Диссертация (1136188), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть Λf – решетка, т. е. свободный Z-модуль, а f – однородный многочлен на вещественном векторном пространстве Vf = Λf ⊗ R, содержащем решетку Λf . Cимметрическую алгебру Sym(Λf ) решетки Λf можно представлять себе как кольцодифференциальных операторов с постоянными целыми коэффициентами, действующее на пространстве R[Vf ] всех многочленов на Vf . Если D ∈ Sym(Λf ) иφ ∈ R[Vf ], то мы обозначаем через Dφ ∈ R[Vf ] результат этого действия. Определим Af как однородный идеал в алгебре Sym(Λf ), состоящий из всех дифференциальных операторов D таких, что Df = 0.
Положим Rf = Sym(Λf )/Af .Мы будем называть это кольцо кольцом, связанным с многочленом f .Пусть Λg – другая решетка и σ : Λg → Λf – гомоморфизм решеток. Определим многочлен g ∈ R[Vg ] формулой σ ∗ (f ) = f ◦ σ. Мы хотим описать связьмежду кольцами Rf и Rg , связанными с этими двумя многочленами. К сожалению, нет никакого естественного гомоморфизма между этими кольцами.Тем не менее, можно сформулировать следующее предложение.Предложение 2.1.
Определены естественная абелева группа Mf,g , естественный эпиморфизм π : Rf → Mf,g и естественный мономорфизм ι : Rg →Mf,g такие, чтоπ(α̃β̃) = ι(αβ)при условии, что π(α̃) = ι(α) и π(β̃) = ι(β).Это предложение можно использовать следующим образом. Элементы кольца Rg допускают естественное вложение в группу Mf,g . Хотя элементы группыMf,g в общем случае нельзя перемножать, можно поднять в Rf пару элементов,приходящих из Rg , перемножить их в кольце Rf и спроецировать произведениеобратно на группу Mf,g . Во многих случаях это сделать легче, чем непосредственно перемножать элементы кольца Rg .Доказательство. Рассмотрим Z-подмодуль Af,g модуля Sym(Λf ), состоящий из всех операторов D, обладающих свойством σ ∗ (Df ) = 0. Далее, положим Mf,g = Sym(Λf )/Af,g .
Ясно, что Af ⊂ Af,g ; таким образом, мы получаеместественную проекцию π : Rf → Mf,g . Пусть σ∗ : Sym(Λg ) → Sym(Λf ) – гомоморфизм, индуцированный отображением σ. Для дифференциального оператора D ∈ Sym(Λg ) обозначим через [D] класс оператора D в кольце Rg .Определим ι([D]) как класс в группе Mf,g оператора σ∗ (D).Чтобы убедиться, что оператор ι([D]) корректно определен, мы воспользуемся формулойσ ∗ (σ∗ (D)φ) = Dσ ∗ φдля каждого φ ∈ R[Vf ]. Эта формула очевидна в случае D ∈ Λg , и обе частиэтой формулы зависят от оператора D мультипликативно. В частности, мыполучаемσ ∗ (σ∗ (D)f ) = Dσ ∗ f = Dg,что равно нулю в случае, если D лежит в Ag .
Следовательно, элемент ι([D])корректно определен: если D ∈ Ag , то σ∗ (D) ∈ Af,g . Из той же формулывытекает, что отображение ι инъективно: если ι([D]) = 0, т. е. σ∗ (D) ∈ Af,g , тоD ∈ Ag .96В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНОстается доказать, что π(α̃β̃) = ι(αβ) при условии, что π(α̃) = ι(α) и π(β̃) =ι(β). Но это непосредственно вытекает из формулы σ∗ (DE) = σ∗ (D)σ∗ (E).Предложение доказано.Пример 2.2. Приведем пример, иллюстрирующий предложение 2.1. Рассмотрим многочлен f (x, y, z) = (x+y)2 +xz, определенный на пространстве R3 .Будем считать, что решетка Λf совпадает со стандартной целочисленной решеткой Z3 .
Тогда кольцо Rf порождено над целыми числами классами [∂x ], [∂y ]и [∂z ] дифференциальных операторов ∂x , ∂y и ∂z соответственно. Эти классыподчиняются соотношениям[∂x ]2 = [∂y ]2 = [∂x ][∂y ] = 2[∂x ][∂z ],[∂y ][∂z ] = [∂z ]2 = 0,а также соотношениям, происходящим из того факта, что класс любого дифференциального оператора порядка 3 и выше равен нулю. Элементы 1, [∂x ], [∂y ],[∂z ], [∂x ]2 образуют аддитивный базис в Rf (т. е. свободно порождают Rf какZ-модуль). Таким образом, аддитивная группа кольца Rf имеет ранг 5. Рассмотрим гомоморфизм Z-модулей φ : Z2 → Z3 , заданный формулой φ(ξ, η) =(ξ, η, 0).
Тогда многочлен g = φ∗ f имеет вид (ξ + η)2 . Соответствующее кольцоRg порождено классом [∂ξ ] = [∂η ] с соотношением [∂ξ ]3 = 0. Таким образом,аддитивная группа кольца Rg имеет ранг 3 и свободно порождается элементами 1, [∂ξ ], [∂ξ ]2 . Теперь рассмотрим Z-модуль Mf,g . Элементы этого модулянаходятся во взаимно однозначном соответствии с ограничениями многочленовDf на подпространство z = 0, где D пробегает все дифференциальные операторы из Sym(Λf ). Соответствующее пространство многочленов имеет ранг 4 исвободно порождается многочленами 1, 2(x + y), x, (x + y)2 . Мы будем отождествлять элементы модуля Mf,g с соответствующими многочленами. Проекция π : Rf → Mf,g переводит элементы [∂x ] и [∂y ] в один и тот же многочлен2(x + y), в частности, отображение π не является инъективным.
Вложениеι : Rg → Mf,g переводит аддитивные образующие 1, [∂ξ ], [∂ξ ]2 кольца Rg в многочлены (x + y)2 , 2(x + y), 2, в частности, многочлен x не принадлежит образуотображения ι.2.2. Многочлен объема. Рассмотрим множество всех выпуклых многогранников размерности d в Rd . Это множество можно наделить структуройкоммутативной полугруппы при помощи суммы МинковскогоP1 + P2 = {x1 + x2 ∈ Rd | x1 ∈ P1 , x2 ∈ P2 }.Нетрудно проверить, что эта группа удовлетворяет условию сокращения.
Многогранники можно также умножать на неотрицательные вещественные числа,что сводится к применению гомотетии:λP = {λx | x ∈ P },λ > 0.Следовательно, можно вложить полугруппу выпуклых многогранников в еегруппу Гротендика V , которая получает естественную структуру (бесконечномерного) вещественного векторного пространства. Элементы пространства Vназываются виртуальными многогранниками. Напомним, что два выпуклыхИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА97многогранника называются аналогичными, если они имеют один и тот же нормальный веер, т. е. имеется взаимно однозначное соответствие между гранямимногогранника P и гранями многогранника Q, для которого любой линейныйфункционал, ограничение которого на P достигает максимума на данной граниF ⊆ P , обладает тем свойством, что ограничение этого функционала на Q достигает своего максимального значения на соответствующей грани многогранника Q (множество линейных функционалов, ограничения которых на многогранник P достигают максимального значения на грани F ⊂ Q, образуют конус CF ; нормальный веер многогранника P определяется как множество конусов CF , соответствующих всем граням F ⊆ Q).
Мы говорим, что виртуальныймногогранник аналогичен многограннику P , если его можно представить в видеразности двух выпуклых многогранников, аналогичных многограннику P . Всевиртуальные многогранники, аналогичные многограннику P , образуют конечномерное подпространство VP ⊂ V . На векторном пространстве V определеноднородный многочлен vol степени d, который называется многочленом объема.
Зафиксируем постоянную (трансляционно инвариантную) форму объемана Rd . Если зафиксирована целочисленная решетка Zd ⊂ Rd , мы всегда будемвыбирать форму объема таким образом, чтобы объем фундаментального параллелепипеда решетки Zd был равен 1. Если форма объема на пространствеRd фиксирована, то многочлен объема на пространстве V однозначно характеризуется тем свойством, что его значение vol(P ) на всяком выпуклом многограннике P равно объему многогранника P .
Нас будет интересовать ограничение volP многочлена объема vol на подпространство VP всех виртуальныхмногогранников, аналогичных многограннику P .Рассмотрим целочисленный выпуклый многогранник P (т. е. выпуклый многогранник с целочисленными вершинами) размерности d, не обязательно простой. Пусть ΛP – решетка в пространстве VP , порожденная некоторыми выпуклыми многогранниками, аналогичными многограннику P (мы не предполагаем, что решетка ΛP содержит все выпуклые многогранники, аналогичныемногограннику P ; так что эта решетка может зависеть от некоторых дополнительных параметров, а не только от многогранника P ). Допустим, что Q –выпуклый многогранник с целыми вершинами, нормальный веер которого является симплициальным подразбиением нормального веера многогранника P .В этом случае многогранник Q называется разрешением многогранника P (заметим, что, поскольку нормальный веер многогранника Q симплициальный,многогранник Q простой).
С многочленом объема volP , ограниченным на решетку ΛP , мы свяжем кольцо многогранника RP := RvolP . Аналогичным образом, для простого многогранника Q мы рассмотрим кольцо RQ := RvolQ ,связанное с многочленом объема volQ на решетке ΛQ (мы будем всегда предполагать, что эта решетка порождена всеми целочисленными многогранниками, аналогичными многограннику Q). Мы будем пользоваться Z-модулемMQ,P := MvolQ ,volP , введенным в предложении 2.1, вместе с гомоморфизмами ι : RP → MQ,P и π : RQ → MQ,P . Поскольку ι является каноническимвложением, мы будем отождествлять элементы кольца RP с их ι-образамив группе MQ,P . Каждой грани Fe многогранника Q мы поставим в соответствие грань F многогранника P со свойством CFe ⊂ CF , которую будем назы4УМН, т.
67, вып. 498В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИНвать P -вырождением грани Fe (или просто вырождением, если многогранник Pфиксирован). Грань F многогранника P называется регулярной (относительно многогранника Q), если есть только одна грань Fe многогранника Q такая,что грань F является вырождением грани Fe.Предложение 2.3. Пусть v – простая вершина многогранника P , т. е.в точности d = dim(P ) гиперграней многогранника P пересекаются в вершине v.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
