Диссертация (1136188), страница 39
Текст из файла (страница 39)
. . , ym ) мы можем определить парадиаграмму (“пара” от слова параллелепипед) точки x как набор из m символов (ỹ1 , . . . , ỹm ),в которомỹi = 0,если yi = µi ,ỹi = 1,ỹi = ∗в противном случае.если yi = νi ,Парадиаграмма называется приведенной, если 1 никогда не встречается непосредственно перед 0 в этом парадиаграмме.Рассмотрим грань F параллелограмма Π. Заметим, что все точки относительной внутренности грани F имеют одну и ту же парадиаграмму. Мыбудем называть эту парадиаграмму парадиаграммой грани F . Грань F называется приведенной, если таковой является ее парадиаграмма.
Определим парабокс как часть парадиаграммы, состоящую из последовательных элементов.Парабокс, заполненный последовательностью единиц (возможно, пустой), после которой следует одна звездочка, после которой следует последовательностьнулей (возможно, пустая), называется интронным6 парабоксом. Парабокс, содержащий левый конец парадиаграммы и заполненный последовательностью(возможно, пустой) нулей, называется начальным парабоксом. Парабокс, содержащий правый конец парадиаграммы и заполненный последовательностью(возможно, пустой) единиц, называется конечным парабоксом. Нетрудно видеть, что любая приведенная парадиаграмма состоит из начального парабокса, за которым следуют несколько (возможно, 0) интронных парабоксов, закоторыми следует конечный парабокс.
Ниже показан пример разбиения парадиаграммы на начальный, интронные и конечный парабоксы:000111∗00∗0011∗∗111По определению, две приведенные грани F1 и F2 параллелепипеда Π одинаковой размерности связаны L-движением, если их пересечение является неприведенной гипергранью в обеих гранях F1 и F2 . Мы можем также определитьL-движение приведенной парадиаграммы.
Это операция, заменяющая одинфрагмент парадиаграммы вида ∗ 0 на фрагмент 1 ∗. Заметим, что L-движениене влияет на разложение парадиаграммы на начальный, интронные и конечныйпарабоксы.Предложение 6.5. Две грани F1 и F2 одной и той же размерности связаны L-движением, если и только если их парадиаграммы связаны L-движением.Доказательство. Пусть δ1 – парадиаграмма грани F1 , а δ2 – парадиаграмма грани F2 . Поскольку грань F1 ∩F2 имеет коразмерность 1 в F1 , парадиаграмма δ грани F1 ∩ F2 получается из парадиаграммы δ1 заменой одной звездочкина 0 или 1. Рассмотрим два случая.6Происхождение этого термина объясняется в [14; разд.
3.5].120В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНСлучай 1: звездочка заменяется на 0. В этом случае, поскольку грань F1 ∩F2неприведенная, сразу перед этой цифрой 0 должна быть цифра 1. Посколькугрань F2 приведенная, эта цифра 1 должна заменяться на звездочку в парадиаграмме δ2 . Следовательно, парадиаграмма δ1 получается из парадиаграммы δ2L-движением.Случай 2: звездочка заменяется на 1. В этом случае, поскольку грань F1 ∩F2неприведенная, сразу после этой цифры 1 должна идти цифра 0. Посколькугрань F2 приведенная, эта цифра 0 должна заменяться звездочкой в парадиаграмме δ2 . Следовательно, парадиаграмма δ2 получается из парадиаграммы δ1L-движением.Предложение доказано.Мы будем говорить, что две грани одинаковой размерности L-эквивалентны,если одну из них можно получить из другой последовательностью L-движенийили обратных L-движений (на уровне парадиаграмм, обратные L-движенияопределяются как обратные операции к L-движениям).
Для краткости мыбудем говорить о L-классах, имея в виду классы L-эквивалентности. До конца этого пункта мы отождествляем L-классы граней с объединениями этихклассов (ясно, что класс эквивалентности легко восстанавливается по своемуобъединению).Предложение 6.6. Множество L-классов составляет симплициальныйклеточный комплекс, комбинаторно эквивалентный стандартному симплексу. Более точно,– каждый L-класс гомеоморфен замкнутому диску,– определено взаимно однозначное соответствие между L-классами и гранями симплекса, при котором соответствующие множества гомеоморфны,а пересечения классов соответствуют пересечениям граней.Рис.
4 иллюстрирует это предложение в случае m = 3.Рис. 4. Подразбиение тетраэдра с добавлением двух ребер дает комбинаторный кубДоказательство. Сначала рассмотрим все приведенные вершины. Имеется ровно m + 1 таких вершин. Парадиаграмма приведенной вершины состоитИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА121из последовательности нулей, за которой следует последовательность единиц.Заметим, что разные приведенные вершины никогда не бывают L-эквивалентными.Рассмотрим произвольный L-класс A размерности k. Он содержит k интронных парабоксов.
Каждому L-классу A мы поставим в соответствие множество v(A) из k + 1 вершин следующим образом: заполним первые i 6 kинтронных парабоксов нулями, а все остальные интронные парабоксы заполним единицами. Ясно, что множество v(A) в точности совпадает с множеством всех приведенных вершин, содержащихся в классе A. Отсюда вытекает,что v(A ∩ B) = v(A) ∩ v(B) для любых двух классов A и B. Заметим, чтокласс A однозначно определен положениями и размерами начального, интронных и конечного парабоксов, т. е. множеством v(A).
Множество v(A) порождаетгрань симплекса Σ – симплекса с вершинами во всех приведенных вершинахпараллелепипеда Π. Таким образом, у нас есть инъективное отображение v изL-классов граней параллелепипеда Π в грани симплекса Σ; это отображениепереводит пересечения в пересечения.Отображение v сюръективно: всякое множество приведенных вершин имеетвид v(A) для некоторого класса эквивалентности A. В самом деле, класс Aможно определить как класс, в котором границы интронных парабоксов находятся на границах между нулями и единицами для вершин данного множества v(A).Теперь остается доказать, что всякий L-класс гомеоморфен замкнутому диску. Сначала заметим, что L-класс с только одним интронным парабоксом является ломаной, звенья которой параллельны координатным осям (каждое прямолинейное звено этой ломаной отвечает определенному положению звездочки в интронном парабоксе).
Ломаная гомеоморфна отрезку. В общем случаеL-класс является прямым произведением ломаных, описанных выше, следовательно, он гомеоморфен прямому произведению отрезков, т. е. замкнутомукубу. Предложение доказано.Наиболее важное для нас следствие состоит в том, что пересечение двухL-классов снова является L-классом.Теперь мы можем определить парамитоз. Это операция, которая делаетнесколько граней из одной грани F .
Если парадиаграмма грани F не имеет начального парабокса, то парамитоз грани F пуст. Теперь предположим,что парадиаграмма грани F имеет непустой начальный парабокс. Мы тогдазаменим его интронным парабоксом: множество всех граней, полученных таким образом (соответствующих всем способам заполнения нового интронногопарабокса), и есть парамитоз грани F . Ниже приведен пример парамитоза:00∗0парамитоз−−−−−−−→∗0∗0и1∗∗0Парамитоз множества граней определяется как объединение парамитозовотдельных граней из этого множества.Замечание 6.7.
Нетрудно описать парамитоз L-класса, используя биекциюмежду L-классами и гранями стандартного симплекса, определенную в предложении 6.6. А именно, L-классы с непустыми начальными парабоксами соответствуют граням симплекса, содержащимся в некоторой гиперграни H. Пусть122В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю.
СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНv – вершина симплекса, не лежащая в гиперграни H. Тогда парамитоз граниA ⊂ H совпадает с выпуклой оболочкой объединения A и v. Отсюда следует,что парамитоз L-класса снова является L-классом и что парамитоз пересечениядвух L-классов с непустыми начальными парабоксами совпадает с пересечением их парамитозов.Для подмножества A ⊂ Π определим многочлен ЛоранаXtσ(y) .S (A) =y∈A∩ZmПредложение 6.8. Пусть TΠ – оператор, связанный с параллелепипедом Πкак в п.
6.1, функция σ : Rm → R – сумма всех координат и A – L-класс гранейпараллелепипеда Π с непустым начальным парабоксом. Если B – парамитозкласса A, то S (B) = TΠ S (A).Доказательство. Рассмотрим парадиаграмму грани из класса A. Предположим, что эта парадиаграмма содержит всего r парабоксов, и что ℓ-й парабоксначинается с элемента с индексом jℓ (так что j1 = 1). Рассмотрим следующеелинейное отображение ΛF : Rm → Rr :ΛF (y1 , . . . , ym ) =jX2 −1j=j1yj ,jX3 −1yj , . . . ,j=j2mXyj .j=jrИмеет место равенство σ◦ΛF = σ, в котором σ – функция, вычисляющая суммувсех координат.Теперь можно применить предложение 6.4 к отображению ΛF . Предложениедоказано.Аналогичное утверждение справедливо для объединений L-классов.Предложение 6.9.
Пусть A1 , . . . , Ak – L-классы с непустыми начальнымипарабоксами, и предположим, что L-классы B1 , . . . , Bk получены из A1 , . . . , Akпарамитозом. В этом случаеS (B1 ∪ · · · ∪ Bk ) = TΠ S (A1 ∪ · · · ∪ Ak ) = TΠ S (B1 ∪ · · · ∪ Bk ).Доказательство. Воспользуемся формулой включения-исключения:XS (A1 ∪ · · · ∪ Ak ) =(−1)|I|−1 S (AI ),I̸=∅где суммирование производится по всем непустым подмножествам I ⊂ {1, . .
. , k},а AI обозачает пересечение всех Ai , i ∈ I. Такая же формула имеет местодля BI , а оператор TΠ линейный, следовательно, достаточно доказать, чтоS (BI ) = TΠ S (AI ). Но AI тоже является L-классом с непустым начальнымпарабоксом. Таким образом, первое равенство вытекает из предложения 6.8.Второе равенство вытекает из первого, поскольку TΠ ◦ TΠ = TΠ .Предложение доказано.Обозначим через M (A) парамитоз класса A.123ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНАПредложение 6.10. Предположим, что A1 , . . . , Ak – L-классы с непустыми начальными парабоксами, а B1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
