А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 74
Текст из файла (страница 74)
если дг — дискретная мера), е то интеграл / Дх) е!Г(х) сводится, очевидно, к сумме ) у(хе)йо где а е х; -- точки разрыва функции Г, а Ле -. скачки Г в точках х,. 2. Если Г -- абсолютно непрерывная функция, то интеграл ь ь Лебега-Стилтьеса / Дх) НГ(х) равняется / г(х)Г'(х) г4х, т.е. ина а тегралу от У(х)Г'(х), взятому по обычной лебеговой мере. Действительно, если Дх) = сопз1 на некотором измеримом множестве А с (а,б] и у(х) = 0 вне А, то равенство (4) Г Х(х) "(х) = Г Х(х) '(х) следует из (3). В силу и-аддитивности интегралов равенство (4) распространяется и на простые функции, суммируемые по мере дя. Пусть теперь (у„) — последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к у. Можно при этом считать, что псюледовательность (~„) неубывающая. Тогда ( г'„(х)Г'(х)) -- неубывающая последовательность, почти всюду сходящаяся к г(х)Г'(х), и в силу теоремы Б.
Леви, в равенстве ~ Х (х) аГ"(х) = ~ У„(х)Г'(х) г4х а а можно перейти к пределу при п -+ оо. Из сказанного ясно, что если Г есть сумма функции скачков и абсолютно непрерывной функции, то интеграл Лебега-Стилтьеса по мере егг сводится к ряду (или конечной сумме) и интегралу по обычной мере Лсбега. Если же Г содержит и сингулярную компоненту, то такое сведение невозможно. Понятие интеграла Лебега--Стилтьеса можно естественным образом расширить, перейдя от монотонных функций к произвольным функциям с ограниченным изменением. Пусть Ф -- такая функция.
Представим ее в виде разности двух монотонных функций Ф=и — д, где и — полное изменение функции Ф на отрезке [а,х). Введем те- перь интеграл Лебега-Стилтьеса по Ф, положив, по определению, / ~(х) ИФ(х) = / Дх) ейг(х) — ( Дх) Ид(х). е б. Иптеерал Стилтьега Нетрудно проверить, что если Ф представлена каким-либо иным способом как разность двух монотонных функций, скажем, Ф=ш — Ь, то ) у(х) пи(х) — / Дх) дд(х) = ~ Дх) пш(х) — ~ Дх) гаге(х), а а а а т.е.
для вычисления интеграла Лебега-Стилтьсса по данной функции Ф можно пользоваться любым представлением втой функции в виде разности двух монотонных. 3. Некоторые применения интеграла Лебега-Стнлтьеса в теории вероятностей. Интеграл Лебега-Стилтьеса находит применение как в анализе, так и во многих прикладных вопросах. В частности, зто понятие широко используется в теории вероятностей. Напомним,что 4ункцией распределения случайной величины с называется функция Е, определяемая для каягдогох равенством Г(х) = Р(с < х), т.е.Е(х) есть вероятность того, что случайная величпна С примет значение, меныпее х. Очевидно, каждая функция распределения мо- нотонно пе убывает, непрерывна слева и удовлетворяет ус тониям Е( — оо) = О, г (+ос) = 1.
Обратно, каждую такую функцию можно считать функцией распределения некоторой случайной величины. Существенными характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание Мс = / х 4Г(х) (5) и дисперсия 0~ = / (х — М~)з НГ(х). (б) хм...,х„,. (например, число вызовов на телефонной станции за некоторый про- межуток времени есть дискретная случайная величина). Среди случайных величин выделяют обычно так называемые дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина называется дпскрепеной, если она может принимать лишь некоторое конечное нли счетное число значений ззо !а, рб Нсокрсдслсннма ииьчссрсл Лсбсга Если рм..., рн,... — вероятности.
с которыми величипа С принимает значения хы, .., х„,..., то фу~кипой распределения С служит, очевидно, функция скачков. Дня цее интегралы (5) и (б) сводятся соответственна к сумлсам Мс =-Ехр, Рс ~ ~(, )2 Случайная величина ~ называется непрерывной, если ее ф икция распределения Е абсолютно непрерывна.
11роизводная Р' этой функции распределения называется плотностью распредсскаипл верояьчностей случайной величины ~. В соответствии со сказанным в предыдущем пункте, для непрерывной случайной величины стилтьесовские интегралы, выражающие ее математическое ожидание и дисперсию, сводятся к интегралам по обычной лебеговой мере: МС =- / хр(х) с1х, Ос = ~ (х — о) р(х)с(х, / тйФ(х), где Ф вЂ” функция рас пределення для ср Сущестненно, однако, если ис сум- мнруема по мере, порождаемой на прямой функцией г, то математиче- ское ожидание величины П можно чнпнснть н через функцнсо распределе- ния Г величины С', а именно: Мп = Мис(б) = / ис(г) ог (х).
где р = Е' — плотность распределении вероятностей для с и а = М4. В элементарных курсах теории вероятностей ограничиваются обычно рассмотрением дискретных и непрерывных сиучайиых величин, которые в основном только и встречаются в прикладных вопросах. Однако, нообще говоря, функция распределения случайной величины может содержать и сингулярную компоненту, так что пе всякую случайную величину можно представить как комбинацию дискретной и непрерывной.
11усть 1 "- случайная величина, Š— — ее функция распроделения и и = е~(б) —. другая случайная величина, представляющая собой боре- левскую функцию от б. Математическое ожидание Мп величины П можно, по опрецелению, записать кнк ЗВ1 3 б. Ипгпегрлл Сглилгпьесп Действительно, функция и =. Зг(х) определяет отображение прямой (-оо < х < оо) с заданной на ней мерой рк (порожденной Г') в прямую (-оо < у < ос) с мерой рь, в которую рг переводится отображением у = пг(х).
Но из резулшатов гл. гт следует, что если (Х, и) и (у; гг) .-- два пространства с лгерой, х — сохраняющее меру (т. е. такое, что и(А) = р(вг '(А))) отображение, переводящее (Х,р) в (У;н), а У— суммируемая функция на (г', гг). то / 3(у) гтгг = ~ 3(Зг(х)) г(тг (замопа переменных в интеграле Лебега). 11оложггв здесь 3(у) = у и р = ггг, .и .= р, мы и получим т1юбуемое равенство. Таким образом, для вычисления математического ожидания (а также, конечно, и дисперсии) функции от величины б достаточна знать линн функцию распределения самой величины б. 4.
Интеграл Римана-Стилтьеса. Наряду с интегралом Лебега-Стилтьеса, рассмотренным выше и прелставляюпоям собой фактически разность лсбеговых интегралов от данной функции у по двум мерам, заданным на прямой, можно определить еще и так называемый интеграл Римана Стилтьеса. Он вводится как предел интегральных сумм, аналогичных обычным интегральным суммам Римана. Пусть снова Ф --- некоторая непрерывная слева функция с ограниченным изменением, заданная на полуиптерввле [а, Ь) и 3 — произвольная функция на этом же полуиптервале. Рассмотрим некоторос разбиенне1 ) а=хо<т1« хп=Ь полуинтервала [а, Ь) на элементы [хг г,х;) н„иыбрав в каждом из них произвольнуто точку ~„составим сумму и ~~', У(6) [Ф(хг) — Ф(х, .1)] (Т) г=1 (под Ф(х„) при этом понимается Ф(Ь вЂ” О)). Если при п1ах(х; — х, 1) -3 — 1 О эти суммы стремятся к некоторому пределу (не зависящему ни от способа дробления промежутка [а, Ь), ни от выбора точек Ь; в каждом из элементов разбиения), то этот предел называется интегралом Римана- Стилтьсса от функции т' по функции Ф по [аг Ь) и обозначается символолг / .т'(х) г(Ф(х).
л г) Поскольку в интеграле Стндтьеса вклад отдечьпых точек может быть отличен от нул», элементы разбиения не должны иметь общих точек. Поэтому мы везде берем здесь папуиптерэальь ! 3 †.1324 262 Гл. ГЬ Неопределенные ннгиеграл Лебгга Теорема 1. Если функция 1' непрерьиша на отрезке [а, Ь], то ее интеграл Римана — Стилтьеса (8) существует и совпадает с соответствующим интегралом Лебега-Стнлтьеса. Доказательство. Сумму (7) можно рассматривать как интеграл Лебега- Стилтьеса от ступенчатой функции 1и(х) = /(С!) при х, ! < х < хь, При измельчении разбиения промежутка [а, Ь) последовательность таких функций равномерно сходится к 1'.
Поэтому предел этих сумм существует и представляет собой интеграл Лебега- Стилтьеса от предельной функции 1 (теорема о предельном переходе под знаком интеграла). Вместе г тем именно этот предел мы и назвали интегралом Римана-Стилтьеса (8). установим некоторые элементарные свойства интеграла РиманаСтилтьеса. 1. Справедливо оценка (теорема о среднем) ь ! ~ 1(х) г1Ф(х)! < !пах[1(х)[!а [Ф] (О) (1фФ] — полное изменение функции Ф на [а,Ь]). Действительно, прн любом разбиении промежутка [а, Ь) выполнено неравенство и и Ц П6НФ(х,) — Ф(х! !))( <'> [П6)! [Ф(х!) — Ф(х,,)! < г —." ! г=! и < щах[1(х)! ° ~~ [Ф(х!) — Ф(х! !)! < щах[1(х)]1„"[Ф].
ь=! Переходя в атом неравенстве к пределу, мы и получим оценку (9). При Ф(х) = х она переходит в известную оценку ь ( ~ 1(х) гКх! < (Ь вЂ” а) пгак [1(х)! п для интеграла Римана. 2. ЕелиФ=Фг+Фз, то ь ь ь /' ~(х) г(Ф(х) = / Дх) дФ! (х) + /' )'(х) гХФ2(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
