Диссертация (1137167), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Построенный алгоритмбудет использоваться вдальнейшем для последующей генерации значений ( )целей получения гарантированных (по вероятности) решений.30( ) для1xy1Рисунок 9 -Отображение Ф(x)Получаемое приближение для функциидолжноудовлетворять условию совпадения на узлах обучающей выборки:( )(2-1)Построение приближения для неизвестной функциинекоторойШагвпроводится следующим образом (Волков, Исламов):0.* +Если,(то)( )всоответствии с условием (1).* +Шаг 1. Если( *, то решение ищется в виде:+)∑ ()(2-2)Где:()‖∑‖‖(‖)((2-3))а ‖ ‖ -стандартная -норма векторного пространстваШаг 2. Расширение области определенияи области значениядо необходимого путем параметрической аппроксимации.31В работах Р.Т.
Исламова и А.А. Волкова вводится функцияпотерь() , отвечающая за отклонение ответа( ).правильного ответа(*()+Выбор( ) от∑(∑)‖‖()‖‖())(2-4)-нормы в качестве меры расстояния диктуетсяналичием значительных отклонений в выборках («выбросы»), которыемогут привести к некорректному учету неопределенностей для целеймоделирования.Несмотря на глубокий анализ свойств метода аппроксимации ввышеупомянутых работах, не доказаны теоремы о существовании иединственности решения и ряд других свойств для использованияданного метода в целях анализа неопределенностей.Теорема 1 (О необходимом условии существования решенияметода аппроксимации детерминистических моделей с помощьюстохастическихпреобразований):Длясуществованиярешенияметода аппроксимации детерминистических моделей с помощьюстохастическихпреобразованийфункционаларавнялась нулю.‖ ‖Доказательство:►Пустьнеобходимочтобывариацияфункционал(2-5)достигает( ) а криваяэкстремальное значение на кривой̂( )близка к ( ).
Рассмотрим семейство функций:()=y(x)+ ( ( )̂( ))( )(2-5)На кривых этого семейства функционал будет просто функциейпеременной , т.е., (Учитывая)-необходимые, -(2-6)условиялокальногополучим , -функции одной переменной при32экстремума.Поскольку согласно представлению для вариации функционала[139]:, ( )-, ( )-|( )(2-7)отсюда следует необходимое условие экстремума функционала,( ) вариация функционала должна быть равнойа именно принулю:, ( )-(2-8)Теорема доказана. ◄ПрименимусловияТеоремы1кпоискурешенияаппроксимации:‖*(‖()+|[∑‖‖∑‖‖()()](2-9)После дифференцирования условия (2-9) принимают вид∑‖‖(2-10)()откуда следует:.∑‖∑‖‖‖Тогда приближение( *((/)(∑ ())будет иметь вид:)+)∑ ()(2-12)Волковым в работе [83] исследованы свойствафункции( *()(2-11)() и+) такие как:(1.
О непрерывности коэффициентов2. О поведении коэффициентов33(),(2-13)) в окрестности (2-14)известной точки,(3. О нормированности коэффициентов4. Об(асимптотическомповедении)(2-15)коэффициентов(2-16)),( *(5. Об асимптотическом поведении( *(6. Об ограниченности))+)(2-17)+)(2-18)Несмотря на глубокий анализ свойств метода аппроксимациидетерминистическихпреобразованийвмоделейработахс[64,83]помощьюнестохастическихдоказанытеоремыосуществовании и единственности решения.Кроме того, уже доказана теорема о необходимом условиисуществовании решения аппроксимации детерминистических моделейс помощью стохастических преобразований (см.
Теорема 1)2.2 Существование и единственность решения методааппроксимации детерминистических моделей с помощьюстохастических преобразованийЛемма 1. ПустьТогда для каждого- компакт в метрическом пространстве- существует наилучшая аппроксимация.* (Доказательство: ►Пустьпоследовательность,.полученнаяв)результате+ и пусть * + –аппроксимации,минимизирующая расстояние (Теорема 1 и см.(2-9)) , т.е. ().Поскольку- компакт, эта последовательность имеет, покрайней мере, одну предельную точкуи можно предположитьчто:()(2-19)34Применим неравенство треугольника, т.к.– метрическоепространство по определению:()()()(2-20)Лемма доказана.
◄ТеоремаПусть2:конечномерное-нормированного линейного пространстваподпространство. Тогда для каждого, существует наилучшая аппроксимация.Доказательство:►Пусть– элемент из, такой что. Будем искатьнаилучшую аппроксимацию в наборе:,‖*Область,ограниченазаданнаяи‖‖является(2-21)замкнутая,‖и(2-21)компактом,являетсят.к.онаподпространствомконечномерного пространства.Поэтому, в соответствии с Лемма 1, существует элемент,который является наилучшей аппроксимацией. Теорема доказана. ◄Длядоказательстваединственностивведемнекоторыедополнительные условия на поиск решения в методе аппроксимациидетерминистическихмоделейспомощьюстохастическихпреобразований.Рассмотрим нормированное линейное пространствои будемговорить, что такое пространство строго выпуклое, если выполняютсяусловия:‖ ‖‖ ‖‖ ()‖‖ ‖‖ ‖(2-22)Лемма 2.
Пусть- строго выпуклое подпространствонормированного линейного пространства35. Тогда, для каждогоэлементасуществует хотя бы один элемент наилучшейаппроксимации.Доказательство:►Пусть ̃ иаппроксимации- два различных наилучших приближения методадетерминистическихмоделейстохастических преобразований в пространстве‖‖‖̃‖(спомощью, такие что:)(2-23)( ̃)(2-24)Тогда, в соответствии с (2.25):‖̃) ‖(‖ ()̃) ‖((2-25)‖(Приходим)‖к‖(̃ )‖противоречиюсусловиемнаилучшейаппроксимацией. Лемма доказана. ◄Теорема 3 (о существовании и единственности решенияметода аппроксимации детерминистических моделей с помощьюстохастических преобразований).
Пусть– конечно размерноеподпространство нормированного линейного пространствадлялюбогоаппроксимацииэлементарешение,детерминистическихполученноемоделейс. Тогдаметодомпомощьюстохастических преобразований существует и единственно.Доказательство:►Доказательство вытекает из Леммы 2 и Теоремы 2. Теоремадоказана. ◄362.3 Исследование свойств метода аппроксимациидетерминистических моделей с помощью стохастическихпреобразований как стохастического функционала* +Пусть задан набор реализаций случайных величин* ( )+иопределяемоеи приближение для функции( *(какфункционал)+)∑()( ) ,задает.Дополнительно исследуем его свойства.Лемма 3. Стохастический функционалявляетсяборелевской функцией.Доказательство:►Доказательство леммы следует из определения функционала, действующего из пространствадействительных чиселЛемма 4.
Пустьфункционал) над полемв нормированное пространствополем действительных чиселвероятностном(() над. Лемма доказана. ◄случайная величина, определенная напространстве, -()Тогдастохастическийтоже является случайной величиной, -.Доказательство:►Проверим, что прообраз любого борелевского множества приотображенииявляется событием.Возьмем любое( ) и положимявляется борелевским, т.к.является измеримой поБорелю (см. Лемма 3).Найдем (( ). Множество, -) ( ):37* |+( ( )* | ( )( )+()(2-26)Т.к.( ) и - случайная величина. Лемма доказана. ◄Лемма5.построенный, *(Стохастическийпонаборуфункционализвестных,(точек)т.е.,)+- не является линейным относительно x.Доказательство:►Пусть, *, тогда используя (2-12) можно записать:+-,*+-∑ ().∑‖‖∑‖‖/(2-27)Исходя из записи (2-27) , из линейности коэффициентовследоватьлинейностьфункционалапроизвольный коэффициент(* +)‖‖‖‖‖6.Стохастический(2-28)‖∑ ‖‖∑ ‖Имеет противоречие.
Лемма доказана. ◄ЛеммаЗапишем.:‖∑‖будет‖функционалпостроенный по набору известных точек (,), т.е., *(является монотонным на каждом промежутке ())+,-относительно .Доказательство:►Безограниченияобщности,функционал, отображающий 2 точки38построим,-,стохастический-, *+‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖(2-29)Применим критерий монотонности функции на отрезке:, -,-(2-30)Дифференцируем (2-29):, *+(‖‖‖‖‖‖(‖‖‖‖‖‖)(2-31))Рассмотрим отдельно одно из слагаемых (2-31):‖‖()‖‖‖‖(2-32)Имеет что:‖‖(‖‖‖)‖(‖‖‖‖(‖‖‖‖‖(2-33)‖ )‖‖‖‖ )‖‖Рассмотрим функцию (2-33):( )(‖‖‖‖‖‖ )‖(‖‖‖‖‖‖‖ )При стремлении к границам интервала39(2-34)‖‖( )(2-35),При этом на промежутке- функция знакопостоянна,т.е.
критерий выполнен. Лемма доказана. ◄Лемму 3 хорошо иллюстрирует Рисунок 10, на котором показанрезультат построения аппроксимации по набору точек (2-36):*+*+(2-36)Из Рисунка 10 видно, что первая производная знакопостоянна назаданном интервале, хотя вторая производная меняет свой знак.ЛеммаСтохастический7.функционалпостроенный по набору известных точек (), т.е., *(являетсякаждомпромежутке()интегрируемым,поЛебегуна)+-- относительно x.Доказательство:► С учетом Леммы 4 и с учетом теоремы об интегрируемостимонотонных функций на отрезке приходим к доказательству данногофакта. Лемма доказана. ◄3530аппроксимацияФакт252015105005101520Рисунок 10 - Построение аппроксимации по 2-м точкам402.4 Построение связи между стоимостью нефти и курсом рубляк доллару на основе метода аппроксимациидетерминистических моделей с помощью стохастическихпреобразованийВ прикладных задачах очень часто требуется построитьзависимость между двумя выборками случайных величин *впоследствии генерировать случайные величиныт.е.+икак функцию от( ).Согласно Леммы 4, стохастический функционал может бытьиспользован для генерации новой выборкипо задаваемымзначениям .Тем не менее, согласно свойству (2-18) [83], стохастическийфункционал ограничен и необходимо доопределять его на возможныхзначениях, которые необходимы для анализа неопределенностей.44424038Чувствительностьобменного курса $/RURв 2014 году к цене нанефть36Курс рубля к доллару США (ЦБ РФ)3432Чувствительностьобменного курса $/RURв 2012-2013 году к ценена нефть3028262422Чувствительностьобменного курса $/RURв 2008 году к цене нанефтьИсточник: Tройка-Диалог, ЦБ РФ406080100120140Цена нефти Urals, $/bblРисунок 11 - График зависимости курса рубля от стоимостинефти41Ярким примером такой зависимости может служить связьмежду курсом рубля к доллару и стоимостью нефти, как это показанона Рисунке 11.Рассмотрим график, показанный на Рисунке 11: на оси ординатотложим значения курса рубля по отношению к доллару, как онустанавливается Центральным банком РФ [140], по оси абсцисс —фактические цены сорта нефти Brent [141].( *(Построим стохастический функционал)+) попублично доступным данным [140,141] с шагом 1 день за 3 квартал2014, т.к.
цены и курс устанавливается ежедневно.График функционала показан на Рисунке 12.р.41,00р.40,00Курс доллара к рублю по данным ЦБ РФФактические данныер.39,00Стохастический функционалр.38,00р.37,00р.36,00р.35,00р.34,00р.33,00$90,00$95,00$100,00$105,00$110,00Стоимость нефти, долл. за барр.Рисунок 12 - Аппроксимация курса рубля от стоимости нефти42В связи с тем, что стохастический функционал обладаетсвойствомограниченности(2-18),пространство возможных значений(Гденеобходимодоопределить, такой что:* +* +* +* +)* +((2-37)* +)(2-38)- прямая сумма подпространств.Доопределение области определения и области значенийнеобходимо для максимально полного анализа неопределенностейвозможных значений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
