А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, мозюно представигпь как сумму непрерывной монотонной функции и функции скачков (непрерывной слева) и притом единственным образом. Действительно, пусть у — неубывающая непрерывная слева функция и х1, хз, ... — — все ее точки разрыва, а Ь1, йз,... — — ее скачки в этих точках. Положим Н(,)= ~ц'й„. е <е Разность у = ~ — Н есть неубывающая непрерывная функция. Для доказательства рассмотрим разность зо(хо) — эо(х') = [з (хо) — з (х')] — [Н(хо) — Н(х')[, где х' < х".
Здесь справа стоит разность между полным приращением функции у на отрезке [х',хо) и суммой ее скачков на этом отрезке. Ясно, что эта величина неотрицательна, т.е, оо -. неубывающая функция. Далее, для произвольной точки х* имеем р(т,' — 0) = 1'(х" — 0) — Н(х" — 0) = ((х" — 0) — ~~ Ао, е <е' у(х* + 0) = у(х' + 0) — Н(х* + 0) = Дх* + 0) — ~~~ Ь„, е„<е откуда Ф(х*+ 0) — у(х* — 0) = з(х + 0) — )(х' — О) — Ь' = 0 (где 6* — скачок функции Н в точке х"). Отсюда и из непрерывности у и Н слева вытекает, что ~р действительно непрерывна. 2.
Дифференцируемость монотонной функции. Перейдем теперь к вопросу о существовании производной у монотонной функции. Теорема 1 (Дебет). Монотонная функция 1, определенвэя на отрезке [а, а[, имеет почтя всюду на этом отрезке конечную производную.
Прежде всего введем некоторые понятия, которые будут нужны для доказательства этой теоремы. Как известно, пРоизвоДной фУнкЦии 1 в точке хе называетсЯ пРедел отношения (4) 344 Гл. РП Неопределенные интеграл Лебеге при х -> хе. Этот предел может, конечно, и не существовать, однако всегда имеют смысл следующие четыре величины (которые могут принимать и бесконечные значения): Лпр -- верхний предел отношения (4) при х, стремящемся к хе справа (т.
е. так, что х — хо > О). Эта величина называется верхним правым производным числом. Л„р (нижнее правое производное число) -- нижний предел отношения (4) при х -+ ха справа. Л ,„ (верхнее левое производное число) верхний предел отношения (4) при х †> хо слева. Л„в (низгснее левое производное число) -- нижний предел отношения (4) при х — > хо слева. Рнс. 19 На рис.
19 показаны прямые с ущювыми коэффициентами Лпр, Лпю Л„„„Л „соответственно. Ясно, что всегда Лпр ег Лпр и Леев гг Леев. Если Лвр и Л„р конечны и равны между собой, то это общее их значение есть правая производная функции Дх) в точке хо. Аналогично, если Л „, = Л„„то их общее значение есть левая производная. Существование у 1 в точке хе конечной производной равносильно тому, что в этой точке все производные числа функции 1 конечны и равны между собой.
Поэтому утверждение теоремы Лебега можно сформулировать следующим образом: для монотонной на [а, Ц функции соотношении — оо < Леев = Лпр = Ллев = Лпр < оо выполнены почти всюду на (а, Ь). 6 Н Меч»тонн»<е фуккчин Упраж не н ие. Пусть у (т) = — Г(т). Как связаны производные числа лля )'" с производными числами т? 0<вегьте ва ~акой же вопрос прн переходе от 1(к) к т(-в), Доказательство теоремы Лебега опирается на приводимую ниже лемму, которой мы будем польз<>ваться и в дальнейшем. Введем следующее определение.
Пусть д(х) --- непрерывная функция, заданная на отрезке а < х < 6. Точку хо этого отрезка л<ы назовем <почкой, невидимой справа для функции д, если существует такая точка 6'(то < с < 6), что д(те) < д(с) (рис. 20). г-~ в(л) < < и рис. 20 Лемма (<Р. Рнсс). Для любой непрерывной функции д множество точек, певнднмь<х справа, открыто па отрезке (а, Ь) и, следовательно, представляется в виде суммы конечного пли счетного числа попарно непересекающихся лнтервалои (а», 6») (и, возможно, полуинтерввла, содержащего точку а). В концевых точках этих интервалов вылолкчшы неравенства д(ал) < д(Ь»). (о) Доказательство леммы.
Если хе — — точка, невидимая справа для д, то тем же свойством будет обладать, в силу непрерывности д, и любая точка, до<'.таточно близкая к те. Следовательно, множество таких точек открыто иа (а, 6). Пусть (а»„Ь») — — один из составляющих его интервалов. Предположим, что д(п») > д(6»); тогда в интервале (а»,Ь») найдется внутренняя точка яо, в которой д(та) > д(6<.). Пусть х' — самая правая из всех точек я па (и».,Ь».)„ в которых д(я) = д(яо). Поскольку х' Е (а»,6<„.), существует такая точка Ь > т', что д(с) > д(т"). Точка с не может лежать на интервале (а», 6»), так квк и' — самая правая точка на этом интервале, в которой д(х) = д(хо), тогда как д(6») < д(хв).
С другой стороны, неравенство с > 6» также невозможно, так как мы имели бы д(Ь») < д(хо) < д(~), а 6<,. Рл. ГЬ Неппределенныв пнгпегрел Левегп ие является точкой, невидимой справа. Полученное противоречие показывает, что неравенство (6) не имеет места, т.е. д(ак) < д(Ьк), и лемма доказана.
Читатель без труда проверит, что фактически д(ак.) = д(Ьк), если только ак ф а. Замечание. Назовем точку хо невидимой слева для непрерывной функции д(х), если существует такое С < хо, что д(с) > д(хо) Такие же рассуждения показывают, что множество невидимых слева точек есть сумма конечного или счетного числа попарно неперекрывающихся интервалов (ак, Ьк) (и, возможно, полуинтервала, вкгпочаюпкего точку Ь), причем д(ак) < д(Ьк.).
Перейдем теперь к доказательству самой теоремы Дебета. Докажем ее сначала в предположении, что у — непрерывная монотонно неубывающая функция. Для доказательства теоремы достаточно установить, что почти всюду 1) Лп <со, 2) Л,>Лп, Действительно, если мы положим )'(х) = — 7" ( — х), то 7" будет тоже монотонно неубывающей непрерывной функцией, определенной на отрезке (-Ь, — а). Если Л„'р и Л*.„в - — верхнее правое и нижнее левое производные числа для 7', то, как легко проверить (см. упражнение выше)., производные числа функций 7 и 1* в соответствующих точках связаны равенствами Л„*р —— .
Ллем Л", = Лпр. Поэтому, применив неравенство 2) к ке(х), получим (7) Л„р > Л „,. Соединив полученные неравенства в одну цепочку и используя опре- деление производных чисел, будем иметь Лпр <«Лле < Ллее «<Лпр «<Лпр1 а зто и означает, что Ллев — Лпр Ллев — Лпр Покажем вначале, что Лпр < оо почти всюду. Если Лпр —— оо в некоторой точке хо, то для любого постоянного С > 0 справа от точки хо найдется такая точка С, что т. е. 3 И Моноогонггне функции или 3 (с) — Сб' > 3 (хв) — Схо. Иначе говоря, точка хо оказывается точкой, невидимой справа для ункции ф„ д(х) = 3(х) — Сх.
В силу леммы Ф. Рисса множество таких точек открыто, и на концах составляющих его интервалов (аг, Ьь) выполнены неравенства у (аь ) — Саь < у (Ьь ) — Сбг, т. с. 3'(Ьг) — 3(аг) > С(бь — аг). Деля на С и суммируя полученные неравенства по всем гггпервалам (агн Ьу), получим (Ьг„— аг„) < ~~ — ~; — <— г'(Ьг) — г (аь) 3(6) — 3(а) г и Здесь С можно было взять как угодно большим. Таким образом, множество тех точек, в которых Л„р — — оо, можно покрыть интервалами, сумма длин которых сколь угодно мала. Следовательно, мера этого множества равна О. Тот же гйгиеы, связанный с леммой Ф. Рисса, позволяет доказать, что почти всюду Лого > Л„р, но теперь этот прием придется применить дважды.
Рассмотрим пару рациональных чисел «и С, для которых О < с < С < со и положим р = с/С. Обозначны через Я,с совокупность тех х, для которых Л„р > С, а Ллоо ( с. Если мы докажем, что рЕоп = О, то отсюда будет следовгньг что почти всюду Лг„„> Лар, так как множество тех точек, где Л„о, < Ло, очевидно, представимо в виде суммы не более чем счетного числа множегггв вггда Егс. Установизгтеперь основное неравенство. Для любого интервала (а, (3) с (а, Ь) имеем д(Ь'„ц П (о,)3)) < р(33 — а). Действительно, прежде рассмотрим множество тех х б (о., г3), для которых Л „( с. Для всякой такой точки х найдется такое с ( х, что ( с, т.е.
3(с') — сб > 3(х) — сх. Поэтому х невидима 3 (с) — У (х) слева для функции 3(х) — сх и по лемме Ф. Рисса (глг. замечание выше) множество таких х представимо в виде суммы ве более чем счетного числа непересекающихся интервалов (аы/3у) с (а, )3), причем ((ць) — сцг > )'(дь) — с)3ун т.е. ~(Дь) — Д(аь) < сИь — аг). (8) рл. ай Неааределелнмй ьнагеграл Лейега На каждом из интервалов (пыД) рассмотрим множество Сй тех кг для которых А„р > С. Снова применяя лемму Ф. Рисса (таперь, как и при доказательстве неравенства Л„р < оо, для точек, невидимых справа), мы получим, что Сь представимо в вндв суммы не более чем счетного числа непересекающихся интервалов (оь., 13ь ) и (1 з — -., < — С1 ЦЮ.У) — Иоьг)] (9) Ясно, что множество Еес П (и, 8) покрывается системой интервалов (оку, 13ез), причем в силу (8) и (9) имеем ~:(('ь — ь» < С Е[~()'ьу) - ~( я )] -' < СР ~У((1ь) — У(ое)] < ~е ~~' (ггге — оа) < е (д — о)г и осноннос нсравенстно доказано.
Теперь легко доказать, что рЕ,с = О. При этом достаточно использовать только то свойство множества Еео, которое описывается освовным неравенством. Лемма. Пусть измеримое нложсство А на отрезке [а, Ь] таково, пи для любого пнтсрвапа (п,)3) С [а, Ь] выполпяотся неравенство п(А П (о„д)) < р(б — о), где 0 < р < 1. Тогда нА = О. Доказательство. Пусть дА = Е Для любого е > О существует такое открытос множество С, равное сумин счетного числа непорссекаюппехся интервалов (нем Ь„,), что А с С и ~„(Ь вЂ” пел) < 1+ е (см.
упражнсние в п. 7, з 4, гл. У). Положим 1га = д[А й (о, Ь )]. Ясно, что 1 =- ) 1ан По условию леммы, 1„< р(Ьеа — а,„). Следоваел тсльно, 1 < р ~ (Ьга — и„,) < р(Г+ с), и так как к > 0 произвольно, то т 1 < ра Но 0 < р < 1 и поэтому 1 =. О. Лемма доказана, и тем самым завершено доказательство теоремы 1 в предположении непрерывности функции г'. Тв же рассуждешея переносятся и па случай разрывной монотонной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
