Диссертация (1136188), страница 36
Текст из файла (страница 36)
КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНприведенной, если ее длина минимальна, т. е. перестановку w нельзя представить как произведение менее чем l элементарных транспозиций. Приведенныекогановские грани многогранника Гельфанда–Цетлина биективно соответствуют приведенным rc-графам (их еще называют pipe dreams; см. [15; разд. 2.2.1]).Отметим, что грани и соответствующему rc-графу отвечает одна и та же перестановка.Рис. 2. Приведенные когановские грани для трехмерного многогранника Гельфанда–ЦетлинаДиаграммы всех приведенных когановских граней в случае n = 3 и отвечающие им перестановки приведены на рис.
2.Предложение 3.3. Все когановские грани являются регулярными.Доказательство. Имеется только одна когановская вершина. Эта вершина является простой и содержится в любой другой когановской грани. Поэтомуэто утверждение следует из предложения 2.3.При помощи четырехчленных соотношений можно выразить [Γ−0,j+1 ] черезкогановские грани:−[Γ−0,j+1 ] = [Γ0,j ] − [Γ1,j ] + [Γ1,j ] = [Γ0,j ] − [Γ1,j ] + [Γ1,j−1 ]− [Γ2,j−1 ] + [Γ−2,j−1 ] = · · · =j−1X[Γi,j−i ] − [Γi+1,j−i ].i=0Определим k-антидиагональную сумму гиперграней ADk как сумму всех элементов вида [Γi,j ], где сумма i+j = k постоянна (при этом i может равняться 0).−Положим Γj = Γ0,j и Γ−j = Γ0,j . Проведенное вычисление показывает, что[Γj+1 ] − [Γ−j+1 ] = ADj+1 − ADj .ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА107Предложение 3.4.
В RP имеют место следующие равенства:∂= π(−[Γ1 ]),∂λ1∂= π([Γ−2 ] − [Γ2 ]),∂λ2...,∂= π([Γ−n ]).∂λn∂при естественном вло∂λjжении ΛP → ΛQ . Обозначим через Hj и Hj− опорные числа, отвечающие−гиперграням Γj и Γ−j соответственно. Таким образом, Hj и Hj – линейныефункционалы на ΛQ . По правилу дифференцирования сложной функции,Доказательство. Пусть ∂j – образ вектора∂j =n−1XHk (∂j )[Γj ] +k=1nXHk− (∂j )[Γ−j ]k=2в RQ , поскольку [Γj ] = ∂/∂Hj ; аналогично для [Γ−j ]. Теперь достаточно заметить, что Hk (∂j ) = −δkj и Hk− (∂j ) = δkj , где δkj – символ Кронекера.
Предложение доказано.4. Циклы Шуберта и грани4.1. Циклы Шуберта. Далее на всем протяжении статьи мы положимG = GLn (C). Пусть через B и B − обозначены соответственно подгруппыверхне- и нижнетреугольных матриц в G. Группу Вейля группы G можноотождествить с симметрической группой Sn : перестановка w ∈ Sn соответствует элементу из G, действующему на векторах стандартного базиса ei поформуле ei 7→ ew(i) . Для всякого w ∈ Sn определим многообразие ШубертаX w как замыкание B − -орбиты элемента w в многообразии флагов X = G/B.Несложно проверить, что длина l(w) элемента w равна коразмерности подмногообразия X w в X.
Класс [X w ] подмногообразия X w в группе Чжоу CH l(w) (X)называется циклом Шуберта, отвечающим перестановке w.Замечание 4.1. Отметим, что обозначения в работе [16] отличаются от наших. А именно, там рассматривается многообразие флагов B − \ G. При изоморфизме G/B → B − \ G, переводящем gB в w0 g −1 w0−1 B − , наше многообразиеШуберта X w отображается в многообразие Шуберта Xw−1 ww0 в обозначениях0[16; § 4].4.2.
Многочлены Шуберта. Напомним определение многочленов Шуберта (см. [3], [17]). Каждой простой транспозиции si = (i, i + 1) поставимв соответствие оператор разделенных разностей, действующий на многочленахот переменных x1 , x2 , . . . по формулеAi (f ) =f − si (f ),xi − xi+1где si (f ) – многочлен f , в котором переставлены переменные xi и xi+1 . Длякаждой перестановки w рассмотрим некоторое приведенное (т.
е. кратчайшее)разложение w−1 w0 = si1 · · · sik перестановки w−1 w0 в произведение простыхтранспозиций. Многочлен Шуберта Sw определяется формулойSw (x1 , x2 , . . . ) = Ai1 · · · Aik (xn−1xn−2· · · xn−1 ).12108В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНТеорема 4.2 [3]. Класс [X w ] многообразия Шуберта X w в кольце CH(X)равняется Sw (x1 , x2 , .
. . ), где xi = −c1 (Li ) – взятый со знаком “минус” первый класс Чженя тавтологического линейного факторрасслоения Li . Приотождествлении CH(X) = RP получаем, что∂∂[X w ] = Sw −,...,−.∂λ1∂λnДалее, напомним теорему Кириллова–Фомина [7]. Сопоставим каждой грани F моном x(F ) от переменных x1 , . . . , xn−1 , сопоставив xj каждому из уравнений вида λi,j = λi+1,j , которые задают F , и взяв произведение всех этих переменных (здесь, разумеется, порядок уже несуществен). Теорема Кириллова–Фомина утверждает, что многочлен Шуберта Sw , отвечающий классу Шуберта [X w ], равенXx(F ),w(F )=wгде сумма берется лишь по приведенным когановским граням.4.3. Представление циклов Шуберта при помощи граней. В кольцемногогранника циклы Шуберта могут быть отождествлены с линейными комбинациями граней без использования многочленов Шуберта.
Следующая теорема является непосредственным аналогом теоремы Кириллова–Фомина; онапоказывает, что всякий цикл Шуберта может быть представлен в виде суммыграней точно таким же способом, как соответствующий ему многочлен Шуберта представляется в виде суммы мономов.Теорема 4.3. Цикл Шуберта [X w ], рассматриваемый как элемент кольцамногогранника Гельфанда–Цетлина, может быть представлен в виде следующей линейной комбинации граней: X[X w ] = π[F ] ,w(F )=wгде сумма берется лишь по приведенным когановским граням (все эти гранирегулярны).Доказательство этой теоремы будет приведено в п. 5.2. Оно использует комбинаторику и геометрию многогранника Гельфанда–Цетлина, а также формулуДемазюра для характера.Несмотря на сходство между этой теоремой и теоремой Кириллова–Фомина,первая не следует из второй, так как нет почленного равенства между мономами в многочлене Шуберта Sw (которые всегда лежат в кольце RP ) и образамиграней π([F ]) в разложении цикла X w (которые, как правило, не лежат в кольце RP ).
Это видно уже в случае n = 3 и w = s2 (см. замечание 2.5).Отметим, что у цикла Шуберта может быть и более простое представлениепри помощи суммы граней, чем то, которое приводится в этой теореме (см.пример 4.4).ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА109Пример 4.4. Используя предложение 3.4 и теорему 4.2, можно выразитьдивизоры Шуберта [X si ] через элементы кольца многогранника, соответствующие гиперграням многогранника P . Во-первых,Xi0∂∂−si0[X ] = Ssi0 −,−,...
= π[Γj ] − [Γj ] ,∂λ1∂λ2j=1где все слагаемые, индексы которых лежат вне допустимых пределов, считаются равными нулю. Как мы видели, элемент [Γj ] − [Γ−j ] равняется ADj − ADj−1 .Следовательно,Xi0[X si0 ] = π(ADi0 ) = π[Γi0 −j,j ] .j=1si0Мы получаем представление цикла [X ] в виде суммы i0 граней. Это представление совпадает с указанным в теореме 4.3.
Отметим, однако, что [X sn−1 ]можно представить при помощи одной грани, а именно,[X sn−1 ] = −n−1Xi=1∂∂== π[Γ−n ].∂λi∂λnnX∂= 0 в RQ , поскольку многочлен объема ин∂λii=1вариантен относительно параллельных переносов, в частности, он не меняетсяот прибавления одного и того же числа ко всем λi .Мы использовали равенствоТеорема 4.3 вместе с соотношениями в кольце многогранника RP дает следующее двойственное представление циклов Шуберта при помощи граней. Определим двойственные когановские грани многогранника Гельфанда–Цетлинакак грани, заданные уравнениями вида4 λi,j = λi+1,j−1 (т. е. являющиеся пересечениями гиперграней вида Γ−i,j ).
Иными словами, диаграммы двойственных когановских граней суть зеркальные образы диаграмм обычных когановских граней при отражении относительно вертикальной прямой. Каждой двойственной когановской грани F ∗ также можно сопоставить перестановку w(F ∗ ).А именно, сопоставим каждому уравнению λi,j = λi+1,j−1 простое отражениеsn−j+1 и рассмотрим композицию этих отражений, полученную прохождением от нижней строки к верхней, причем каждая строка будет читаться справаналево.
Отметим, что перестановка w(F ∗ ) совпадает с перестановкой w(F ),построенной по когановской грани F , которая является отражением грани F ∗относительно вертикальной прямой (т. е. каждое уравнение вида λi,j = λi+1,j−1заменяется уравнением λi,n−i−j+1 = λi+1,n−i−j+1 ).Следствие 4.5. Цикл Шуберта [X w ], рассматриваемый как элемент кольца многогранника Гельфанда–Цетлина, может быть представлен как следующая линейная комбинация граней:Xw∗[X ] = π[F ] ,w(F ∗ )=w0 ww0−1где сумма берется по всем приведенным двойственным когановским граням.4Т. е.
типа R в обозначениях работы [12], что то же самое, что тип B в работе [15].110В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНДоказательство. Рассмотрим линейный автоморфизм пространства Rd ,переводящий точку с координатами λi,j в точку с координатами −λi,n−i−j+1 .Этот автоморфизм переводит многогранник Гельфанда–Цетлина Pλ в многогранник Гельфанда–Цетлина P−w0 λ , где w0 (λ1 , . . . , λn ) = (λn , . . . , λ1 ). Такимобразом, он индуцирует автоморфизм пространства VP , сохраняющий решетку ΛP , а значит, и автоморфизм A кольца RP . Выберем такое разрешение Q,что автоморфизм A продолжается на кольцо RQ . Ясно, что продолженныйавтоморфизм переводит элемент π([F ]), отвечающий регулярной грани F многогранника P , в элемент π([F ∗ ]), где диаграмма грани F ∗ получается из диаграммы грани F отражением относительно вертикальной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
