Диссертация (1136188), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Достаточнодоказать, что автоморфизм A кольца RP совпадает с автоморфизмом кольца−1CH ∗ (X), переводящим цикл Шуберта [X w ] в [X w0 ww0 ]. (Последний автоморфизм индуцирован автоморфизмом многообразия флагов X, переводящимполный флаг во флаг из его ортогональных дополнений.) Действительно, этолегко проверить для дивизоров Шуберта, описанных в примере 4.4 (по существу, нужно проделать то же самое вычисление, но уже с двойственными когановскими гранями).
Общий случай теперь следует из того, что дивизорыШуберта являются мультипликативными образующими кольца когомологиймногообразия X. Следствие доказано.Отметим, что любая когановская грань пересекается с любой двойственнойкогановской гранью трансверсально. Поэтому мы можем представить циклы,отвечающие многообразиям Ричардсона, в виде сумм граней.Следствие 4.6. Произведение любых двух циклов Шуберта [X w ] и [X u ]выражается как сумма следующих граней:Xwu∗[X ] · [X ] = π[F ∩ F ] ,w(F )=w,w(F ∗ )=w0 uw0−1где F и F ∗ пробегают соответственно множество всех приведенных когановских и двойственных когановских граней.5.
Характеры Демазюра5.1. Характеры. Для каждого λ = (λ1 , . . . , λn ) рассмотрим аффиннуюгиперплоскость Rn−1 ⊂ Rn с координатами y1 , . . . , yn , заданную уравнениемy1 + · · · + yn + u0 = 0, где u0 = λ1 + · · · + λn . Выберем координаты u1 , . . . , un−1в Rn−1 так, чтобы yi равнялось ui − ui−1 при всех i = 1, . . . , n − 1. Рассмотримследующее линейное отображение p : Rd → Rn−1 из пространства Rd с координатами λi,j в гиперплоскость Rn−1 ⊂ Rn :ui =n−iXλi,j .j=1Иными словами, если представить координаты λi,j в виде треугольной таблицы, как в (GZ), то ui есть сумма всех элементов в i-й строке.
Далее мы будемИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА111отождествлять Rn с вещественной оболочкой весовой решетки Λ группы G таким образом, что i-й базисный вектор в Rn будет соответствовать весу, заданному i-м элементом диагонального тора в G. Тогда гиперплоскость Rn−1 получается параллельным переносом из гиперплоскости, порожденной корнямигруппы G.
Несложно проверить, что образ многогранника Гельфанда–ЦетлинаPλ ⊂ Rd при отображении p есть в точности весовой многогранник представления Vλ .Пусть S – подмножество в многограннике Гельфанда–Цетлина Pλ (в дальнейшем S будет гранью или объединением граней). Определим характер χSподмножества S как сумму формальных экспонент ep(z) по всем целым точкамz ∈ S, т. е.Xχ(S) :=ep(z) .z∈S∩ZdunФормальные экспоненты e , u ∈ Z , порождают групповую алгебру решетки Λ.Поэтому характер принимает значения в этой групповой алгебре.Рассмотрим такие линейные операторы si : Rn−1 → Rn−1 , для которых точка si (u1 , . .
. , un−1 ) отличается от точки (u1 , . . . , un−1 ) не более чем значением i-й координаты, причем i-я координата точки si (u1 , . . . , un−1 ) равняетсяui−1 + ui+1 − ui , где un = 0. Нетрудно проверить тот факт, что операторы si индуцированы ортогональными отражениями в пространстве Rn (относительно простых корней) и что они задают действие симметрической группы Sn на Rn−1 , при котором отражение si соответствует простой транспозицииsi = (i, i+1) (мы используем одно и то же обозначение для отражения и соответствующей транспозиции, как это зачастую делается при работе с действиямигрупп). Также определим действие si на групповой алгебре весовой решетки,положив si (eu ) := esi (u) .Далее мы отождествляем Rn−1 с вещественным векторным пространством,порожденным корнями группы G, причем si соответствуют отражениям относительно простых корней.
Простые корни отвечают векторам стандартного базиса в Rn−1 , т. е. единственная ненулевая координата простого корня αi есть ui ,и значение этой координаты равно единице.−Пусть Vλ,wесть B − -модуль Демазюра, определенный как пространство,двойственное к пространству глобальных сечений H 0 (X w , Lλ |X w ), где Lλ :=L1⊗λ1 ⊗· · ·⊗Ln⊗λn есть очень обильное линейное расслоение на X, соответствующее строго доминантному весу λ. Отметим, что по теореме Бореля–Вейля–−Ботта Vλ,eизоморфно неприводимому представлению Vλ группы G со старшим−весом λ. Выберем в Vλ,wбазис из весовых векторов. Напомним, что характе−wром Демазюра χ (λ) для B − -модуля Vλ,wназывается сумма экспонент весов,взятая по всем весовым векторам в этом базисе, или, что то же самое,Xχw (λ) :=mλ,w (µ)eµ ,µ∈Λ−где mλ,w (µ) есть кратность веса µ в Vλ,w.Основной результат этого раздела устанавливает взаимосвязь между характером Демазюра многообразия Шуберта и характером объединения соответствующих граней.112В.
А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНТеорема 5.1. Для всякой перестановки w ∈ Sn характер Демазюра χw (λ)равен характеру соответствующего объединения граней: [χw (λ) = χFλ .w(Fλ )=wКак обычно, Fλ принимает значения в множестве приведенных когановскихграней многогранника Гельфанда–Цетлина Pλ .Отметим, что в отличие от теоремы 4.3 эта теорема и приводимые нижеее следствия, которые описывают функции Гильберта и степени многообразийШуберта в проективных вложениях в P(Vλ ), используют именно многогранникPλ , а не просто какой-нибудь аналогичный ему многогранник.
Там, где выборλ существен, мы отмечаем это, используя для граней обозначение Fλ вместо F .Для кемпфовских перестановок теорема 5.1 принимает вид, указанный в [21;следствие 15.2]. Отметим, что в силу [15; предложение 2.3.2] перестановка wявляется кемпфовской тогда и только тогда, когда существует единственнаяприведенная когановская грань F , для которой w(F ) = w. Таким образом,в этом случае χw (λ) = χ(F ).В п. 5.4 эта теорема будет сведена к чисто комбинаторной лемме 5.8.
Доказательство данной леммы приводится в п. 6.3.Выведем некоторые следствия из теоремы 5.1. Во-первых, аналогичным образом можно описать и характеры Демазюра B-модулей. Определим B-модуль+Демазюра Vλ,wкак двойственное пространство к H 0 (Xw , Lλ |Xw ), где Xw – этозамыкание B-орбиты элемента w в X (в частности, [Xw ] = [X w0 w ] в CH ∗ (X)).Следствие 5.2. Для всякой перестановки w ∈ Sn характер Демазюра χw (λ)равен характеру следующего объединения граней:[∗χw (λ) = χFλ ,w(Fλ∗ )=ww0где Fλ∗ принимает значения в множестве приведенных двойственных когановских граней в многограннике Гельфанда–Цетлина.Это следствие немедленно получается из доказательства теоремы 5.1 и определения двойственных когановских граней, поскольку χw (λ) = w0 χw0 w (λ).Другое следствие из теоремы 5.1 описывает функцию Гильберта многообразия Шуберта X w , вложенного в P(H 0 (X w , Lλ |X w )∗ ) ⊂ P(Vλ ).Следствие 5.3.
Для всякой перестановки w ∈ Sn размерность пространства H 0 (X w , Lλ |X w ) равна числу целых точек в объединении всех приведенных когановских граней, отвечающих перестановке w: [0wddim H (X , Lλ |X w ) = Fλ ∩ Z .w(F )=wИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА113В частности, функция Гильберта Hλ,w (k) := dim H 0 (X w , Lλ⊗k |X w ) равна мно[гочлену Эрхарта множестваFλ , т. е.w(Fλ )=wHλ,w (k) = [kFλ ∩ Z dw(Fλ )=wпри всех целых положительных k.Это следствие будет особенно важным для доказательства теоремы 4.3.5.2.
Степени многообразий Шуберта. Прежде чем доказывать теорему 4.3, мы докажем аналогичное равенство для многочленов степеней многообразий Шуберта. Многочлен степеней Dw на Rn однозначно характеризуетсятем свойством, что (d − l(w))! Dw (λ) = degλ (X w ) для всех доминантных весовλ ∈ Zn ⊂ Rn . В частности, De = (1/d!) degλ (X) = Volume(Qλ ) и Dw0 = 1. Многочлены степеней впервые возникли в работе И. Н. Бернштейна, И.
М. Гельфанда, С. И. Гельфанда [3]; недавно они также изучались А. Постниковым иР. П. Стенли в работе [21]. Ниже мы докажем соотношения, связывающие многочлен степеней и объемы граней многогранника Гельфанда–Цетлина.Обозначим через RF ⊂ Rd аффинную оболочку грани F . В нижеприведенных формулах форма объема на RF считается нормированной таким образом,что кообъем решетки Zd ∩R F в RF равняется 1. Тогда имеет место следующаятеорема.Теорема 5.4. Справедливы следующие равенства:XDw =Volume(Fλ ),w(Fλ )=wDw =XVolume(Fλ∗ ).w(Fλ∗ )=w0 ww0−1Для кемпфовских перестановок первое равенство теоремы 5.4 принимает видпоследней формулы из [21; следствие 15.2].Доказательство.
Теорема 5.4 непосредственно вытекает из следствия 5.3и теоремы Гильберта о старшем члене в многочлене Гильберта при помощирассуждений, аналогичных использованным в работе [11]. Так, по теореме−Гильберта dim(Vkλ,w) является многочленом от k (при достаточно больших k),−и его старший член равен Dw (λ)k d . Далее, отметим, что dim(Vkλ,w) есть число[целых точек вkFλ в силу следствия 5.3. Наконец, воспользуемся тем,w(Fλ )=wчто для каждой грани F ее объем равняется старшему члену в многочлене Эрхарта этой грани (поскольку Volume(kF ) = k n Volume(F ) приближенно равенчислу целых точек, принадлежащих kF , при больших k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
