А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

пример 1 в п. 3 З 4 гл. 1Ч). Теорема 3, собственно говоря, и означает, что среди всех функций с ограниченным изменением для абсолютно непрерывных функций Гл. Гй Пеаггределеггный интеграл Лебега ЯГ>8 (и только для них!) производная, понимаемая в обычном смысле, совпадает с обобщенной производной той же функции.

Здесь мы снова сталкиваемся с тем положением, о котором уже говорилось в З 4 гл. 1Ч: для выполнимости основных операций анализа (в данном случае речь идет о восстановлении функции по ее производной) нужно или, оставаясь в рамках классических определений, ограничиться достаточно узким запасом функций (абсолютно непрерывнымн), или же, наоборот, существенно расгыирить понятие функции (расширив при этом и определение производной). Упражнения. 1, Показать, что определение абсолютной непрерывности, сформулированное выше, равносильна следующему: д' абсолютно непрерывна на (и, Ь), если она каждое подмножество меры нуль этого отрезка переводит снова в множество меры нуль.

2. Найти обобщенную производную «канторовой лестницы». 3. Пусть т" — функция с ограниченным изменением, т" — ее обобщенная производная и гг — — функционал (обобщенвая фувкпия), определяемый «обычной» производной аг/аз функции г'. Доказать, что а) если д абсолютно непрерывна, то д' = дн б) если т" = дм то Дк) эквнвэленгна абсолютно непрерывной функции, т.е.

совпадает с такой функцией почти всюду. В частности, если д' = дг н д непрерывна, то и / абсолютно непрерывна. з 5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима 1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана. Понятия и факты, изложенные в предыдущих параграфах дпя функций на прямой, распространяются в значительной степени и на функции, заданные на произвольном пространстве с мерой.

Пусть Х -- некоторое пространство с (конечной) мерой р и 1 суммируемая по )г функция на Х. При этом д" будет суммируема на каждом измеримом подмножестве А множества Х и, гзедовательно, интеграл а(А) = ) У(х)ар А (с фиксированной у) представляет собой функцию множества, определенную и ег-аддитивную на ег-влгебре Ьа всех измеримых множеств пространства Х. Таким образом, для любого разложения А = ()Аь ь 1 б. нктгграа лабгга как фвнкцгт мяагнжатаа измеримого множества А в конечную или счетную сумму попарно непересекающихся измеримых множеств выполнено равонство Ф(А) = ~~~ Ф(А*).

Иначе говоря, функция Ф, определенная равенством (1), обладает всеми свойствами о-аддитивной меры, за исключением, быть может, неотрицательности. (При неотрицательной у неотрицательна и Ф.) О п редел е н не 1. Произвольная (конечнвя) гг-аддитивная функция множества Ф, определенная на некоторой о-элгебре подмножеств данного пространства Х, называется знакопеременной мерой, илн, короче, зарядом.

Понятие заряда служит естественным обобщением понятия о-аддитивной меры и, как мы увидим ниже, сводится в определенном смысле к этому понятию. Упражнение. Доказать, что для любого (конечного) заряда Ф, заданного нв а-алгебре множеств Ю, существует такая константа г, что )Ф(А) ! » (с при всех А б б. Если рассматривается реальный электрический заряд, расположенный, скажем, на некоторой поверхности, то эту поверхность можно разделить на две области: несущую положительный заряд (т.е. такую, что любая ее часть заряжена положительно) и несущую отрицательный заряд. Математическим эквивалентом этого факта служит приводимая ниже теорема 1. Введем предварительно следующую терминологию. Пусть Ф— заряд, определенный на а-алгебре !5 подмножеств пространства Х.

Множество Е б 6 называется опгрицаглааьным относительно Ф, если Ф(Е й Е) < О для любого Г б !5; аналогично Е называется полозгсигпельным, если Ф(Е П Е) > О для всех Р 6 б. Теорема 1. Если Ф вЂ” заряд, определенный на Х, то сугцествует такое измеримое множество А С Х, что А отрицательно и Аэ = Х ! А положительно (относительно Ф). Доказательство. Положим а = шг Ф(А), где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам А. Пусть (А„) — такал последовательность отрицательных множеств, что !йп Ф(А„) = а.

ам~ 370 гл. Л. Ноооредевлввно интеграл Лебвго Тогда А" = Ц Ао представляет собой, как легко видеть, такое ото рицательное множество, что Ф(А )=а. Покажем, 7то А и есть игкомоо множество, т. е. покзжелц что А+ =Х1А положителыю. Пусть зто не так, т. е. пусть А+ содержит такое измеримое подмножество Со, что Ф(Со) < О. При этом множество Со не может быть отрицательным, так как иначе мы присоединили бы его к А и получили бы отрицательное множество А, для которого Ф(А) < а, что невозможно.

Поэтому существует такое наименьшее целое число Йы для которого в Со найдется подмножество См удовлетворяющее словию У Ф(С7) > 1/йь Разумеется, С~ ~ Со. Для множества Со '1 С1 можно повторить рассуждение, проведенное для Со, .мы получим множество Сз, удовлетворяющее условию Ф(Сз) > 1/17з, йз > 1гы и т.д. Наконец, положим Е =С АТОС,.

Множество Го не пусто, так как Ф(Со) < О, а Ф(С;) > О при 1 > 1. Из построения следует, что Ге отрицательно. Поэтому, присоединив его к А, мы снова приходим к противоречию с определением а. Следовательно, для всех измеримых Е С Х ~ А имеем Ф(Е) > О, т. е, Х 1 А положительно. Теорема доказана. Разбиение пространства Х на отрицательную часть А и положительную А+ называется разлолсением Хана. Разложение Хана, вообще говоря, не единственно, однако если Х = А, 0 А+~ и Х = Аз 0 Аз+ — два таких разложения, то для всякого Е е Й Ф(Ей А, ) = Ф(ЕйА ) и Ф(ЕйА+,) = Ф(ЕПА~~). (2) 37! 1 б. Ннтггркл Лебега как фуггкнкя мнозкгсгага Действительно ЕП (А, ~ Л~ ) С ЕП А,, откуда следует, что Ф(ЕП(А, ~ Аз )) < О. В тоже время ЕП(А, ~Аз ) С ЕПА~~, (4) откуда Ф(Е П (А~ 'у Аз )) > О.

Таким образом, Ф(Е П (.4~ ~ Аз )) = О. Аналогично получаем Ф(Е П (Аз ~ А~ )) < О. Отсюда следует, что Ф(Е П А, ) = Ф(Е П Аз ). Точно так же доказывается и второе нз равенств (2). Таким образом, на 8 заряд Ф однозначно определяет две неотрицательные функции множества, а именно: Фт(Е) = Ф(Е П А+), Ф (Е) = — Ф(Е ПА '), называемые соответственно верхней вариацией и нижней вариацией' заряда Ф. При этом, очевидно, 1) Ф=Ф+ — Ф 2) Ф' и Ф представляют собой неотрицательные о-аддитивпые функции множества, т.е.

меры. Мерой будет, очевидно, и функция )Ф) = Фэ + Ф; она называется полной вариацией заряда Ф, а представление Ф в виде разности верхней и нижней вариаций называется разложением Жордана этого заряда Ф. Замечание. Мы рассматривали сейчас конечные заряды, т.е. такие функции Ф, значения которых ограничены как сверху, так и снизу (см. упражнение в начале этого пункта).

Прн этом Фь и Ф вЂ” конечные меры. Сказанное выше можно обобщить на заряды, ограниченные лишь с одной стороны, т. е, такие, для которых хотя бы одна из величин зпр Ф(А) и ш1 Ф(.4) конечна. 2. Основные типы нарицав. Пусть р — некоторая о-адаптивная мера, определенная в пространстве Х на некоторой о-алгебре Ь. Множества, входящие в Я, мы будем называть измеримыми. Введем следуюпене понятия.

Мы скажем, что заряд Ф, определенный на множествах Е б г5, сосредоточен на измеримом множестве Ао, если Ф(Е) = О для каждого Е С Х~Ао. Множество Ао называется при этом носигпелем заряда Ф. Заряд Ф называется непрерывным, если Ф(Е) = 0 для любого одноточечного множества Е. Заряд Ф называется дискретным, если бк Ъ'|. Нговредглгввые вв»пгграл Лгбгга ов сосредоточен иа некотором конечном или счетном множестве. Иными словами, дискретность заряда означает существование такого конечного или счетного множества точек с»,..., с„,..., что для каждого Е С Х Ф(Е) = ~~» Ф(сь). нее Заряд Ф называется абсолю»лно иепрерывным (отиосительио данной м»ры р), если Ф(А) = 0 для всякого измеримого А, для которого р(А) = О.

Заряд Ф называется сивгулярнмм (отиосительио меры р), если ои сосредоточеи на некотором множестве нулевой р-меры. Ясно, что если заряд одиовремепио абсолютно непрерывен и сиигуляреп относительно р, то он нулевой. 3. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радо»»а-Никодима. Примером заряда, абсолютно непрерывного относительно данной меры р, может служить интеграл Лебега Ф(А) = / у(х)»»р от фиксировавиой суммируемой функции у, рассматриваемый как функция множества. Оказывается, что атил» и исчерпываются все абсолютно непрерывные заряды. Иначе говоря, справедлива следующая теорема, Теорема 2 (Радон — Никодим). Пусть р — некоторая конечная о-аддитивная мера, определевиая яа и-алгебре 6 подмвожеств из Х, а Ф -- заряд, определенный па той же»г-алгебре и абсолютво нелрерывяый относительно р. Тогда существует такая суммируемая по р фувкция у на Х, что Ф(А) = ~ у(х)»1р А для каждого измеримого А. Эта функция, называемая производной заряда Ф по мере р, определяется однозначно, с точностью до р"эквивалент»»ости.

Характеристики

Список файлов книги