Диссертация (1136188), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поэтому пересечение любых двух цикловШуберта представляется линейной комбинацией граней с неотрицательнымикоэффициентами, что напрямую связано с одной из основных задач исчисления Шуберта — комбинаторной интерпретацией положительности структурных констант (см. п. 1.2). Более точно, мы получаем следующий результат(см.
также следствие 4.6).Теорема 1.1. Произведение любых двух циклов Шуберта [X w ] и [X u ] выражается как сумма следующих граней:X[X w ] · [X u ] =[F ∩ F ∗ ],w(F )=w,w(F ∗ )=w0 uw0−192В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНгде F и F ∗ пробегают соответственно множество всех приведенных когановских и двойственных когановских граней многогранника Pλ .Здесь через w0 ∈ Sn обозначена самая длинная перестановка, переводящая iв (n − i + 1).
Приведенными двойственными когановскими гранями мы называем rc-грани работы [16] (см. п. 4.3). Когановские грани определяютсяв п. 3.3 и характеризуются тем, что содержат простую вершину v многогранника Гельфанда–Цетлина, имеющую минимальную сумму координат (соответственно, двойственные когановские грани содержат вершину v ∗ с максимальной суммой координат). Каждая когановская грань трансверсально пересекаеткаждую двойственную когановскую грань (поскольку не существует гиперграни, содержащей одновременно v и v ∗ ). Для каждой когановской или двойственной когановской грани F можно определить перестановку w(F ) ∈ Sn , ставя всоответствие гиперграням, содержащим v или v ∗ , простые транспозиции, и затем перемножая их в определенном порядке (см. подробности в п.
3.3).Связь между исчислением Шуберта и многогранниками Гельфанда–Цетлинаяснее всего видна из теории представлений группы GLn (C). Напомним, что поопределению многогранников Гельфанда–Цетлина целые точки внутри и награнице многогранника Pλ параметризуют естественный базис (базис Гельфанда–Цетлина) в неприводимом GLn -модуле старшего веса Vλ со старшим весом λ. В частности, каждой целой точке z ∈ Pλ мы можем поставить в соответствие ее вес p(z) в решетке весов группы GLn (т. е.
в решетке характеровмаксимального тора в GLn ). С другой стороны, теорема Бореля–Вейля–Боттадает геометрическое описание модуля Vλ как двойственного к пространствуглобальных сечений некоторого линейного расслоения Lλ на многообразиифлагов X (см. раздел 5). Тем самым, базис в пространстве сечений линейногорасслоения на X параметризуются целыми точками в соответствующем многограннике Гельфанда–Цетлина, что позволяет использовать методы теориимногогранников Ньютона. Аналогично, пространство сечений расслоения Lλ ,ограниченного на многообразие Шуберта X w , двойственно к B − -подмодулю−модуля Vλ , так называемому модулю Демазюра Vλ,w(через B − ⊂ GLn обозначается подгруппа нижнетреугольных матриц).
Естественно спросить, можно−ли запараметризовать базис в Vλ,wцелыми точками в гранях многогранникаГельфанда–Цетлина. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Для каждого многообразия Шуберта X w и строго доминантного веса λ мы реализуем−соответствующий характер χw (λ) модуля Демазюра Vλ,wкак экспоненциальную сумму по целым точкам в объединении когановских граней (см. такжетеорему 5.1).Теорема 1.2. Для всякой перестановки w ∈ Sn характер Демазюра χw (λ)имеет видXχw (λ) =ep(z) ,z∈Aλ,w ∩Zdгде Aλ,w :=[Fλ – это объединение всех приведенных когановских гранейw(Fλ )=wмногогранника Гельфанда–Цетлина Pλ с перестановкой w.ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА93Это обобщает тождество из [21; следствие 15.2] для характера Демазюра132-избегающей или, по другой терминологии, кемпфовской перестановки w.Такие перестановки также называются доминантными, но мы вместо этогобудем используем термин “кемпфовская”.
Заметим, что перестановка является кемпфовской, если и только если существует единственная приведеннаякогановская грань с такой перестановкой (см. [15; предложение 2.3.2]), и этов точности грань, рассмотренная в [21]. Теорема 1.2 позволяет изучать геометрию многообразий Шуберта методами теории многогранников Ньютона (см.раздел 5).Чтобы доказать нашу формулу для характера Демазюра, мы используемэлементарную выпуклую геометрию вместе с простой комбинаторной процедурой (носящей название митоз), введенной в [14] (см. также [19], где содержитсяэлементарное изложение митоза) для работы с операторами разделенных разностей.
В частности, наше доказательство дает геометрическую реализациюмитоза (см. п. 6.2). В качестве побочного продукта мы строим минимальнуюреализацию симплекса как кубического комплекса, отличную от ранее известных реализаций (см. предложение 6.6).Несколько слов об организации материала в этой статье. В разделе 2 мынапоминаем определение кольца многогранника RP , обсуждаем его свойства истроим модуль MP для непростого P . В разделе 3 мы изучаем кольца многогранников Гельфанда–Цетлина.
В разделе 4 мы представляем циклы Шуберта гранями. В разделе 5 мы приводим формулы для характеров Демазюра,функций Гильберта и степеней многообразий Шуберта через грани и выводимиз этих формул некоторые результаты раздела 4. В разделе 6 мы описываем простую геометрическую версию митоза (парамитоз) и используем ее длядоказательства формул для характеров Демазюра из раздела 5.1.2. История исчисления Шуберта. Основы исчисления Шуберта были заложены в XIX веке немецким математиком Германом Шубертом, который разработал общий метод для решения задач исчислительной геометрии.Например, классическая задача о том, сколько прямых в трехмерном пространстве проходит через четыре данные, сводится к вычислению произведений циклов Шуберта в грассманиане G(2, 4).
Для произвольного грассманианасуществует алгоритм, называемый правилом Литтлвуда–Ричардсона, для вычисления структурных констант кольца Чжоу в базисе из циклов Шуберта,дающий комбинаторное доказательство неотрицательности структурных констант – каждая из них оказывается равной числу диаграмм Юнга с определенными свойствами (см., например, [8] или [18; гл.
1]).Для многообразия полных флагов существует простой алгоритм умноженияциклов Шуберта, но из него не следует комбинаторного доказательства неотрицательности структурных констант. При этом неотрицательность, как и в случае грассманиана, легко следует из геометрических соображений: посколькулюбое многобразие (частичных) флагов является однородным пространствомотносительно действия группы GLn , любые два подмногообразия можно привести действием группы в трансверсальное положение по теореме Клеймана отрансверсальности [13]. Отсюда уже несложно вывести, что пересечение двухциклов Шуберта является линейной комбинацией циклов Шуберта с неотрицательными коэффициентами.
Комбинаторная интерпретация положительности94В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНструктурных констант была недавно получена лишь для двухшаговых многообразий флагов [5], причем возникающая при этом комбинаторика по сложности существенно превосходит классическое правило Литтлвуда–Ричардсонадля грассманианов. Случай многообразия полных флагов пока открыт.Поскольку кольцо Чжоу многообразия полных флагов в Cn порождаетсягруппой Пикара, то это кольцо можно представить как факторкольцо кольцаZ[x1 , .
. . , xn ] многочленов от n переменных (см. [18; теорема 3.6.15]). Такоеописание называется представлением Бореля. Реализация циклов Шубертамногочленами в представлении Бореля была получена в работах [3], [6] с помощью операторов разделенных разностей или операторов Демазюра (см. теорему 4.2). Тем самым, можно перемножать циклы Шуберта как многочленыв кольце Z[x1 , .
. . , xn ].Интересно отметить, что операторы Демазюра (точнее, их K-теоретическиеверсии) также играют важную роль в теории представлений, а именно, позволяют вычислять характеры Демазюра. Это было замечено еще в [6], нострогое доказательство появилось позже в [1] (см. теорему 5.6). Это одно изпроявлений связи между исчислением Шуберта и теорией представлений. Другое ее проявление заключается в том, что правило Литтлвуда–Ричардсона дляграссманиана дает также правило разложения тензорного произведения двухнеприводимых GLn -модулей на неприводимые модули.В работе [17] были определены многочлены Шуберта – наиболее естественные представители циклов Шуберта в кольце Z[x1 , . .
. , xn ]. Многочлены Шуберта стали популярной темой алгебраической комбинаторики. Одним из ярких результатов в этой области является теорема Кириллова–Фомина (см. [7]или п. 4.2), из которой следует, что каждый многочлен Шуберта является линейной комбинацией мономов с целыми неотрицательными коэффициентами(из определения многочленов Шуберта неотрицательность коэффициентов неочевидна).Заметим, что подход к исчислению Шуберта, изложенный в настоящей работе, дает новую комбинаторную модель исчисления Шуберта, отличную отмодели, основанной на многочленах Шуберта (см. замечание 2.5).Благодарности. Этот проект был начат, когда первый, второй и третийавторы соответственно сотрудничали с Математическим институтом МаксаПланка (MPIM), Математическим центром Хаусдорфа в Бонне и Университетом Якобса в Бремене.
Дальнейшее развитие проект получил, когда первыйи третий авторы посещали Свободный университет Берлина и MPIM в Бонне.Мы хотим поблагодарить эти организации за гостеприимство, финансовую поддержку и прекрасные условия для работы.Авторы благодарны Мишелю Бриону, Аскольду Георгиевичу Хованскому иАллену Кнутсону за полезные обсуждения.2. Кольцо многогранника2.1. Кольца, связанные с многочленами. Следуя [22], мы свяжем скаждым однородным многочленом градуированное коммутативное кольцо. Затем мы рассмотрим интересующий нас частный случай многочлена объема наИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА95пространстве многогранников с данным нормальным веером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
