Диссертация (1136188), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Например, выражение для Ss2 s1 может быть получено так:Ss2 s1 = ∂a2 = π(∂˜a2 ) = π([x = a] · [x = a])= π([x = a] · ([x = b] + [z = x])) = π([x = a] · [x = b] + [x = z = a]).Первый член в правой части обращается в нуль, поскольку грани {x = a} и{x = b} не пересекаются.Таким же образом нетрудно обосновать все эвристические вычисления с гранями в [12; разд. 4].Замечание 2.5. Хотя многочлен Шуберта Ss2 = −∂a − ∂b представляетсякак образ суммы двух гранейSs2 = π([y = b] + [x = z]),ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА103нет почленного равенства между мономами и гранями в его разложении. Дело в том, что образы граней π([y = b]) и π([x = z]) не лежат в кольце RP(рассматриваемом как подмодуль в MQ,P ), хотя их сумма лежит.Действительно, из определения Z-модуля MQ,P и явной формулы для многочленов объема многогранников P и Q (см.
выше) несложно вывести, чтолинейные соотношения между π(∂˜a ), π(∂˜b ), π(∂˜c ) и π(∂ε ) порождаются единственным соотношением π(∂˜a ) + π(∂˜b ) + π(∂˜c ) = 0. Следовательно, π(∂ε ) =π([z = y + ε]) = π([x = z]) не выражается как линейная комбинация ∂a и ∂bв MQ,P и, тем самым, не лежит в кольце RP ⊂ MQ,P .3. Многогранник Гельфанда–Цетлина и его кольцо3.1. Многогранник Гельфанда–Цетлина. Рассмотрим кольцо RP многогранника Гельфанда–Цетлина P = Pλ , ассоциированного с некоторым строго доминантным весом λ = (λ1 , . .
. , λn ) ∈ Zn группы GLn (C), т. е. с набором из n целых чисел λi , удовлетворяющих неравенствам λi < λi+1 при всехi = 1, . . . , n − 1. Напомним, что многогранник Гельфанда–Цетлина Pλ – этовыпуклый целочисленный многогранник в Rd , где d = n(n − 1)/2, целые точки внутри и на границе которого биективно соответствуют элементам базисаГельфанда–Цетлина в неприводимом представлении группы GLn (C) со старшим весом λ. Этот многогранник задается системой неравенствλ1λ2λ1,1λ3...λ1,2λ2,1.........λ2,n−2....λn−2,1..λnλ1,n−1(GZ)λn−2,2λn−1,1где (λ1,1 , . .
. , λ1,n−1 ; λ2,1 , . . . , λ2,n−2 ; . . . ; λn−2,1 , λn−2,2 ; λn−1,1 ) – это координаты в пространстве Rd и записьabcозначает, что a 6 c 6 b. Многогранник Гельфанда–Цетлина для группыG = GL3 изображен на рис. 1. Отметим, что для любых двух строго доминантных весов λ и µ соответствующие многогранники Гельфанда–Цетлина Pλи Pµ будут аналогичными. Далее мы будем обозначать через P многогранник Pλ , отвечающий некоторому строго доминантному весу λ, и обозначимчерез ΛP решетку, порожденную всеми многогранниками Гельфанда–ЦетлинаPµ , где µ пробегает все множество строго доминантных весов.
Соответствиеµ 7→ Pµ задает естественный изоморфизм решеток Zn и ΛP . Иными словами,виртуальные многогранники в ΛP параметризованы произвольными наборами из n целых чисел, не обязательно строго возрастающих. Можно показать,что кольцо RP не меняется при замене решетки ΛP на решетку, порожденнуювсеми многогранниками, аналогичными Pλ , однако нам это не потребуется.104В. А. КИРИЧЕНКО, Е. Ю. СМИРНОВ, В. А. ТИМОРИННапомним, что с каждым полным флагом W = W1 ⊂ · · · ⊂ W n−1 в Cnсвязаны одномерные векторные пространства Li (W ) = Wi /Wi−1 . Несвязноеобъединение всех множеств вида {W } × Li (W ) с естественной проекцией на X,заданной формулой {W }×Li (W ) 7→ W , является линейным расслоением над X.Это линейное расслоение Li называется тавтологическим линейным факторрасслоением над X.Теорема 3.1 [9].
Кольцо RP изоморфно кольцу Чжоу (и кольцу когомологий) многообразия полных флагов X для группы GLn (C) (отметим, чтоdim(X) = d). При этом изоморфизме образы в RP дифференциальных опера∂∂торов,...,отображаются в первые классы Чженя тавтологических∂λ1∂λnлинейных факторрасслоений L1 , . . . , Ln над X .Эту теорему также можно вывести напрямую из представления Бореля длякольца когомологий H ∗ (X, Z), воспользовавшись тем фактом, что объем многогранника Pλ , Yрассматриваемый как функция от λ, равняется определителюВандермонда(λi − λj ), умноженному на некоторую константу.i<jНаряду с многогранником Гельфанда–Цетлина P мы также рассматриваемтакое его разрешение Q, что количество гиперграней в Q равняется количеству гиперграней в P и всякая опорная гиперплоскость многогранника Q, пересекающаяся с ним по гиперграни, достаточно близка к получаемой из неепараллельным переносом опорной гиперплоскости многогранника P , пересекающейся с P по гиперграни.
Это задает взаимно однозначное соответствиемежду гипергранями Q и гипергранями P , причем соответствующие друг другу гиперграни оказываются параллельными. Ничто из изложенного далее небудет зависеть от конкретного выбора такого разрешения Q.3.2. Грани и диаграммы граней. Для нас будет удобным представлятьграни многогранника P при помощи диаграмм граней.
Во-первых, заменимвсе λj и λi,j в таблице (GZ) точками. Каждая грань многогранника P будетзадаваться системой уравнений вида a = b, где a и b – это координаты, соответствующие соседним точкам в двух последовательных строках. Такое уравнение мы будем изображать отрезком, соединяющим соответствующие точки (эти отрезки идут с северо-запада на юго-восток или с северо-востока наюго-запад). Тогда система уравнений, задающих грань многогранника P , оказывается представленной при помощи набора отрезков, называемого диаграммой грани.1 Строки диаграммы граней определяются как наборы точек, отвечающих координатам λi,j при фиксированном i.
Столбцами диаграммы мыбудем называть наборы точек с фиксированным j (на наших рисунках столбцывыглядят как диагонали).Пусть F – регулярная грань многогранника P , а Fe – соответствующая граньмногогранника Q, т. е. F является вырождением грани Fe. Мы часто будемобозначать через [F ] класс [Fe] грани Fe в кольце многогранника RQ .
Отметим,что, вообще говоря, π[F ] не принадлежит кольцу RP .1Наши диаграммы граней, равно как и диаграммы в работе [12], получаются отражениемдиаграмм из [15] относительно горизонтальной прямой.ИСЧИСЛЕНИЕ ШУБЕРТА И МНОГОГРАННИКИ ГЕЛЬФАНДА–ЦЕТЛИНА105Все гиперграни в P являются регулярными. Пусть i = 0, . . . , n − 1 и j =1, .
. . , n − i − 1; обозначим через Γi,j гипергрань многогранника P , задаваемуюуравнением λi,j = λi+1,j (мы считаем, что λ0,j = λj ). Аналогично, при i =0, . . . , n − 1 и j = 2, . . . , n − i мы обозначим через Γ−i,j гипергрань, задаваемуюуравнением λi,j = λi+1,j−1 . Ясно, что всякая гипергрань P имеет вид либо Γi,j ,либо Γ−i,j .Следующее предложение описывает все линейные соотношения между гипергранями в P .Предложение 3.2. В кольце RQ имеют место следующие линейные соотношения:−[Γi,j ] − [Γ−i,j ] − [Γi−1,j ] + [Γi−1,j+1 ] = 0,где слагаемые, индексы при которых находятся вне допустимого диапазона,полагаются равными нулю. Более того, все линейные соотношения следуютиз этих.Мы будем называть это соотношение четырехчленным соотношением дляиндексов (i, j).Доказательство.
Пусть ei,j – стандартный базис в Rd . Четырехчленноесоотношение для (i, j) имеет видXξΓ (ei,j )[Γ] = 0,Γгде суммирование производится по всем гиперграням из Q. Но в Q есть неболее четырех гиперграней Γ, для которых ξΓ (ei,j ) ̸= 0; это Γi,j , Γi−1,j , Γ−i,jи Γ−i−1,j+1 . Непосредственно проверяется, что коэффициенты при них таковы,как указано выше. Предложение доказано.3.3. Когановские грани.
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном грани многогранника Гельфанда–Цетлина, задаваемые уравнениямитипа2 λi,j = λi+1,j (т. е. пересечения граней вида Γi,j ). Такие грани мы будем называть когановскими гранями. Каждой когановской грани F сопоставимперестановку w(F ) следующим образом. Сначала сопоставим каждому уравнению λi,j = λi+1,j элементарную транспозицию si+j = (i + j, i + j + 1). Далеерассмотрим слово, состоящее из всех элементарных транспозиций, которые соответствуют уравнениям, определяющим F , таким образом: прочтем каждуюстроку диаграммы F слева направо, начав с нижней строки и закончив верхней. Полученное слово является записью некоторой перестановки w(F ) (мыперемножаем перестановки справа налево, т.
е. запись w = w1 w2 означает, чтоw(i) = w1 (w2 (i)) для всех i = 1, . . . , n). Грань F называется приведенной, еслиэта запись приведенная (в дальнейшем мы рассматриваем перестановки только для приведенных граней).3 Напомним, что запись w = si1 · · · sil называется2Т. е. типа L в обозначениях работы [12] или, что то же самое, типа A из работы [15](λi+j,i в обозначениях работы [15] соответствует нашему λi,j ).3Отметим, что наше определение перестановки w(F ) не согласуется с определением из[15; разд. 2.2.1]: определяемая там w(F ) равняется нашей w(F )−1 . Однако эта разница невлияет на определение приведенных граней.106В. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
