А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Ее производная равна,. очевидно, ну- лю в каждой точке любого смежного интервала, т.е. почти всюду. Следовательно, для этой функции имеем е О = ~,Ь" (е) э1ь' < Дх) — 1'(О) = Ь"(х) при любом х из полуинтервала О ( х < 1. Отметим попутно, что в случае монотонной ~(х) равенство ь е ( 1'(е) сН = 1(Ь) — Яа) влечет равенство / у'(ь) еН = у(х) — 1(а) при а а любом х из полуинтерввла о, < х ( Ь.
Чтобы описать класс функций, для которых имеет место равен- ство ь У ['(1) е11 = ДЬ) — У(а), а введем следующее определение. Определение 1. Функция 1, заданная на некотором отрезке [а, Ь[, называется абсолюпьно непрерывной' на нем, если для любого с ) О найдется такое 6 ) О, что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов (аь, Ьь.), Й = 1,..., и, с суммой длин, меныпей О: ээ (Ьь — аь) < б, ь=-1 выполнено неравенст во [,((Ьь) — У(аь)[ < е гл.
г!. ггеопределепниа интеграл Лебега Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно, например: описанная выше «канторова лестница» непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [О, 1], однако она не абсолютно непрерывна. Действительно, кавторово множество можно покрыть конечной системой интервалов (аю Ьг) (й = 1,..., и), сумма длин которых сколь угодно мала.
Вместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено, очевидно, равенство п ~~!, [У(Ьь) — У(аг)[ = 1. г=! Укажем основные свойства абсолютно непрерывных функций. 1. Заметим прежде всего, что в определении 1 можно вместо любой конечной системы интервалов с суммой длин ( б рассматривать любую конечную или счетную систему интервалов, сумма длин которых < б.
Действительно, пусть для данного е > О мы выбрали б > О так, что и ~ [У(6») — У(а.)[ < ь=! для любой конечной системы интервалов (атп Ьг), удовлетворяющей условию и ) (6» — аь) < б, »=1 и пусть (аь,!Зь) -- счетная система интервалов с суммой длин, не превосходящей б. Тогда при любом и имеем и [Щь) — У(аь) [ ( е; г.=! переходя здесь к пределу при п -+ оо, получаем [Щь) — У(аа) [ < е. 2.
Всякая абсолютно непрерывная функция имеет ограниченное изменение. Действительно, абсолютная непрерывность функции У на отрезке [а,6] означает, в частности, что для каждого е > О можно б > О выбрать так, что полное изменение функции У на отрезке длины < б будет не больше, чем е. Поскольку отрезок [а, Ь] можно разбить на конечное число отрезков длины < б, то и полное изменение функции У на [а, 6] конечно.
З 4. йоссыоноеление функции по ее ттроиееогной 3. Сумма абсолютно непрерывных функций и произведение такой функции на число суть абсолютлно непрерывные функции. Это сразу вытекает из определения абсолютной непрерывности и свойств модуля суммы и произведения. Свойства 2 и 3 означают, что абсолютно непрерывные функции о прошлранстпве всех~) функций с ограниченным изменением абразуют линейное многообразие. 4. Всякая абсолютно непрерывнал функция может бытаь представлена как разность двух абсолютпно непрерывных неубываютцих функций.
Действительно, абсолютно непрерывная функция, как всякая функция с ограниченным изменением, может быть представлена в ниде где и(х) = ) '*(Д и д(х) = и(х) — т" (х) — ыеубтлвающие функции. Покажем, что каждая из этнх двух функций абсолютно непрерывна. Достаточно проверить это для и.
Пусть е > О задано. Выберем б > О для этого е так, как это диктуется абсолютной непрерынностью функции ) . Возьмем систему и интервалов (аы Ьг) с суммарной длиной меньше, чем б, н рассмотрим сумму и (и(Ьг) — х(аг)). (5) г=т Эта сумма представляет собой точную верхнюю грань чисел и ые ~.~~Пх,)-лх', Д (6) ь=т т=т по всевозможным конечнылт разбиениям а1=хцо<хтд(хтд« хт, =Ьы аз х2,0 ( хтит ( хгд « ' ' ' хз = Ьз, а„=х„,о<х„л <х„д <" (х„, „=Ь„ интервалов (ам Ьт ),..., (а„, Ь„). Так как сумма длин всех интервалов (хоз т., хе ~), по которым берется сумма (6), не превосходит б > О, то каждая из сумм (6) не больше, чем е, Следовательно, и сумма (5),— их точная верхняя грань, — не больше, чем е.
Следующие две теоремы устанавливают тесную связь между понятием абсолютной непрерывности и неопределенным интегралом Лебога. т) См. упражнение н г 2. з64 Гл. УЬ Де!ижеделенныб ив!не!Вал Лебега Т е о р е м а 2. Функция Е(х) = У У(!) й, а представляющая собой неопрещсленцый интеграл сумм ируемой функции, абсолютно непрерывна. Доказательство.
Если ((цг,Ь!)) - — какая-либо система непересекающихся интервалов, то и и ь [Е(ЬЬ) — Е(а!)[ = ~~~ ! /,1(!)ей! < ~ (' [У(!)[й = е=! Ьа! а, е=! ал [у(!) [ !й; Ц(аа,бьц в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последнее выражение стремится к нулю, когда суммарная длина интервалов (аа, Ье) стремится к нулю. Теорема 3 (Лебег). Производная г' = Е' абсолютно непрерывной функцгги, заданной на отрезке [и, Ь[, суммируема на этом отрезке н для каждого х (а < х, < Ь) ~ Д!) сй = Е(х) — Г(о). а Теоремы 2 и 3 показывают, что абсолютно непрерывные функции, и только они, восстанавливаются с точностьк> до постоянного слагаемого по своей производной с помощью операции интегрирования. Для доказательства теоремы 3 нам понадобится следующая лемма. Л е м м а. Если производная абсолютно непрерывной монотонно неубывающей функции ~ равна О почти всюду, то эта функция— постоянная.
Доказательство леммы. Пусть у задана на [а, Ь[. Так как у — непрерывная монотонная функция, то ее область значений есть отрезок [г (а), г(Ь)]. Покажем, что длина этого отрезка равна нулю, сели ~'(х) = О почти всюду. Тем самым лемма будет доказана. Разобьем множество точек отрезка [а, Ь[ на два класса: множество Е тех точек, в которых у'(х) = О, и Я вЂ” его дополнение. По условию леммы р(Я) = О. Выберем некоторое б > О, найдем то б > О, З 4.
Поеео~анооаение фкнниии ио ее ороио*однок которое отвечает этому е в силу абсолютной непрерывности функции 7', и закл1о шм Я в открытое множество, мера которого меньше б (это возможно, поскольку р(Я) = О). Иначе говоря, еб покрывается конечной или счетной системой интервалов (аь, Ьь), сумма длин которых меньше д. В соответствии с выбором Б получаем 17(Ьь) — у(аь)! < г. Следовательно, вся система интервалов (вы Ьь) (а тем более, и заключенное в их сумме множество Я) переводится функцией 7 в множество, мера которого меныпе с, Таким образом, д(7" (Я)) = О.
Рассмотрим теперь множество Е = [а, Ь] ~ Л. Пусть хв 6 Е. 'Тогда, поскольку у'(хв) = О, для всех х, достаточно близких к хв, выполнено неравенство у(х) — у(хо) х — хо т.е. (мы считаем для определенности,что х > хо) 7(х) — 7(те) < г(х — хв) или гхо 7 (хв) < гх У(х) ~ таким образом, хе есть точка, невидимая справа для функции д(х) = гх — ~(х). Следовательно, по лемме Ф. Рисса, множество Е содержится в конечной или счетной системе нецересекающикся интервалов (ою рь), в концах которых выполняются условия е))ь — )Ц3ь) > соя — 7(еть), й0ь) — 1(оь) < Уь — оь), т.е.
Теперь уже легко доказывается и сама теорема 3. Достаточно ограничиться случаем, когда функция Г(х) не убывает. В этом случае е Ф(х) = Г(х) — ) у(~) й а (7) откуда ()())ь) — 7(еть)) < е ~~ (Д„. — оя) < е(Ь вЂ” а). ь ь Ина се говоря, множество Е переводится функцией ~ в множество, покрывающееся системой интервалов, сумма длин которых меньше е(Ь вЂ” а). Ввиду произвольности е отсюда следует, что р(у(Е)) = О. Итак, и 7'(Е), и р'(2) имеют меру нуль. Но в сумме вти два множества составляют отрезок (7(а), у (Ь)). Тем самым доказано, что длина этого отрезка есть нуль, т.е.
что у(х) = сопка Рл. Га Уппнрпдплгнныа интеграл Лпбпгп представлянт собой функцию, тоже монотонно неубывающую. Дей- ствительно, если хн > х', то по теореме 1 Ф(Хн) — Ф(Х') = Р(Хн) — Р(Х') — /,((Е) де > О. г' Кроме того, Ф абсолютно непрерывна (как разность двух абсолютно непрерывных функций) и Ф'(х) = О почти всюду (согласно теореме 1 з 3), Поэтому в силу леммы Ф есть константа. Положив в (7) х = а, получавм, что зта константа равна Г(а). Теорема доказана, Мы видели выше, что всякую функцию у с ограниченным изменением можно представить как сумму функции скачков Н и непрерывной функции р с ограниченным изменением (З 2), Рассмотрим теперь непрерывную, но не абсолютно непрерывную функцию с ограниченным изменением у и положим х Ф( ) = ~ р'И) де и Разность х=р — ф представляет собой непрерывную функцию с ограниченным изменением.
При этом 1(х) = у (х) — д= / ~р (Е) дг = О а почти всюду. Назовем непрерывную фуякцню с ограниченным изменением сингулярной, если ев производная равна нулю почти всюду. Мы можем теперь сформулировать следующий результат: всякая функция с ограниченным изменением молсет быть представлена в виде суммы трех комнонппа (8) -- функции скачков, абсолютно непрерывной функции и сингулярной функции. Нетрудно показать, что каждое из слагаемых в разложении (8) определяется самой функцией у однозначно с точностью до константы. Если функции, входящие в равенство (8), нормировать, потребовав обращения двух иэ них в нуль в точке х = а, то разложение (8) 1 4. Носси1аноееенис функции ио ее игаиеааоиай 367 будет уже в точности единственным. Продифференцировав равен- ство (о), мы получим, что почти всюду У'( ) = ф'(х) (поскольку Н' и х' равны нулю почти всюду).
Следовательно, при интегрировании производной от функции с ограниченным изменением восстанавливается не сама эта функция, а тилько ес абсолютно непрерывная компонента. Две другие компоненты (функция скачков и сингулярная) при этом «бесследно исчезают». Поучительно сравнить результаты этого параграфа с тем, что дает теория обобщенных функций. Как и в гл.
1Ч, будем понимать под обобщенной функцией линейный непрерывный функционал нвд пространством К финитных бесконечно дифференцирусмых функций. При этом обычной локально суммируемой функции / сопоставляется функционал, действующий на элементы ус Е Е по формуле (/ 'ео) = / /(х)~р(х) Йх. Обобщенной производной от этого функционала служит функционал, ставящий в соответствие элементу со к К число (/',у) = — / /(х)у'(х) дх. Так как в классе обобщенных функций уравнение у' = 0 имеет только обычные решения (константы), то всякая обобщеннвл функция с точностью до константы восстанавливается по своей производной. В частности, всякая локально суммируемая функция / с точностью до константы почти всюду восстананлпвается по своей обобщенной производной /'. Предположим теперь, что функция / почти всюду имеет производную, например, / — монотонная функция.
Обозначим через /7 = д//дх обычную производную функции /. (Мы уже видели, что д//с1х может равняться 0 почти всюду, хотя /(х) ф сопзИ) Функция д//дх является локально суммируемой (мы предполагаем, что / монотонна) и, следовательно, мы можем сопоставить этой функции функционал (обобщенную функцию) (/и ЕО) = / -— О уо(Х) СеХ. СущЕСтВЕННЫй фаКт СОСтОИт В тОМ, ЧтО Обд/ общеннаи функция /г, вообще говоря, не совпадает с обобщенной функцией /'. Например, если 1 при х>0 /(х) = О при х<0, ' =( то /7 = О, а /' = б (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
