ äðóãîé ñòîðîíûg(−ξj ) =×=−θ1 (−ξj , τ )θ4 (−ξj , τ )θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )×θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (0, τ )θ4 (0, τ )C=θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj , τ )θ4 (ξj , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )Cθ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ ).θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (0, τ )θ4 (0, τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )Ïîëó÷èëè, ÷òî−θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )θ4 (−2ξj +2ξi , τ )θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )=θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (0, τ )θ4 (0, τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )=−θ2 (ξi , τ )θ3 (ξi , τ )C.θ1 (−ξj +ξi , τ )θ4 (−ξj +ξi , τ )θ1 (0, τ )θ4 (0, τ ) θ1 (ξi , τ )θ4 (ξi , τ )θ1 (ξj −ξi , τ )θ4 (ξj −ξi , τ )88Êîíñòàíòà ðàâíàC = θ2 (0, τ )θ3 (0, τ )θ4 (0, τ )θ4 (2ξi − 2ξj , τ ).Èòàê, ìû ïîäòâåðäèëè íàøå ïðåäïîëîæåíèå î g(u).

Характеристики

Список файлов диссертации