А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Предварительно мы установим некоторые вспомогательные понятия и факты, имеющие, впрочем, и самостоятельный интерес. згв 1 и Лрнмме нрризеее»ение систем мнсзнееюе и мер 1. Произведение систем множеств. Множество х упорядоченных пар (х,р), где х е Х, у б 1', называется пря'иым пропзеедениеи множеств Х и 1 н обозначается Х х У. Аналогично, множество У упорядоченных конечных последовательностей (хл,...,х„), где х» й Х»,.
называется прям»иле произведенвем множеств Хы..., Л'„и обозначается К=Хгх'''хЛн=е1з1Х». Б частном случае, когда Х = .=Л„=Х, множество Х есть п-я степень множества Х: Хт Хн. Например, координатное и-мерное пространство К" есть и-я степень числовой прямой К. Единичный куб 1", т, е. множество злементов из Кн с координатами, подчиненными условию 0(хл (1, к=1...п, является тл-й степенью единичного сегмента 1~ = [О, 1).
Если бы..., бн -- системы подмножеств множеств Хы..., Л„, то Я=б1 х хб обозначает систему подмножеств множества Х = )е( Х», представиллых в виде А=А, х. хАн, где А» е б». Если б1 = . = б„= б, то Я есть и-я степень системы б: Например, система параллелепипедов в К" есть и-я степень системы отрезков в К'. 'Теорема 1. Если бы ..,,бн — полукольца, то и Я = »е) б» есть полукольцо. Доказательство.
Согласно определению полукольца нам нужно проверить, что если А, В е Я, то А Г~ В е Я, и если, кроме е1 гого,ВСА,тоА= ДС„гдеС1 — — В,С,ПС.=Ипри»Фу' е=л и С; е Я (л = 1,...,и). Проведем доказательство для случая и = 2. 1. Пусть А е бз х бг, В е бл х бг, зто значит, что АтА~ хАг, Ал Ебы Агббг, ВтВг х Вг, Вл сбл, Вгсбг. ззо IИ. и. Мере, измеримме фунзчии, вюлеггаз Тогда АОВ = (А| О В,) х (А~ Овз), А1 П В1 б бы Аз П Вз б 6~, А ПВ е 81 х Ьз. и так как то П. Предположим теперь, дополнительно, что В1САо ВзСАз, в силу того, что 61 и бз — полукольца, имеют место разложения: А, =В,оВ',"о" оВ,"', Аг — - Взовз о..
овз Но тогда А = А~ х Аз = (В1 х Вз) о (В1 х Вз~ ~) О . о (В~ х Вз~ ~)о О (В,"' х В,) О (В," х В,"') О "О (В," х В,"')О О (В,'"' х В,) О (В,"' х В,"') О " О (В,"' х В®). Первым членом етого разложения служит В, х Вз = В, и все члены принадлежат системе Ь1 х Вз. Теорема доказана. Однако из предположения, что системы бь суть кольца (или о-алгебры), еще не вытекает, вообще говоря, что произведение Я ьйь будет кольцом (соответственно п-алгеброй). 2. Произведения мер.
Пусть на полукольцах <5ы..., Ь„заданыме ы Я=61х- хб„ меру (2) р = д1 х ° х д„ р(А) = п1(А~) х х р„(А„), формулой Р р~(А1),...,рп(А„), Аь б еы Дпя простоты будем считать зти меры конечными, хотя излагаемые ниже рассуждения и факты переносятся, без существенных изменений, на случай о-конечных мер (см., например, [21[). Определим на полукольце ЗЗ) 1 6. )гримме нрвизведения сис)ием мнвясестяв и ляер где А = Аг х.-. х А„. Следует еще доказать, что р(А) .- лействителыю мера, .е. что Эта с)гуНКцвя МНОжсетна адцнтнниа. СдвпаЕМ ЭтО дпя СЛуЧая и — -- 2. Пусть дано разложение А=А, хАг=цВ1Ь), ВО)г)Вой=)г) прн 1~), 1 В)ь) = В11 ) х Вг) ). В силу леммы 2 5 5 гл.
1 существуют такие разложения А) =(.)С,, Аг =(„)Сг", что множества Вг ) являются обьединениями некоторых С, )ь) ) ея) 11) 1п) и множества Вг ) — объединениями некоторых Сг . Очевидно, что 11(А) = )11(А1))лг(Аг) = ~~', ~~', рг(С)ее ))лг(С2 ) я сн р(В ) =- )л)(В1 )рг(Вг ) = ~~' ~~',)11(С, )Нг(С2" ), ес и (4) (5) причем в (5) справа сумма берется по всем С~1"ОСВ1~ и Сг" свг а в правой части равенства (4) стоят по одному разу все члены, появляющиеся в правых частях равенств (5). Поэтому д(А) = ~ р(Вь). что и требовалось доказзть. Таким образом, в частности, аддитнвпость элементарных мер в те-мерном евклидовом пространстве следует из адцнтивностн линейной меры на прямой. Меру (2), заданную на полукольце (1) с)юрмулой (3), мы будем назь1вать произнес)синел) мер )11,..., р„. ТЕОрЕМа 2.
ГСЛНМСрЫ)11,..., рн и-апдитгтиЫ, тОО-адЛНГЛВНа И МЕР11 )1 =- )11 Х . Х )Ли. Доказательство проведем лля случая и = 2. Обозначим через Л1 лебегово продолжение меры рг. Пусть С = () Си, где и=1 Сн П С = О при и ф т, причем С и С„входят в Яг х Ьг, т.е. С=АхВ, АЕВ1, Вбвг, Си = Аи х Ви, Аи б ~1, Ви 6 ~2. рл, Ъ'. Мера, иамеримие функции, инпгаграл Пусть множества А и А1, Аз..... лежат в пространстве Х. Положим для хбХ ~ Ит(Вгг), ЕГ'!И Х б Аг„ ).О, если хфА„.
Легко видеть, что для х б А ~,(х) = и (В), а поэтому в силу следствия из теоремы Б. Леви (см. п. 5 Э 5) ~~~, / ~п(х)дЛ1 = ~ Иг(В) дЛ1 = Л1 (А)Иг(В) = И1 (А)Из(В), и А А но / 1г~(х) ЫЛ1 = ~аз(Вп)И1 (Ап) = И(Сп) А и, следовательно, 'У и(Сп) = и(С). ЕСЛИ Иг,...,дп П-аДДИтНВНЫЕ МЕРЫ, ЗВДаННЫЕ СОО1ВЕтСтВЕННО на гг-алгебрах б1,..., 8„, то их произведением мы назовем лебегово ПрОдОЛжЕНИЕ МЕРЫ И1 Х Х И„. БудЕМ ОбОЗНаЧеМЬ ЕГО СИМВОЛОМ И1Ю .
сад„или ЯИь. В частности, при И1 ='''=Ип =И получаем и-ю степень меры И: И = г'-1Иь~ Иь = И. Например, п-мернвя мера Лебега и" есть и-я степень линейной меры Лебега и. Заметим, что произведение мер автоматически оказывается полным (двжс если меры И1,..., Ип были неполны). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Лебега. Пусть область С на плоскости (х, и) ограничена вертикалями х = а, у = Ь и кривыми у = уг(х), у = е)г(х).
Как известно, площадь области С выражается интегралом ь Ъ'(С) = /(гр(х) — гд(х)) дх. а При этом разность уг(хв) — гЬ(хв) равна длине сечения области С вертикалью х = хо. Нашей задачей является перенести такой способ измерения площадей на произвольные меры-произведения 'Е О. прямив приизееаени» пышем .ннезюесюе и мер ЗЗЗ В дальнейшем будет предполагаться, что меры р„н р„определены па о-алгебрах, о-аддитивнгв и обладагот свойствол~ полноты (если В С А и р(А) = О, то В измеримо), которым, как указывалось ранее, .обладают все лебеговы продолжения.
Введем обозначения: Ае = (у; (х,у) 6 А) (х фиксировано), А„= (х; (х,у) 6 А) (у фиксировано). Если Х и У вЂ” числовью прялгые (а Х х Г -- плоскость), то А„ есть проекция на ось г' сечения множества А вертнкалыюй прямой х =хо. Теорема 3. В перечисленных вопле предположениях для любого р-измеримого множества') А р(4) = / ру(.4.)г)ря = ~ ря(-4„)г) „ х 1 Доказательство. Достаточно доказать равенство р(А) =- /' срА(х) Ир„где:рА(х) = рв(А,), (6) х так как второе утверждение теоремы вполне аналогично первому.
Заметим, что теорема автоматически включает в себя утверждение, что при вочтн всех х (в смысле меры р, ) мнозгсегтоа Ае измеримы относительно лгеРы Рп и что фУнкЦиЯ РА(х) измеРима относительно меры р . Без этого формула (6) не имела бы смысла. Мера р — — зто лебегово продолжение меры т = р, х рп, определенной на системе бв, множеств вида А = А„, х А . Для таких множеств равенство (6) очевидно, так как для них р„(А„) при х 6 Аиы ~оА(х) = О при хфА„,. Без труда переносится равенство (6) и на лгножества из Я(Ь ), разложимые в конечную сумму попарно непересекающихся множеств из Я Доказательство равенства (6) в общем случае опирается на следующую лемму, которая имеет и самостоятельный интерес для теории лебеговых продолжений. ) Заметим, что интегрирование по Х фактически сводится к интегрированию по мгюжсству г) л„с х, вне которого подынтегральная фуикпия равна нулю.
Аналогично, / = / ))А, !И. у. Мера, камера.мие фрикции, июаеараа Лемма. Дня любого д-измеримого множества А существует множество В вила В=ПВи, В1 ~ ..ЗВиЭ..., и Ва = (.) ЕЕаь, Ва1 С .. С Виь С... где множества Ваз нринаднежат Я(Ь,„), причем А С В н (7) Доказательство. По определению измеримости при любом и множество А можно погрузить во множество С„= ( ) Л„, — обьедие пение множеств Ьи, из 6„, так, что д(Си) с д(А) + !/и. Положим В„= П Сь и заметим, что множества В„имеют а=1 вид В„= Оба„где д„, принадлежат (5,„. Положив, наконец, к В„ь = () ба„мы получим систему множеств Виь с нужными свойе=! ствами.
Лемма доказана. Равенство (6) легко переносится с множеств Виь 6 з!((5,а) на множества Ви и В при помощи теоремы Б. Леви (теорема 7 з 5), так как ув„(х) = !пп ув„„(х), ~рв„, ( ~рв., ( Рв(х) = !!~п рв„(х), ув, З ув, ~ ... и-е еа В силу непрерывности меры зти равенства имеют место в каждой точке х. Если д(А) = О, то р(В) = О и почти всюду 'гв(х) =- ди(В.): О ° Так как А С В, то для почти всех х множество А измеримо и ~рл = ри(А,) = О,. ~ 'рл(х) фрк = О = р(А).
Следовательно, для множеств А меры нуль формула (6) верна. В общем случае продставим А в виде В ~ С, где в силу (7), Ее(С) = О. Так как формула (6) верна дпя множеств В и С, то легко видеть, что Е 6. Примне ираизаедснил сис)нем мнаисссена и мер она верна и для самого множества А.
Доказательство теоремы 3 закончено. Пусть теперь У вЂ - числовая прямая, д„ вЂ” линейная мера Лебега, а множество А есть множество точек (т., у) вида ((х,у): х ~ М, О < у < Дх)), (8) где М вЂ” какое-то р;измеримое множество, а ((х) — интегрируемая неотрицательная функция. В этом случае ( Дх) при хбМ, ри(А,) = ~ (О при хйМ, р(.4) = ~ У(х) Ф . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 4.
Интеграл Лебега неотрицательной функции Дх) равен мере р = р Э дз множества А, определенного соотношением (8). Когда Х -- числовая прямы, множество М вЂ” - отрезок, а функция у(х) интегрируема по Риману, эта теорема свсдится к известному выражению интеграла через площадь, расположенную под графиком функции. 4. Теорема Фубини. Рассмотрим тройное произведение У = = Х х г" х Я; если на Х, У, Я заданы меры р„рр, р„то меру можно определить как (ез Вес ) Зеч или же как и э(р вр*).
В действительности,как легко проверить, эти определения равносильны. Следующая теорема является основной в теории кратных интегралов. Теорема 5 (Фубини), Пусть меры рс и ри определены на о-алгебрах, о-плдитивны и полны; пусть, далее, с-' дс Э ру и функция ((х, у) интегрпруема по мере р на множестве А с Х х У. Гл. и, Мере, измеримые функции, «нтегрел Тогда ') ~ ДХ,У) г)Рг ге ~ ( / ((Х,Р) Е)ду)) 611 = ( ( ~ ((Х,У) С(11 ) Е)Ру. А Х А„ 1' А„ (1О) Доказательство, Проведемсиачападоказательстволляслучая 1(х, у) > О. С этой целью рассмотрим тройное провзведение и=Хи) хг, где третий множитель есть числовая прямая, и произведение мер А =11*ое1 оу)г =РЗР 1 1 где р' есть линейная лебегова мера. В с1 определим подмножество 1И условием: (х,у,з) Е И', если (х, р) й А, О < е <,)'(х,р).
В силу теоремы 4 А(И') = /,((х,у)г)11. А С другой стороны, по теореме 3 (11) Л(И:) = У ЦИ.) )р„ х (12) где с = ду х р' и И' обозначает множество пар (у, х), для которых (х, й, х) б И'. При этом, снова по теореме 4, 6И',) = ~ У(х,у)г)1 „ А, Сопоставляя (11), (12) и (13), получаем ~ ~(х,р)г)р = ~ ( ) ~(х,у)г)ду) Ф* А Х А. (13) что и .гребовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
