А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 64
Текст из файла (страница 64)
тоорему 2) неотрицательных простых функций. Из последнего свойства сразу следует, что если 1(х) > д(х), то /,г"(х)йр > / д(х)йр, (12) а поэтому, если т < Г"(х) < М для всех (илн почти всех) х Е А, то пер(А) < г( Дх) йр < Мр(А). (13) Л Л Л Л причем из существования иитпегралоа в правой части вьппекает существование интеграла е левой.
Доказательство получается предельным переходом из свойства А) интеграла от простых функций. 1У. Ограииченнан иа множестве А фуиктгин 1 интпегрируема иа А. Доказательство полу саетгся предельным переходом из свойства В) интеграла от простых функций, с использованием теоремы 2. У. Монотонность: если))х)) О, то !л. Ч. Мера, иемеримне функции, интеграл ЧВ Если р(А) = О, то (' г (х) др = О. л Ч~''. Если 1"(х) = д(х) почти всюду, то У /(х)Ф = У у(х)др, л А причем оба ингасграла существуют или не существуют одновременно. Эти два утверждения непосредственно вытекают из определения интеграла Лебега.
ЧП. Если функция ьр интегрируема на А и почти всюду 1,1'(х)( < < ьр(х), то г' также ингпегрируема на А. Действительно, если )' и уь — простые функции, то, удалив из множества А некоторое множество меры нуль, оставшееся множество А' можно представить как объединение конечного или счетного числа множеств, на каждом из которых ~ и ьр постоянны: у (х) = а„, ьР(х) = 6„, пРичем 1ае( < Ь„. Из интегРиРУемости ьР вытекает, что (а„~р(А„) < ~~ь Ь р(А„) = ( уь(х)др = / ьр(х)др. Поэтому 1 тоже интегрируемаь и (/ Дх)Й1ьЬ = ! (ь Дх)еуь = (~~ь а р(Аи)~ < А л' и < ,'Г, 1а,~1ь(Аи) = / (Нх)) Ф < ~ ьр(х)д и л' л В общем случае это утверждение доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2.
Ч1П. Интегралы А = у" /(х) др, ~ = / И(х) ь др А А сущестоуют или не существуют одновременно. В самом деле, из существования интеграла 1г вытекает уществование Хь в силу свойства ЧП. Обратное д ья случая простой функции вытекает из определения интеграла, а для общего случая доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2; при этом нужно воспользоваться неравенством 1ьь( — 16) < 1а — Ь(.
4. о-аддитниность н абсолютная непрерывность интеграла Лебега. В предыдущем пункте были сформулированы свойства 1 5. Ииигегрил Леаега З17 интеграла Лебега по фиксированному множеству. Сейчас мы установим некоторые свойства интеграла Лебега, рассматривая выражение Г(А) = ~ 7"(х) г1И как функцию множества, определенную на совокупности измеримых множеств. Установим, прежде всего, следуклцее свойство: ТеоРема 3. Если А = ОАи; А; П Ат = г7г пРи г ф 7, то и (15) и А„ причем пз существования лнпггралов леной части вытекает суще- ствование интегралов и абсолютная сходнмость ряда в правой га- сти.
дгг . ~ди:. 11усть Вь =(х:х6 А, 1(х) =-де), Виь = (х: х б Аи, Дх) = дь). Тогда / 1(х) г(74 =- ~~', гуь74(Вь) = ~~' дь ~7,,74(В ь) = А ь ь и дьр(Виь) = ~~~ / 1(х) г(74. (16) и А Так как ряд ~ рхр(Ве)„в предположении интегрируемости 1 на А, абсолютно сходится, а меры всех множеств нсотрицательны, то сходятся абсолютно и все остальные ряды в цепочке равенств (16). В случае произнольной функции 1 из ее интегрируемостн на А вытекает, что для любого е ) 0 существует простая интегрируемая на А функция д, удовлетворяющая услонию !У(х) — д(х)( < е.
/ д(х)дд = ~~г ~ д(х)Й74, (17) Для д имеем (18) и А„ ы 1374 Доказательство. Сначала проверим утверждение теоремы для простой функции 7, принимагогцей значения Гл. и. Мера, иамгримиа фунигггггг, интеграл 31В причем д интегрируема на каждом множестве А„и ряд (18) аб- солютно сходится. Из этого последнего обстоятельства и из оцен- ки (17) вытекает, что г тоже интегрируема на каждом Аи и ~ / /(х) г41л — / д(х)АР~ ( СВР(Аи) = ВР(А), л А и ~ / У(х) Ф вЂ” / д(х) Ф~ < ер(А), Л А что вместе с (18) приводит к абсолютной сходимости ряда / У(х)Нр и Л„ и к оценке / у(х) г1р — / у(х) Ар)ьг 2ер(.4).
и А„ А Так как е > 0 произвольно, то / у(х)г4р = / у(х)лир. и А Следствие. Если 7' иптегрируема на.4, то т" гщтещгируелщ и на любом измеримом лшожестле А' С А. Мы показали, что из интегрируемости функции 1 по множеству А следУет, что если А = ггАи и А; П А = О, г' ф 1, то 7' интегРиРУема по каждому Аи и интеграл по А равен сулима интегралов по множествам А„.
Это утверждение может быть обращено в следующем смысле. Те о р е м а 4. Если А = () Аи, А, С А, = а при г Ф 7 и ряд / ~У(х)~А и А„ сходится, то функция т' нцтегрируема па А и / 1(')Ар = ~~', / У(х)Ар. (19) и А Доказательство. Новым по сравнению с предыдущей теоремой здесь является утверждение, что из сходимости ряда (19) вытекает интегрируемость т' на А. Сначала проведем доказательство для случая простой функции т', принимающей значения (,. Положив В~=(х:хЕА, 1(х)=уг), Аи;=АийВ,, 1 5. йньнеграл Лебега зье имеем 0А ь=В и ~ Фх))Ф=Я,,$(ь$1(А ).
П л„ Из сходимости ряда (19) вытекает, что сходятся ряды $уь! д(Аа;) = ~~ь $Я ц(Вь). а ь ь Сходимость последнесо ряда означает, что существует интеграл / ~(х) гьд = ~~ь )ьд(Вг). В общем случае аппроксимируем у простой функцией 7 так., что $У(х) — У(х)$ < б. (20) Тогда Действьзтельььо, пусть .4' = (х: т б А, аь(х) > с). Тогда ~'р(х)0 = ~ р(х) 1и+ ~ т(х)фь> ~р(х) 1 >од(А') А л С л е д с т в и е. Если льл ~' !бах)! 1д =О, А то Дх) = О почти нсьоьбе В гамом деле, в силу неравенства х1ебььпьева, имеем ДЬ(х: х б А, $У(х)$ )~ -ьь~ » (и ( $~(х)$др = 0 А $7(х)$гЩ < ~ $Дх)$1д+ед(Аа), А А и так как ряд 2" р(Ан) = д(А) сходится, из сходимости ряда (19) и вытекает сходимость ряда , '.
~ $У(х)! ~, т.е. по только что доказанному, иптегрируемость на А простой функции у. Но тогда в силу (20) исходная функция у тоже инте- грируема на А. Теорема доказана. Неравенство с1ебышева. Если ьр(х) > О на А и с > О, то д(х: х б А, ььь(х) > с) < — ~ ььь(х) йд. (21) А Зте Мора, измеримые фрнннии, ннтеерал для всех и. Позтому р(х: х Е А,/(х) ~ О) < ~~ р(х: х й А, !/(х)! > 1) = О. а=1 В предыдущем пункте было указано, что интеграл Лебега по множеству нулевой ме ры равен нулю для любой функции /.
Это утверждение можно рассматривать как предельный случай следующей важной теоремы. Теорема 5 (абсолютная непрерывность интеграла Л с бе г а). Если /(х) -- суммируемая иа множестве А функция, то для каждого с > О существует такое б > О, что 1~/(. ! ° для всякого измеримого е С А такого, что р(е) < д. До к а з а те л ь с т в о. Заметим прежде всего, что наше утверждение очевидно, если / ограничена. Пусть теперь / — произвольная суммируемая на А функция. Положим А„= (х: х 6 А., и < !/(х)! < и+ 1), Ви = Ц А„, Сл = А 1 Ви. Тогда в силу теоремы 3 У !/(х)!Ф = Е /' !У(х)! )р.
а озе А Выберем ез' так, что )/(х)(где = / )У(х)!е1и < 2, сн и пусть 2(Х+ 1) ' Если теперь р(е) < 6, то !/" /( )Ф! < / !/(х))др= /' !/(х)!1' У !У( )!1. е е еее» еоСн Первый из стоящих справа интегралов не превосходит е/2 (свойство Ч), а второй — — не болыпе, чем интеграл, взятый по всему множеству Сое, т. е. также не превосходит е/2; таким образом, получаем /' !/(х)!Ир < ж зг1 1 5, Интеграл дебега Установленные свойства интеграла как функции множества приводят к следующему результату.
Пусть 1 — неогарицательная функция, суммируемая на пространсгпве Х по мере р. Тогда функция Г(А) = / 1(х) др л определена для всех измеримых множеств А С Х, неотрицательна и гг-аддитпивгга, тп. е, удовлетворяет условию: если А = () А„ а и А; р1 А = йг, то Е(А) = 2 Е(А„). Иными словами, интеграл а от неотрицательной функции обладаега как функция множества всеми свойствами о-аддптианой меры.
Эта мера определена на той же а-алгебре, что и исходная мера р, и связана с р условием: еспи р(А) = О, то и Е(А) = О. 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Вопрос о предельном переходе под знаком интеграла, или, что то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах. В классическом анализе устанавливается, что достаточным условием возможности такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующей последовательности (ряда).
Сейчас мы установим некоторые теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, представляющие собой далеко идущие обобщения соответствующих теорем классического анализа. Теорема 6 (Лебег). Если последовательность (~„) на А сходится к у я при всех п !~а(х)/ < гр(х), где уг интегрирусма иа А, то предельная функция 1' иитегрируема на А и / 1„(х) йи -+ / у (х) ди. Доказательство.
Из условия теоремы легко следует, что )г'(х)! < 1р(х). Поэтому у (и. 3, свойство Ъ'П) иптегрируема. Пусть г ) О произвольно. По теореме 5 (об абсолютной непрерывности интеграла) найдется такое д ) О, что, если д(В) < д, то / 1р(х) др < е. (22) В силу теоремы Егорова множество В, удовлетворяющее условию р(В) < Ю, можно выбрать так, что последовательность (1„) сходится зтт рл.
г'. Мера, игмеримне функции, инглеграл на С = А ~ В равномерно. Следовательно„найдется такое Х, что при п ) ггг и х Е С выполнено неравенство !,((х) — 7„(х) ! <, Тогда (г,((х) Йр — ~,(и(х) Нд = (г (ях) — (и (х))г(д+ /,г (х) Йр — ~,~„(х) др, А А С в и и так как ) ((х)) < гр(х) и 17„(х)! < у(х), то в силу (22) получаем ~ / у(х) е(р — / ун(х) гйг~ < е + ~е + ~е = е. А А Следствие. Если )(„(х)~ < М = сопзС и,1„-> у, то / 7 „(х) 4г -г ( 7 (х) Пд.
Теорема 7 (Б. Леви). Пусть па множестве А ~г(х) « .. у„(х) <..., пРичем фУнкции уи ннтегРиРУемы и их интегРалы огРаничепы в со- вокупности ~ ~„(х) Нр < К. А Тогда почти всюду на А существует (конечный) предел .г(х) = рпп г'„(х), функция ( иптегрируема па А и (23) ~ Х (х) Ар -+ / У(х) Ад.
А А При этом на множестве, на котором предел (23) не существует, функцию 7" можно задать произвольно, например, положив на этом множестве г (х) = О. Доказательство. Будем предполагать уг(х) > О, так как общий случай легко сводится к этому путем перехода к функциям Замечание. Поскольку значения, принимаемые функцией на множестве меры О, не влияют на величину интеграла, в теореме 6 достаточно предположить, что (у„) сходится к у почти всюду и что каждое из неравенств ( (и(х)) < р(х) также выполняется лишь почти всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
