Диссертация (1136188), страница 31
Текст из файла (страница 31)
67, вып. 4 (406)УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУКАскольду Георгиевичу Хованскому к 65-летию,с благодарностью и восхищениемУДК 512.734Исчисление Шубертаи многогранники Гельфанда–ЦетлинаВ. А. Кириченко, Е. Ю. Смирнов, В. А. ТиморинМы описываем новый подход к исчислению Шуберта на многообразияхполных флагов, используя многочлен объема, связанный с многогранниками Гельфанда–Цетлина. Этот подход позволяет вычислять произведения (пересечения) циклов Шуберта, пересекая грани многогранника.Библиография: 23 названия.Ключевые слова: многообразие флагов, исчисление Шуберта, многогранник Гельфанда–Цетлина, многочлен объема.Содержание1.
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. История исчисления Шуберта . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Кольцо многогранника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Кольца, связанные с многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .2.2. Многочлен объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Структура колец многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Пример: многогранники Гельфанда–Цетлина в R3 . . . . . . . . . .
. . . . .3. Многогранник Гельфанда–Цетлина и его кольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1. Многогранник Гельфанда–Цетлина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Грани и диаграммы граней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .3.3. Когановские грани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Циклы Шуберта и грани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .4.1. Циклы Шуберта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Многочлены Шуберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Представление циклов Шуберта при помощи граней . .
. . . . . . . . . .90909394949698100103103104105107107107108Работа поддержана РФФИ (грант № 10-01-00540-a), Лабораторией алгебраической геометрии НИУ ВШЭ (грант правительства РФ дог. № 11.G34.31.0023), Федеральным агентством по науке и инновациям (грант № 02.740.11.0608), фондом Саймонса (Е.С., В.Т.), фондом “Династия” (В.К.), стипендией Делиня (В.Т.), грантом Президента РФ МК-2790.2011.1(В.Т.), грантами РФФИ № 11-01-00289-a, 12-01-00944 (Е.С.), 11-01-00654-a (В.Т.), грантамиРФФИ–CNRS № 10-01-93110-a (В.К.), 10-01-93111-a (Е.С.).
В данной научной работе использованы результаты, полученные в ходе выполнения проектов № 11-01-0152 и 11-01-0159,реализованных в рамках Программы “Научный фонд НИУ ВШЭ” в 2012–2013 гг.c⃝В. А. Кириченко, Е. Ю. Смирнов, В. А. Тиморин,89201290В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИН5. Характеры Демазюра . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1. Характеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Степени многообразий Шуберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .5.3. Формула Демазюра для характера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Зеркальный митоз. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Митоз на параллелепипедах. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1. Параллелепипеды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Комбинаторика параллелепипедов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .6.3. Диаграммы слоя, лестничные движения и доказательство ключевой леммы 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .1101101131141151161171191231271. Введение1.1. Основные результаты. В этой статье мы исследуем связь между исчислением Шуберта и многочленом объема на пространствах выпуклых многогранников. Мы приводим различные представления циклов Шуберта на многообразии полных флагов через суммы граней многогранника Гельфанда–Цетлина. Наша работа мотивирована богатым взаимодействием между алгебраической геометрией и выпуклыми многогранниками, первоначально исследованным для торических многообразий и недавно перенесенным в более общийконтекст [10].Один из наших главных инструментов – это конструкция из [22], котораяставит в соответствие каждому выпуклому многограннику P ⊂ Rd градуированное коммутативное кольцо RP (оно называется кольцом многогранника),обладающее двойственностью Пуанкаре (см. [23] или раздел 2). Для целочисленно простого многогранника P (простота означает, что в каждой вершинесходятся в точности d = dim(P ) ребер, а целочисленная простота означает,что примитивные целочисленные векторы, параллельные ребрам, порождают решетку Zd ) кольцо RP изоморфно кольцу Чжоу соответствующего торического многообразия XP [22].
Грани многогранника P отождествляютсяс некоторыми элементами кольца RP , которые порождают RP как группу посложению. Если [F ] – это элемент кольца RP , соответствующий грани F , то[F ] · [G] = [F ∩ G] в RP , при условии, что F и G трансверсальны. Отдельныеграни многогранника P представляют циклы, заданные замыканиями орбиттора в XP . В этой статье нас в первую очередь интересует случай, когда P неявляется простым.
Кьюмарс Каве связал кольца многогранников некоторыхнепростых многогранников с кольцами Чжоу гладких неторических сферических многообразий [9]. В частности, он заметил, что кольцо RP для многогранника Гельфанда–Цетлина P = Pλ (который не является простым), связанногосо строго доминантным весом λ = (λ1 , .
. . , λn ) ∈ Zn группы GLn (C), изоморфнокольцу Чжоу многообразия X полных флагов в Cn . Напомним, что многогранник Гельфанда–Цетлина Pλ ⊂ Rd , где d := n(n − 1)/2 обозначает размерностьмногообразия флагов, задается 2d неравенствами, зависящими от λ (см. п. 3.1).Когда P не прост, нет очевидного соответствия между гранями многогранника P и элементами кольца RP .
Один из результатов настоящей статьи –ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА91общая конструкция, которая ставит в соответствие каждому элементу кольца RP линейную комбинацию граней многогранника P (хотя не каждая граньмногогранника P соответствует элементу кольца RP ). А именно, мы вкладываем кольцо RP в некоторый Z-модуль MP , элементы которого можно рассматривать как линейные комбинации произвольных граней многогранника Pпо модулю некоторых соотношений (см.
раздел 2). Модуль MP зависит отвыбора разрешения многогранника P . На алгебро-геометрическом уровне RPможно рассматривать как подкольцо кольца Чжоу особого торического многообразия XP , порожденное группой Пикара, и MP можно построить, используяразрешение особенностей для XP .
Однако мы описываем MP в элементарныхтерминах, используя выпуклую геометрию. Ключевой аспект такого представления суммами граней состоит в том, что мы по-прежнему можем перемножатьэлементы кольца RP , пересекая грани (при условии, что грани, которые мы пересекаем, трансверсальны).Наша конструкция применима к любому выпуклому многограннику P , ноособенно интересно изучать случай, когда P = Pλ – это многогранник Гельфанда–Цетлина, поскольку в этом случае имеет место изоморфизм RP ≃ CH ∗ (X)для многообразия флагов X. Напомним, что CH ∗ (X) (как группа) являетсясвободной абелевой группой с базисом из циклов Шуберта [X w ], где w пробегает все перестановки Sn (см.
определение цикла Шуберта в п. 4.1). В частности,наша конструкция позволяет представлять циклы Шуберта как линейные комбинации граней многогранника Гельфанда–Цетлина многими разными способами (см. теорему 4.3, предложение 3.2, следствие 4.5), что имеет приложенияк исчислению Шуберта.Хотя связь между многообразиями Шуберта и некоторыми гранями многогранника Гельфанда–Цетлина была впервые обнаружена в [15], а затем другими методами также в [16] и [12], только наш подход развивает эту связь дотакого уровня, при котором можно моделировать исчисление Шуберта черезмногогранник Гельфанда–Цетлина. Результаты работ [15], [16] не имеют приложений к исчислению Шуберта, поскольку в них для каждого многообразияШуберта строится только одно представление в виде суммы граней. Кольцомногогранника RP и Z-модуль MP позволяют нам получить новые представле′ния для циклов Шуберта, в частности, любые два цикла Шуберта [X w ] и [X w ]мы можем представить как суммы граней так, чтобы каждая грань, участвующая в разложении цикла [X w ], была трансверсальна каждой грани, участ′вующей в разложении цикла [X w ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
