Диссертация (1136188), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема доказана.Замечание 5.5. Двойственные грани Когана суть в точности те грани, которые рассматривались в [16; § 4]. Отметим, что определение перестановки w(F ∗ ) в [16] отличается от нашего, а также от приведенного в работе [15].114В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНА именно, в наших обозначениях авторы [16] ставят в соответствие двойственной грани F ∗ перестановку w0 ww0−1 . Однако, поскольку цикл Шуберта [Xw ]−1в их обозначениях совпадает с циклом Шуберта [X w0 ww0 ] в наших обозначениях (см. замечание 4.1), в их теореме 8 (описывающей торическое вырождениемногообразия Шуберта Xw ) возникают в точности те же грани, что и во втором равенстве теоремы 5.4 настоящей работы, причем последнее может бытьвыведено из первой при помощи стандартной техники торической геометрии.Доказательство теоремы 4.3.
Теперь выведем теорему 4.3 из теоремы 5.4, используя лемму 2.4. Напомним, что решетка ΛP является подрешеткойв ΛQ . В частности, многогранник Pλ можно рассматривать как элемент в ΛQ =Sym1 (ΛQ ). Обозначим через Lλ образ Pλ при канонической проекции Sym(ΛQ )→ RQ . Несложно проверить, что при изоморфизме, описанном в теореме 3.1,класс π(Lλ ) соответствует первому классу Чженя линейного расслоения Lλ .Итак, в RP имеется следующее равенство:[X w ]π(Lλ )d−l = (degλ (X w ))[pt],где d − l = d − l(w) есть размерность многообразия X w (произведение в левой части берется в RP ; как и ранее, мы отождествляем элементы в RP с ихобразами в MQ,P ).С другой стороны, несложно проверить, что для всякой грани Fλ ⊂ Qλкоразмерности l произведение [Fλ ]Ld−lв RQ равняется классу вершины, умноλженному на коэффициент (d − l)! Volume(Fλ ).
Итак, по теореме 5.4 имеем X[X w ]π(Lλ )d−l = π[F ]Lλd−l .w(F )=wd−lПоскольку элементы вида π(Lλ )d−l линейноRP, можно приме порождаютXwнить лемму 2.4 и заключить, что [X ] = π[F ] . Теорема 4.3 доказана.w(F )=w5.3. Формула Демазюра для характера. Для доказательства теоремы 5.1 будет использована формула Демазюра для характера χw (λ) вместес некоторым чисто комбинаторным рассуждением. Напомним формулу Демазюра для характера (подробности изложены в [1]).
Для каждого i = 1, . . . , n−1определим оператор Ti на групповой алгебре весовой решетки группы G припомощи формулыTi (f ) =f − e−αi si (f ).1 − e−αiАналогичным образом определим оператор Ti− по формулеTi− (f ) =f − eαi si (f ).1 − eαiИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА115Теорема 5.6 [1]. Пусть w = si1 · · · sil – приведенное разложение элемента w. Тогда характеры Демазюра χw (λ) и χw0 w (λ) равны соответственноχw (λ) = Ti1 · · · Til eλи−−χw0 w (λ) = Tn−i· · · Tn−iew0 λ .1lПервое равенство – это стандартный вид формулы Демазюра для характера. Мы будем использовать второе равенство, которое немедленно следует из−первого, поскольку χw (λ) = w0 χw0 w (λ) и w0 Ti = Tn−iw0 .Отметим, что эта теорема аналогична теореме 4.2 (а также ее версии дляK-теории [6], см. также [20; § 3]), описывающей циклы Шуберта при помощи операторов разделенных разностей.
Однако в этой теореме операторы Tijприменяются в том же порядке, что и простые транспозиции sij , входящиев приведенное разложение элемента w, тогда как в теореме 4.2 порядок противоположный (т. е. такой же, как в w−1 ).5.4. Зеркальный митоз. Митоз – это комбинаторная операция, введенная А. Кнутсоном и Э. Миллером [14], [19], которая ставит в соответствие каждой когановской грани некоторый набор когановских граней5 . При применении митоза в i-м столбце к множеству всех приведенных когановских граней,соответствующих перестановке w, получаются все приведенные когановскиеграни, соответствующие всем перестановкам wsi , удовлетворяющим условиюl(wsi ) = l(w) − 1.
Нам потребуется зеркальный митоз, который получается изобычного митоза транспонированием диаграмм граней (т. е. заменой строк настолбцы и наоборот). Другими словами, зеркальный митоз для перестановкиw – это обычный митоз для перестановки w−1 . Мы используем зеркальныймитоз для того, чтобы вывести теорему 5.1 из формулы Демазюра для характеров. Приведем определение зеркального митоза.Пусть F – приведенная когановская грань размерности l.
Для каждогоi = 1, . . . , n − 1 построим множество Mi− (F ) приведенных когановских граней размерности l + 1 следующим образом. Для каждого i = 1, . . . , n − 1 будемговорить, что у диаграммы F имеется ребро в i-й строке, если грань F удовлетворяет уравнению λi−1,j = λi,j при некотором j. Аналогично, будем говорить,что у диаграммы F имеется ребро в i-м столбце, если грань удовлетворяет уравнению λj−1,i = λj,i при каком-то j. Рассмотрим i-ю строку диаграммы грани F .Если у нее нет ребра в первом столбце, то множество Mi− (F ) пусто.
Теперьпредположим, что i-я строка грани F содержит ребра во всех столбцах, начиная с первого и до k-го включительно, и не содержит ребра в (k + 1)-м столбце.В таком случае для каждого j 6 k проверим, имеется ли в (i + 1)-й строкеребро в j-м столбце. Если да, то не будем делать ничего.
Элементы множестваMi− (F ) соответствуют таким значениям j, для которых на пересечении (i+1)-йстроки и j-го столбца ребра нет. Для каждого такого значения j удалим j-еребро в i-й строке и сдвинем каждое ребро, расположенное слева от него в тойже строке, на одну позицию в юго-восточном направлении (в (i + 1)-ю строку),если это возможно. Новая приведенная когановская грань Fi,j , полученная5Исходное определение использовало понятие rc-графов, а не когановских граней.116В. А.
КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНРис. 3. Зеркальный митоз, примененный к первой строке верхнейдиаграммы, дает множество, состоящее из двух нижних диаграммтаким образом, называется j-м потомком грани F в i-й строке. МножествоMi− (F ) состоит из потомков Fi,j при всех 1 6 j 6 k.Мощность множества Mi− (F ) равна k − k ′ , где k ′ есть число ребер на первых′k позициях в (i + 1)-й строке.
Это равняется числу мономов в Ai (xki xki+1 ).Иллюстрация к понятию зеркального митоза приведена на рис. 3.Следующая теорема вытекает из свойств обычного митоза [19].Теорема 5.7. Если l(si w) = l(w) − 1, то[[Mi− (F ) =w(F )=w{E}.w(E)=si wДоказательство теоремы 5.1 теперь получается применением убывающей индукции по l(w) из формулы Демазюра для характеров (второго равенства теоремы 5.6), теоремы 5.7 и следующей леммы.Ключевая лемма 5.8. Для всякой перестановки w ∈ Sn и простой транспозиции si , удовлетворяющей условию l(si w) = l(w) − 1, имеет место равенство [ [Ti− χFλ = χEλ .w(F )=ww(F )=w,E∈Mi− (F )Доказательство этой леммы является чисто комбинаторным. Оно приведенов п.
6.3.6. Митоз на параллелепипедахВ этом разделе мы сведем митоз на гранях многогранника Гельфанда–Цетлина к аналогичной операции (называемой парамитозом) на гранях параллелепипеда. Последняя проще для изучения и имеет прозрачный геометрическийИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА117смысл (см.
замечание 6.7). Парамитоз для параллелепипедов и его приложенияк экспоненциальным суммам и операторам Демазюра изучаются в пп. 6.1 и 6.2.Материал этих пунктов самодостаточен, и все результаты доказываются методами элементарной геометрии. Эти результаты затем используются в п. 6.3 длядоказательства ключевой леммы 5.8.
Еще одно приложение – предложение 6.6,которое дает новое минимальное представление симплекса в виде кубическогокомплекса.6.1. Параллелепипеды. Рассмотрим целые числа µ1 , . . . , µm , ν1 , . . . , νm ,удовлетворяющие условию µk 6 νk для всех k = 1, . . . , m. Определим параллелепипед Π(µ, ν) как выпуклый многогранникΠ(µ, ν) = {y = (y1 , . . .
, ym ) ∈ Rm | µk 6 yk 6 νk , k = 1, . . . , m}.Для всякого параллелепипеда Π = Π(µ, ν) рассмотрим следующую сумму:SΠ (t) =Xtσ(y) ,гдеσ(y) =y∈Π∩ZmmXyk .k=1Это многочлен от t. Этот многочлен можно найти явно, а именно, справедливоследующее предложение.Предложение 6.1. ИмеемSΠ (t) =m νk +1Y− tµkt.t−1k=1Доказательство. В самом деле, X X Xν1ν2νmXσ(y)y1y2ymt=ttt···.y∈Π∩Zmy1 =µ1y2 =µ2ym =µmКаждый сомножитель в правой части вычисляется как сумма геометрическойпрогрессии.Следующее предложение описывает двойственность многочленов SΠ (t).Предложение 6.2.
ИмеемPmSΠ (t) = tk=1 (µk +νk )SΠ (t−1 ).Доказательство сводится к непосредственному вычислению. Предложение 6.2 может быть переформулировано в комбинаторных терминах следующим образом: число способов представить целое число N как сумму y1 +· · ·+ym ,в которой µk 6 yk 6 νk для всех k = 1, .
. . , m, совпадает с числом способовmXпредставить целое число(µk + νk ) − N в таком же виде.k=1Зафиксируем целое число C. Рассмотрим следующий линейный операторна пространстве многочленов Лорана от t: каждому многочлену Лорана f поставим в соответствие многочлен Лорана f ∗ , полученный из f заменой каждойстепени tk на tC−k . Другими словами, выполнено тождество f ∗ (t) = tC f (t−1 ).118В.
А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНЯсно, что f ∗∗ = f для всякого многочлена Лорана f . Свойство двойственности многочленов SΠ можно переформулировать следующим образом: еслиmX∗C =(µk + νk ), то SΠ = SΠ. Для того же значения числа C определимk=1оператор TΠ формулойf − tf ∗.1−tНетрудно видеть, что для всякого многочлена Лорана f функция TΠ (f ) тожеявляется многочленом Лорана. Оператор TΠ зависит от параллелепипеда Π.TΠ (f ) =Предложение 6.3. Пусть Γ – грань параллелепипеда Π = Π(µ, ν), заданная уравнением y1 = µ1 (она может совпасть со всем параллелепипедом Π,если µ1 = ν1 ). ТогдаSΠ = TΠ (SΓ ).Доказательство. Имеем Γ = Π(µ1 , µ1 , µ2 , ν2 , . .
. , µn , νn ). Следовательно,по предложению 6.1,m νk +1Yt− tµkSΓ (t) = tµ1t−1k=2иm νk +1Ytν1 +1−µ1 SΓ (t) − SΓ (t)− tµktSΠ (t) ==.t−1t−1(2)k=1PmПредложение 6.2, примененное к грани Γ, дает SΓ (t) = t2µ1 + k=2 (µk +νk ) SΓ (t−1 ).Подставляя это в правую часть уравнения (2), получаем искомый результат.Предложение доказано.При определенных предположениях это предложение остается верным, еслипараллелепипеды Π и Γ заменены их образами при вложении Π → Rk , сохраняющем сумму координат.Предложение 6.4. Рассмотрим линейный оператор Λ : Rk → Rm , определенный над целыми числами, такой, что σ ◦ Λ = σ (функция σ в правойчасти – это сумма всех координатных функций на Rk ).
Пусть Π, Γ и TΠ –такие же, как в предложении 6.3. Предположим, что Λ(B ∩ Zk ) = Π ∩ Zmи Λ(A ∩ Zk ) = Γ ∩ Zm для некоторых подмножеств A, B ⊂ Rk таких, чтоограничения отображения Λ на B ∩ Zk и на A ∩ Zk инъективны. В этомслучае XXσ(z)σ(z)t= TΠt.z∈B∩Zkz∈A∩ZkДоказательство. Для каждого z ∈ B ∩ Zk положим y = Λ(z). Посколькуσ(z) = σ(y), мы получаем, чтоXXtσ(z) =tσ(y)z∈B∩Zky∈Π∩Zm(эти две суммы совпадают почленно), и аналогично для правой части. Такимобразом, требуемое утверждение вытекает из предложения 6.3.
Предложениедоказано.ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА1196.2. Комбинаторика параллелепипедов. Пусть Π = Π(µ, ν) – координатный параллелепипед в Rm размерности m, так что µi < νi для всехi = 1, . . . , m. Обсудим комбинаторику параллелепипеда Π. Для каждой точкиy ∈ Π с координатами (y1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
