Диссертация (1136188), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Кроме того, предположим, что никакая гипергрань многогранникаQ не вырождается в грань меньшей размерности. Тогда всякая грань многогранника P , содержащая вершину v, является регулярной.Доказательство. Пусть Γ1 , . . . , Γd – все гиперграни многогранника P , соe1 , . . . , Γedдержащие вершину v (они, очевидно, регулярны). Обозначим через Γсоответствующие (параллельные) гиперграни многогранника Q. Заметим, чтопересечения различных подсовокупностей совокупности множеств {Γ1 , . . . , Γd }являются различными гранями многогранника P . Ясно, что пересечение гиe i вырождается в пересечение соответствующих гиперграней Γi (коперграней Γторое имеет такую же размерность), а все остальные грани многогранника Qвырождаются в грани многогранника P , не содержащие вершины v.
Это доказывает требуемое утверждение.2.3. Структура колец многогранников. Мы обсудим теперь более детально структуру кольца RQ . Для каждой гиперграни Γ многогранника Qопределен дифференциальный оператор ∂Γ ∈ Sym(ΛQ ) такой, что для каждоговыпуклого многогранника Q′ , аналогичного многограннику Q, число ∂Γ volQ (Q′ )равно (d − 1)-мерному объему гиперграни многогранника Q′ , параллельной гиперграни Γ.
Идеал AQ := AvolQ можно описать достаточно просто. Он порождается (как идеал) следующими двумя группами дифференциальных операторов [23]:– образами целочисленных векторов a ∈ Zd при естественном вложении решетки Zd в решетку ΛQ = Sym1 (ΛQ ), при котором Q+a совпадает с результатомпараллельного переноса многогранника Q на вектор a;– операторами вида ∂Γ1 · · · ∂Γk , где Γ1 ∩ · · · ∩ Γk = ∅.Многочлен объема на пространствах VQ ранее использовался в статье [22]для того, чтобы описать кольца когомологий торических многообразий, построенных по простым многогранникам. Мы вкратце напомним это описание.
Всякий целочисленный многогранник Q определяет торическое многообразие XQ ,снабженное поляризацией. Если Q является целочисленно простым, то соответствующее многообразие XQ гладко. В этом случае кольцо Чжоу многообразия XQ (или, что то же самое, кольцо когомологий H 2∗ (XQ , Z)) изоморфнокольцу RQ [22; разд. 1.4].Это описание весьма полезно. Во-первых, оно функториально. Во-вторых,как ясно из определения, ненулевые однородные компоненты кольца RQ живут в степенях 6 d (поскольку степень многочлена объема равна d), и при этомкольцо RQ допускает невырожденное спаривание (двойственность Пуанкаре),определенное формулой (D1 , D2 ) := D1 D2 (volQ ) ∈ Z для любых двух однородных элементов D1 , D2 ∈ Sym(ΛQ ) произвольной степени. ДвойственностьИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА99Пуанкаре в кольце RQ является ключевым ингредиентом в доказательстве изоморфизма между RQ и H 2∗ (XQ , Z) (см. более детальное обсуждение в [9]).Заметим, что имеется другое функториальное описание [4] кольца Чжоу многообразия XQ через кусочно полиномиальные функции на веерах, но, в рамкахэтого описания, верхняя оценка на степень и двойственность Пуанкаре проверяются не так непосредственно.
Заметим также, что самое раннее (нефункториальное) описание кольца Чжоу (через образующие и соотношения) нетрудновывести из определения кольца RQ (см., например, [23]). Поэтому есть основания считать, что кольца многогранников дают самое удобное описание колецЧжоу гладких торических многообразий.Заметим, что если многогранник P не является простым, то кольцо RP всеравно имеет смысл, все однородные компоненты этого кольца имеют степени 6 d, и имеет место двойственность Пуанкаре. Однако связь этого кольца скольцом Чжоу (теперь уже особого) торического многообразия XP неясна отчасти потому, что последнее кольцо не удовлетворяет двойственности Пуанкаре.С другой стороны, кольца RP для непростых многогранников часто связаны скольцами Чжоу гладких неторических многообразий. Это было замечено в [9].Обсудим некоторые важные свойства изоморфизма RQ ≃ CH ∗ (XQ ) для простого многогранника Q. Этот изоморфизм позволяет отождествлять алгебраические циклы на многообразии XQ с линейными комбинациями граней многогранника Q.
Размерность векторного пространства VQ равна числу N (Q)гиперграней многогранника Q (поскольку можно сдвигать все гиперграни многогранника Q независимо). Заметим, что для непростого многогранника Pразмерность пространства VP строго меньше, чем N (P ) (например, если P –октаэдр, то пространство VP имеет размерность 4). Для простого многогранника Q пространство VQ имеет естественные координаты, называемые опорнымичислами. Опорных чисел столько же, сколько гиперграней в многограннике Q.Опорные числа определяются выбором N = N (Q) линейных функционалов ξΓна пространстве Rd , соответствующих гиперграням Γ многогранника Q и таких, что всякая гипергрань Γ многогранника Q содержится в гиперплоскостиξΓ (x) = HΓ для некоторой постоянной HΓ , а все точки x многогранника Qудовлетворяют неравенствам ξΓ (x) 6 HΓ .
Если Γ1 , . . . , ΓN – все гипергранимногогранника Q, то всякий набор вещественных чисел (HΓ1 , . . . , HΓN ) определяет единственный (возможно, виртуальный) многогранник из VQ . Когдамы будем иметь дело с целочисленными многогранниками, мы всегда будемвыбирать функционал ξΓ так, чтобы он был примитивным целочисленным ковектором, ортогональным гиперграни Γ.
В этом случае число HΓ совпадает(с точностью до знака) с целочисленным расстоянием от начала координат догиперплоскости, содержащей гипергрань Γ.Если наш выбор формы объема и линейных функционалов ξΓ согласованс выбором целочисленной решетки (так, как описано выше), то дифференциальные операторы ∂Γ совпадают с частными производными по опорным числам HΓ . Для грани F = Γ1 ∩ · · · ∩ Γk коразмерности k мы положим ∂F =∂Γ1 · · · ∂Γk и обозначим через [F ] класс дифференциального оператора ∂Fв кольце RQ .
Элементы [F ], соответствующие граням многогранника Q, порождают кольцо RQ как абелеву группу. Более того, в качестве образующих до4*100В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНстаточно взять некоторые специальные грани, называемые в [23] сепаратрисами. Имеется явный алгоритм для представления произведения [F1 ] · [F2 ] ∈ RQв виде линейной комбинации граней, т. е. элементов вида [F ], соответствующихграням F многогранника Q.
Этот алгоритм напоминает известный алгоритм изтеории пересечений: мы заменяем элемент [F1 ] линейной комбинацией граней,трансверсальных к F2 . Линейные соотношения между гипергранями многогранника Q вытекают непосредственно из описания идеала AQ , приведенноговыше. Эти соотношения имеют видXξΓ (a)[Γ] = 0,(1)где a ∈ Rd – произвольный вектор, а суммирование производится по всем гиперграням многогранника Q. В самом деле, многочлен объема инвариантенотносительно параллельных переносов. Следовательно, производная выражения vol( · + ta) по t равна нулю (здесь · заменяет любой фиксированный элемент пространства VQ ). По правилудифференцирования сложной функции,Xэта производная совпадает сξΓ (a)∂Γ vol( · ). Любое линейное соотношениемежду элементами [Γ] имеет указанный вид (см. [23]).Если многогранник Q является разрешением многогранника P , нас будутинтересовать представления элементов α ∈ RP в виде линейных комбинацийграней многогранника Q, т.
е. в следующем виде:X α=π[F ] ,где суммирование производится по некоторому множеству граней многогранника Q. В этом случае предложение 2.1 позволяет вычислять произведенияпар элементов α, α′ ∈ RP следующим образом. Если мы найдем представлениеXα′ = π[F ′ ] ,в котором все грани F ′ трансверсальны всем F , то тогдаXα · α′ = π[F ∩ F ′ ] .В дальнейшем нам понадобится также следующая лемма, которая являетсянепосредственным следствием определения группы MQ,P .Лемма 2.4. Пусть α и β – два однородных элемента кольца RQ однойи той же степени.
Равенство π(α) = π(β) выполнено в группе MQ,P тогдаи только тогда, когда π(αγ) = π(βγ) для всех однородных элементов γ ∈ RQдополнительной степени таких, что π(γ) ∈ RP ⊂ MQ,P .2.4. Пример: многогранники Гельфанда–Цетлина в R3 . Рассмотриммногогранник P в пространстве R3 , заданный следующими линейными неравенствами:a 6 x 6 b,b 6 y 6 c,x 6 z 6 y.ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА101Рис.
1. Многогранник Гельфанда–Цетлина для GL3 и его разрешениеЭто трехмерный многогранник Гельфанда–Цетлина (см. рис. 1). Определяющая система линейных неравенств для многогранника P обычно представляется схематически следующим образом:abxcyzНапример, то, что координата x расположена между a и b строчкой ниже,означает, что эта координата подчиняется неравенствам a 6 x 6 b.Многогранник P можно получить из параллелепипеда [a, b] × [b, c] × [a, c]удалением двух призм:{a 6 z < x 6 b, b 6 y 6 c},{b 6 y < z 6 c, a 6 x 6 b}.Следовательно, объем многогранника P равен(b − a)(c − b)(c − a) −(b − a)2 (c − b) (c − b)2 (b − a)1−= (b − a)(c − b)(c − a)222(впрочем, можно увидеть и чисто геометрически, не производя никаких вычислений, что выкидываемые куски составляют ровно половину объема всегопараллелепипеда).
Кольцо RP порождено классами частных дифференцирований ∂a , ∂b и ∂c . Более того, поскольку объем многогранника P не изменится,если мы одновременно сдвинем параметры a, b и c на одно и то же вещественноечисло, имеем ∂a + ∂b + ∂c = 0 в кольце RP . Выделенная система аддитивныхобразующих кольца RP задается многочленами Шуберта относительно дифференцирований −∂a и −∂b , т. е.Ss1 s2 s1 = −∂a2 ∂b ,Ss2 = −∂a − ∂b ,Ss1 s2 = ∂a ∂b ,Ss1 = −∂a ,Ss2 s1 = ∂a2 ,Sid = 1.102В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В.
А. ТИМОРИНТеперь рассмотрим простой многогранник Q, заданный следующими неравенствами:a 6 x 6 b,b 6 y 6 c,x 6 z 6 y + ε,где ε > 0 – фиксированное маленькое число. Многогранник Q тоже можнополучить из параллелепипеда [a, b] × [b, c] × [a, c + ε] удалением двух призм:{a 6 z < x 6 b, b 6 y 6 c},{b 6 y < z − ε 6 c, a 6 x 6 b}.Следовательно, объем многогранника Q равен(b − a)2 (c − b) (c − b)2 (b − a)−221= (b − a)(c − b)(c − a) + ε(b − a)(c − b).2Это многочлен от переменных a, b, c и ε.Кольцо RQ мультипликативно порождается частными дифференцированиями ∂˜a , ∂˜b , ∂˜c (волна нужна только для того, чтобы отличить эти элементыкольца RQ от элементов ∂a , ∂b , ∂c ∈ RP ) и ∂ε . Заметим, что ∂˜a + ∂˜b + ∂˜c = 0 ив кольце RQ .
Имеем(b − a)(c − b)(c − a + ε) −∂˜a = −[x = a],∂˜b = −[y = b] + [x = b],∂˜c = [y = c],∂˜ε = [z = y + ε].Формула (1) дает три линейных соотношения на гиперграни многогранника Q:−[x = a] + [x = b] + [x = z] = 0,−[y = b] − [z = y + ε] + [y = c] = 0,−[x = z] + [z = y + ε] = 0.Мы можем представить многочлены Шуберта от дифференцирований ∂a и ∂bкак образы при отображении π определенных элементов кольца RQ следующимобразом:Ss1 = π([x = a]),Ss2 s1 = π([x = z = a]),Ss2 = π([y = b] + [x = z]),Ss1 s2 = π([x = a, y = b]).Все грани многогранника Q, которые возникают в правых частях этих соотношений, вырождаются в регулярные грани многогранника P .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
