Диссертация (1136188), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Следовательно, предположение l(si w) < l(w) (эквивалентное тому, что w−1 (i) > w−1 (i + 1)) влечет, чтоl(si w2 ) < l(w2 ). В самом деле,w−1 (i) = w2−1 (i) > w2−1 w1−1 (i + 1) > w2−1 (i + 1)(последнее неравенство выполнено, поскольку слово w = w1 w2 приведенное).Если κ > 0, то слово w1 можно дальше разложить как w1′ si+1 si+2 · · · si+κ si si+1· · · si+κ−1 w1′′ , где w1′ содержит только транспозиции sj с j > i, а w1′′ содержиттолько транспозиции sj с j > i + κ. Рассуждая аналогично, мы заключаем,что l(si+κ w2 ) < l(w2 ) (надо использовать тождество si (si+1 si+2 · · · si+κ si si+1· · · si+κ−1 ) = (si+1 si+2 · · · si+κ si si+1 · · · si+κ−1 )si+κ ).Применяя к слову w2 = sip+1 · · · sil свойство замены (exchange property),мы можем заменить это слово приведенным словом w2′ = si+κ sip+1 · · · ŝir · · · sil .Теперь заменим грань F приведенной гранью F ′ с той же самой перестановкойи непустым начальным парабоксом следующим образом.
Из диаграммы граниF удалим ребро, соответствующее транспозиции sir и добавим новое реброλi,κ+1 = λi−1,κ+1 . Получившаяся диаграмма грани определяет грань F ′ . Попостроению, M (F ′ ∩ Π(µ′ , ν ′ )) содержит F ∩ Π(µ′ , ν ′ ). Лемма доказана.Вернемся к доказательству леммы 6.12.
Применим лемму 6.13 к приведеннойкогановской грани F ∈ Γ′′ , парадиаграмма B которой лежит в Bi и начинаетсяИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА127с символа ∗. Мы получим грань F ′ ∈ Γ′′ такую, что ее парадиаграмма Aлежит в A1 ∪ · · · ∪ Ar и M (A) = B. Следовательно, класс L-эквивалентности A′iпарадиаграммы A тоже лежит в A1 ∪ · · · ∪ Ar и M (A′i ) = Bi , что и требовалось.Лемма 6.12 доказана.Список литературы[1] H. H. Andersen, “Schubert varieties and Demazure’s character formula”, Invent.Math., 79:3 (1985), 611–618.[2] N. Bergeron, S.
Billey, “RC-graphs and Schubert polynomials”, Experiment. Math.,2:4 (1993), 257–269.[3] И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, “Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P ”, УМН, 28:3(171) (1973), 3–26; англ. пер.: I. N. Bernstein,I. M. Gel’fand, S. I. Gel’fand, “Schubert cells and cohomology of the spaces G/P ”,Russian Math. Surveys, 28:3 (1973), 1–26.[4] M. Brion, “The structure of the polytope algebra”, Tohoku Math.
J. (2), 49:1 (1997),1–32.[5] I. Coskun, “A Littlewood–Richardson rule for two-step flag varieties”, Invent. Math.,176:2 (2009), 325–395.[6] M. Demazure, “Désingularisation des variétés de Schubert généralisées”, Ann. Sci.École Norm. Sup. (4), 7 (1974), 53–88.[7] S. Fomin, A. N. Kirillov, “The Yang–Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials”, Discrete Math., 153:1-3 (1996), 123–143.[8] У. Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, МЦНМО, М., 2006, 328 с.; пер. с англ.: W. Fulton, Young tableaux, Withapplication to representation theory and geometry, London Math.
Soc. Stud. Texts,35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, x+260 pp.[9] K. Kaveh, “Note on cohomology rings of spherical varieties and volume polynomial”,J. Lie Theory, 21:2 (2011), 263–283, arXiv: math/0312503.[10] K. Kaveh, A. G. Khovanskii, “Newton–Okounkov bodies, semigroups of integralpoints, graded algebras and intersection theory”, Ann. of Math. (2), 176:2, 925–978,arXiv: 0904.3350.[11] А. Г. Хованский, “Многогранник Ньютона, полином Гильберта и суммы конечных множеств”, Функц. анализ и его прил., 26:4 (1992), 57–63; англ. пер.:A. G. Khovanskii, “Newton polyhedron, Hilbert polynomial, and sums of finite sets”,Funct.
Anal. Appl., 26:4 (1992), 276–281.[12] V. Kiritchenko, “Gelfand–Zetlin polytopes and geometry of flag varieties”, Int. Math.Res. Not. IMRN, 2010, № 13, 2512–2531.[13] S. L. Kleiman, “The transversality of a general translate”, Compositio Math., 28(1974), 287–297.[14] A. Knutson, E. Miller, “Gröbner geometry of Schubert polynomials”, Ann.
ofMath. (2), 161:3 (2005), 1245–1318.[15] M. Kogan, Schubert geometry of flag varieties and Gelfand–Cetlin theory, Ph.D. thesis,Massachusetts Institute of Technology, 2000.[16] M. Kogan, E. Miller, “Toric degeneration of Schubert varieties and Gelfand–Tsetlinpolytopes”, Adv. Math., 193:1 (2005), 1–17.[17] A. Lascoux, M.-P.
Schützenberger, “Polynômes de Schubert”, C. R. Acad. Sci. ParisSér. I Math., 294:13 (1982), 447–450.[18] L. Manivel, Fonctions symétriques, polynômes de Schubert et lieux de dégénérescence,Cours Spec., 3, Société Mathématique de France, Paris, 1998, vi+179 pp.128В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИН[19] E. Miller, “Mitosis recursion for coefficients of Schubert polynomials”, J.
Comb. Theory Ser. A, 103:2 (2003), 223–235.[20] H. Pittie, A. Ram, “A Pieri–Chevalley formula in the K-theory of a G/B-bundle”,Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 5 (1999), 102–107.[21] A. Postnikov, R. P. Stanley, “Chains in the Bruhat order”, J. Algebraic Combin., 29:2(2009), 133–174.[22] А. В. Пухликов, А. Г.
Хованский, “Теорема Римана–Роха для интегралов и суммквазиполиномов по виртуальным многогранникам”, Алгебра и анализ, 4:4 (1992),188–216; англ. пер.: A. V. Pukhlikov, A. G. Khovanskii, “The Riemann–Rochtheorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes”, St.Petersburg Math. J., 4:4 (1993), 789–812.[23] В. А. Тиморин, “Аналог соотношений Ходжа–Римана для простых выпуклыхмногогранников”, УМН, 54:2(326) (1999), 113–162; англ. пер.: V. A.
Timorin,“An analogue of the Hodge–Riemann relations for simple convex polytopes”, RussianMath. Surveys, 54:2 (1999), 381–426.В. А. Кириченко (V. A. Kirichenko)Национальный исследовательский университет“Высшая школа экономики”;Институт проблем передачи информацииим. А. А. Харкевича РАНE-mail : vkiritchenko@yahoo.caЕ. Ю.
Смирнов (E. Yu. Smirnov)Национальный исследовательский университет“Высшая школа экономики”;Лаборатория Понселе Независимого МосковскогоуниверситетаE-mail : evgeny.smirnov@gmail.comВ. А. Тиморин (V. A. Timorin)Национальный исследовательский университет“Высшая школа экономики”;Независимый Московский университетE-mail : vtimorin@hse.ruПоступила в редакцию25.05.2012Приложение F.Статья 6.Valentina Kiritchenko and Amalendu Krishna “Equivariant cobordism offlag varieties and of symmetric varieties”Transformation Groups , Vol.
1 8 , No. 2 , 2013, pp. 391 – 413Разрешение на копирование: Согласно Соглашению о копирайте автор статьиможет использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертациипри условии, что указан источник.Transformation Groups, Vol. 18, No. 2, 2013, pp. 391 –413cBirkhäuserBoston (2013)EQUIVARIANT COBORDISM OFFLAG VARIETIES AND OF SYMMETRIC VARIETIESVALENTINA KIRITCHENKO∗AMALENDU KRISHNANational Research UniversityHigher School of EconomicsVavilova st. 7Moscow 117312, RussiaandInstitute for InformationTransmission ProblemsB.
Karetnyi per. 19Moscow 127994, RussiaSchool of MathematicsTata Institute ofFundamental ResearchHomi Bhabha Road, ColabaMumbai 400005, Indiaamal@math.tifr.res.invkiritchenko@yahoo.caAbstract. We obtain an explicit presentation for the equivariant cobordism ring of acomplete flag variety. An immediate corollary is a Borel presentation for the ordinarycobordism ring. Another application is an equivariant Schubert calculus in cobordism.We also describe the rational equivariant cobordism rings of wonderful symmetric varietiesof minimal rank.1. IntroductionLet k be a field of characteristic zero, and G a connected reductive group splitover k.
Recall that a smooth spherical variety is a smooth k-scheme X with anaction of G and a dense orbit of a Borel subgroup of G. Well-known examples ofspherical varieties include flag varieties, toric varieties, and wonderful compactifications of symmetric spaces. In this paper, we study the equivariant cobordismrings of the following two classes of spherical varieties: the flag varieties and thewonderful symmetric varieties of minimal rank (the latter include wonderful compactifications of semisimple groups of adjoint type such as complete collineations).The equivariant cohomology and the equivariant Chow groups of these twoclasses of spherical varieties have been extensively studied before in [1], [30], [5],[6], and [7]. Based on the theory of algebraic cobordism by Levine and Morel[29], and the construction of equivariant Chow groups by Edidin–Graham [11] andDOI: 10.1007/S00031-013-9223-zThe first author was supported by Dynasty Foundation, AG Laboratory NRU HSE,MESRF grants ag.
11.G34.31.0023, MK-983.2013.1, RFBR grants 12-01-31429-mol-a, 1201-33101-mol-a-ved, 10-01-00540-a, RFBR-CNRS grant 10-01-93110-a. This study wascarried out within The National Research University Higher School of Economics Academic Fund Program in 2013–2014, research grant no. 12-01-0194.Received September 12, 2012. Accepted February 11, 2013.
Published online May 5, 2013.∗392VALENTINA KIRITCHENKO, AMALENDU KRISHNATotaro [38], the equivariant cobordism was initially introduced in [10] for smoothvarieties. It was subsequently developed into a complete theory of equivariantoriented Borel–Moore homology for all k-schemes in [22]. An equivalent version ofthis equivariant cobordism has also been recently studied by Heller and Malagón–López [15]. For other related works on the algebraic cobordism of varieties withgroup actions, we refer the reader to [28], [34], and [31].Similarly to equivariant cohomology, equivariant cobordism is a powerful tool forcomputing ordinary cobordism of the varieties with a group action.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
