Диссертация (1136188), страница 40
Текст из файла (страница 40)
. , Br – L-классы с пустыми начальными парабоксами. Предположим, что Bi = M ((A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ Bi ) для всехi ∈ {1, . . . , r}. ТогдаS M (A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ B1 ∪ · · · ∪ Br ) = TΠ S (A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ B1 ∪ · · · ∪ Br ).Доказательство. По формуле включения-исключения мы получаем следующее выражение для правой части (RHS):RHS = TΠ S (A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ B1 ∪ · · · ∪ Br ) = TΠ S (A1 ∪ · · · ∪ Ak )+ TΠ S (B1 ∪ · · · ∪ Br ) − TΠ S ((A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ (B1 ∪ · · · ∪ Br )).Положим A′i = (A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ Bi для любого i ∈ {1, .
. . , r}. ПосколькуBi = M (A′i ), мы получаем, что TΠ S (B1 ∪ · · · ∪ Br ) = TΠ S (A′1 ∪ · · · ∪ A′r ) повторому равенству из предложения 6.9. Следовательно,TΠ S (B1 ∪ · · · ∪ Br ) = TΠ S ((A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ (B1 ∪ · · · ∪ Br )),и RHS = TΠ S (A1 ∪ · · · ∪ Ak ).Остается заметить, что левая часть совпадает с S M (A1 ∪· · ·∪Ak ), посколькуM (B1 ∪ · · · ∪ Br ) пусто. Искомое утверждение теперь вытекает из первогоравенства в предложении 6.9. Предложение доказано.Замечание 6.11.
Заметим, что условие B = M ((A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ B) в предложении 6.10 выполнено во всех случаях, когда B = M (A) для некоторогоL-класса A ⊂ A1 ∪ · · · ∪ Ak . В самом деле, если B = M (A), то, по определению парамитоза, A = H ∩ B, где H – это гиперплоскость y1 = µ1 . Поскольку гиперплоскость H содержит все Ai , всегда имеет место включение(A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ B ⊂ H ∩ B. С другой стороны, условие A ⊂ A1 ∪ · · · ∪ Ak влечетза собой противоположное включение H ∩ B ⊂ (A1 ∪ · · · ∪ Ak ) ∩ B.6.3. Диаграммы слоя, лестничные движения и доказательство ключевой леммы 5.8.
Мы теперь применим общие результаты про параллелепипеды к митозу на гранях многогранника Гельфанда–Цетлина Pλ . Зафиксируемнекоторый индекс i. Рассмотрим зеркальный митоз в i-й строке (в дальнейшемпод митозом мы всегда будем иметь в виду именно зеркальный митоз). Определим линейную проекцию qi : Rd → Rd−(n−i) , забывающую все элементы i-йстроки, т. е. забывающую значения всех координат λi,j , первый индекс которых равен i. Определим слои многогранника Pλ как слои ограничения этойпроекции на многогранник Гельфанда–Цетлина Pλ .Зафиксируем значения всех координат λi′ ,j с i′ ̸= i.
Тем самым мы получимслой многогранника Pλ . Слой можно задать в координатах yj = λi,j следующими неравенствами:λi−1,1λi−1,2y1λi−1,3y2λi+1,1.........λi−1,n−i+1yn−i.λi+1,n−i−1Положим µ′j = max(λi−1,j , λi+1,j−1 ) и νj′ = min(λi−1,j+1 , λi+1,j ), где λi+1,0 =−∞ (или достаточно большое отрицательное число) и λi+1,n−i = +∞ (или124В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНдостаточно большое положительное число). Следовательно, слой можно отождествить с координатным параллелепипедом Π(µ′ , ν ′ ) ⊂ Rn−i .Пусть F – любая приведенная когановская грань многогранника Pλ . Определим слой грани F как пересечение грани F со слоем многогранника Pλ . Намбудет удобно представлять слой грани F при помощи i-й диаграммы слоя грани F , т.
е. при помощи сужения диаграммы грани F на объединение строк i−1,i, i + 1. Заметим, что митоз в i-й строке можно увидеть на уровне диаграммыслоя – он не затрагивает других частей диаграммы грани. С диаграммой каждой когановской грани мы можем связать парадиаграмму грани параллелепипеда Π(µ′ , ν ′ ) следующим образом. Слой каждой когановской грани являетсягранью параллелепипеда Π(µ′ , ν ′ ), а мы возьмем парадиаграмму этой грани(заметим, что длина этой парадиаграммы, равная размерности параллелепипеда Π(µ′ , ν ′ ), может оказаться строго меньше, чем n − i). Легко проверить,что парадиаграмма приведенной когановской грани тоже приведенная и чтомитоз на уровне диаграмм слоя совпадает с парамитозом соответствующих парадиаграмм.Для удобства читателя мы напомним определение лестничного движения(ladder move) из статьи [2] на языке приведенных когановских граней.
Рассмотрим строки i − 1, i и i + 1 в диаграмме грани F . Определим диагональ какнабор из трех точек в строках i − 1, i и i + 1, лежащих на прямой в направлении от северо-запада к юго-востоку, вместе со всеми отрезками, соединяющимикакие-либо пары из этих трех точек и принадлежащими диаграмме грани. Диагонали бывают четырех возможных типов: (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1). Первыйэлемент – единица, если диагональ содержит отрезок, соединяющий строчкиi − 1 и i, в противном случае первый элемент равен нулю.
Второй элемент –единица, если диагональ содержит отрезок, соединяющий строки i и i + 1,в противном случае второй элемент равен нулю:Соответствие между диаграммами слоя и парадиаграммами теперь можетбыть описано в комбинаторных терминах следующим образом: диагонали типов (0, 0), (0, 1), (1, 0) заменяются на ∗, 1, 0 соответственно, а диагонали типа(1, 1) нужно проигнорировать (каждая такая диагональ уменьшает на единицуразмерность параллелепипеда Π(µ′ , ν ′ ), т. e. длину парадиаграммы).
Например, первая диаграмма слоя верхней грани на рис. 3 приводит к парадиаграмме00∗0 .Определим бокс как любую последовательность идущих друг за другом диагоналей в диаграмме слоя. На наших картинках боксы выглядят как параллелограммы с углами 45◦ и 135◦ . По определению, лестнично подвижный бокс –это бокс, у которого первая (самая левая) диагональ имеет тип (0, 0), за нейследует произвольное число диагоналей типа (1, 1) и, наконец, одна диагональтипа (1, 0). Мы будем пользоваться символической записью (0, 0)+k(1, 1)+(1, 0)для представления этого бокса, в которой k – число диагоналей типа (1, 1).Лестничное движение из статьи [2] делает из лестнично подвижного боксаИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА125бокс (0, 1) + k(1, 1) + (0, 0):Заметим, что лестничные движения не меняют перестановки, связанной сгранью.
Более того, они переводят приведенные грани в приведенные грани.Наконец, заметим, что при соответствии между диаграммами слоя и парадиаграммами лестничные движения в точности отвечают L-движениям предыдущего пункта.′′Мы теперь[ можем доказать ключевую лемму 5.8. Обозначим через Γ множествоF , а через Π′′ – объединение всех граней, которые получаются изw(F )=wграней в Γ′′ митозом в i-й строке. Это те множества, которые рассматриваютсяв лемме 5.8, и для доказательства леммы мы должны доказать, чтоTi− (χ(Γ′′ )) = χ(Π′′ ).Пусть Γ′ и Π′ – слои множеств Γ′′ и Π′′ соответственно в i-й строке, т. е.прообразы точки z ∈ Rd−(n−i) при ограничении отображения qi на Γ′′ и Π′′соответственно.Тогда лемму 5.8 можно вывести из следующей леммы.Лемма 6.12. Пусть TΠ – оператор, связанный с координатным параллелепипедом Π(µ′ , ν ′ ) как в п.
6.1. Отождествляя Γ′ и Π′ с подмножествамипараллелепипеда Π(µ′ , ν ′ ), мы получим XXtσ(y) = TΠtσ(y) .y∈Π′ ∩Zn−iy∈Γ′ ∩Zn−iДоказательство ключевой леммы 5.8 при помощи леммы 6.12. Заметим, что qi (Π′ ) – это одна точка z ∈ Rd−(n−i) (т. е. все координаты во всехстроках кроме строки i фиксированы). Выберем точку x ∈ Π′ и обозначим через y = (y1 , .
. . , yn−i ) координаты точки x в строке i. Пусть σj (z) = σj (x) (приj ̸= i) – сумма координат в строке j. По определениям операторов Ti− и TΠ ,следующее тождество выполняется для всех x ∈ Π′ после подстановки t = eαi :YTi− ep(x) =eσj (z)αj TΠ (tσ(y) ).j̸=iВ лемме 6.12 заменим t на eαiи умножим обе части на произведениеYeσj (z)αj .j̸=iЧтобы получить ключевую лемму 5.8, теперь достаточно просуммировать полученное равенство по всем слоям множеств Π′ и Π′′ в i-й строке, соответствующим целым точкам z ∈ Rd−(n−i) . Лемма 5.8 доказана.126В. А.
КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНДоказательство леммы 6.12. Лемма 6.12 получится как следствие предложения 6.10, как только мы проверим, что Γ′ удовлетворяет условиям этогопредложения. Мы знаем, что множество Γ′ замкнуто относительно L-движений, поскольку Γ′′ замкнуто относительно лестничных движений. Мы можемразбить множество Γ′ в объединение L-классов A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ B1 ∪ · · · ∪ Br ,в котором Ai и Bi соответственно имеют непустые и пустые начальные парабоксы.
Согласно замечанию 6.11, достаточно показать для каждого i ∈ {1, . . . , r},что Bi = M (A′i ) для некоторого A′i ⊂ (A1 ∪ · · · ∪ Ar ). Это вытекает из следующей леммы.Лемма 6.13. Пусть F – приведенная когановская грань, для которойw(F ) = w, а i-я диаграмма слоя начинается с κ идущих подряд диагоналейтипа (1, 1), за которыми следует диагональ типа (0, 0). Если l(si w) = l(w)−1,то найдется другая приведенная когановская грань F ′ такая, что w(F ′ ) = w,а i-я диаграмма слоя начинается с κ идущих подряд диагоналей типа (1, 1), закоторыми следует диагональ типа (1, 0), и при этом F ∩Π(µ′ , ν ′ ) содержитсяв M (F ′ ∩ Π(µ′ , ν ′ )).Доказательство.
Напомним, что диаграмма грани F определяет приведенное разложение w = si1 · · · sil , которое по определению разбивается на дваприведенных слова w1 и w2 следующим образом. Слово w1 = si1 · · · sip получено композицией элементарных транспозиций, соответствующих точкам напути от нижней строки до строки i включительно, а w2 = sip+1 · · · sil полученона пути от строки (i − 1) до верхней строки. В частности, слово w1 содержиттолько транспозиции sj с j > i.Если κ = 0, то слово w1 содержит только транспозиции sj с j > i, в частности, w1 (i) = i, и (i + 1, w1−1 (i + 1)) является беспорядком в перестановке w1 ,за исключением случая, когда w1 (i + 1) = i + 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
