А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Общий случай сводится к разобранному при помощи равенств 1(х,у) = 1~(х,у) — ) (х,р), 1 Ы,г)= —,г —, Г(*,г)= + )1(х,у))+ Пх у) — )У(х,у)~ — Пх,у) ') См. сноску к теОреме 3. Утверждение теоремы включает существование внутренних интегралов в скобках при почти всех значениях переменною, по которому берутся внешние интегралы. 1 а. прямыс произведения сиен!ем мисс!сеете и мер ззт Замечание.
Как показывают приводимые ниже примеры, из существования повторных интегралов У(у Уд „)др, У( ( Нр,)д „(14) Х А, У Ае не следуют, вообще говоря, ни равенства (10), ни интегрируемость функции 1 (х, у) на А, Однако, если существует хоп!я бы один из ин- гпегралое ~ ( ~ ]Дх,у)]е(рр) др, или ] ( ( ]~(х,у)]е(ре) дри., (15) Х А. У А„ гпо !'(х,у) интегрируема на А и справедливы равенства (10).
Действительно, пусть, например, первый из интегралов (15) су- ществует и равен М. Функция 1„(х,у) = пгеп(]((х,у)],п) измерима, ограничена, а значит, и суммирусма на А. По теореме Фубини У их, у) дд = У ( 1 их, у) Ври) е1р, < и. (16) А Х А Функции ги образу!от монотонно неубывангшую последователь- ность, почти всюду сходящуюся к ] г" (х, у)]. По теореме Б. Леви ото!о- да н из неравенства (16) следует, что функция ]у(х, у)] суммируема на А. Но тогда и /(х, у) суммируема и для нее перна теорема Фуби- ни.
Отсюда вытекает наше утверждение. Мы доказали теорему Фубини в предположении, что меры ре и рк (а значит, н р) конечны. Однако она остается справедливой и в слу- чае о-конечных мер (см., например, (21], с. 208). Приведем примеры функций, для которых существуют повторные ин- тегралы (14), но равенство (10) не имеет места. 1. Пусть А = ( — 1, 1], 1(х,у) =, х", при ха+ и > 0 и /(О!О) = О: е+ !)г гогда ~ .г'(,у)4*= Π— ! при всех у и /' У(х,у) ду = Ю -! при всех х. Поэтому ! ! ! ! / (~ /(х,у)дх)ду= ~ (/ Дх,у)ду)дх=О, — 1 ре. Н.
Мера, измеримые функции, иитеерал юз интеграл в смысле двойного интеграла Лебега по квадрату не суще- ствует, так как ~ ~1(х,у))е)хе)у > ~А -1 -1 а а 2. Пусть А = [О, Ц~, 2зи 11х,у) = 2еи+1 Можно подсчитать, что а е при — (х < —; 1 1 2" 2" '' при — < х < —; 1 1, 2и+1 в остальных случаях, ~(~Пх,у)А )Ау=о, а а 1 1 ® Дх, у) 11у) Их = 1.
1 11У1ы2/ г а — (у<— 1 1 2 2и-1 ~ — (у< —, 1 1 2 2" ГЛАВА у'1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В этой главе мы будем рассматривать интеграл Лебега в основном для функций на прямой, считая, что мера, по которой этот интеграл берется, есть обычная линейная мера Лебега. Если у --- суммируемая функция, определенная на измеримом пространстве Х с мерой р, то интеграл Г Л*)йд л существует для каждого измеримого А с Х и при фиксированной ( представляет собой функцию множества, определенную дпя всех измеримых подмножеств А С Х. Такой интеграл называется неопределенным ингпегралом Лебега. Пространством Х может, в частности, служить отрезок числовой прямой.
Если при этом А — тояге некоторый отрезок, то интеграл (*) будет функцией пары точек-- концов отрезка А. Будем считать, что в этом случае мерой р является обычная мера Лебега и писать й вместо Ир. Зафиксировав один из концов промежутка интегрирования, скажем, левый, мы можем изучать свойства интеграла / 1(г) гй, взятого по отрезку (а, х), как функции одного переменного я. Эта задача приведет нас к рассмотрению некоторых важных классов функций на прямой.
Обпгей задаче изучения интеграла Лебега от фиксированной функции ( как функции множества посвящен З 5. Из элементарного курса анализа известны следующие основные равенства, дакштие связь между операциями дифференцирования н интегрирования: если 1 — непрерывнал функция, а Е - — функция, имеющая непрерывную производную, то 1) „-", ~ ~(г) ?г = 1(я), П 2) / Р'(С) сй = Е(Ъ) — Е(а).
а Опрашивается: верно ли равенство 1) для функций, суммируемых в смысле Лебега? Каков класс функций (возможно, более широкий), для которого выполняется равенство 2)? Этим вопросам посвящены следующее параграфы данной главы. /л. 'тп Неопределенный иначе*рея ггедеге з 1. Монотонные функп;ии. Дифференпмруемость интеграла по верхнему пределу 1. Основные свойства монотонных функций. Изучение свойств интеграла Лебега Ф(х) = ~,г(!) д! е как функции верхнего предела мы начнем со следующего очевидного, но важного замечания: если функция 1 неотрицатютьна, то Ф(х) — — монотощю неубывающая функция.
Далее, всякая суммируемая функция есть разность двух неотрицательных суммируемых: (2) Поэтому интеграл (1) разлагается в разность двух монотонно неубывающих функций. Следовательно, изучение интеграла Лебега как функции верхнего предела можно свести к изучению монотонных функций того же типа. Монотонные функции (независимо от их происхождения) обладают рядом простых и важных свойств, которые сейчас будут изложены.
Напомним некоторые понятия. Всюду, где не оговорено противное, будут рассматриваться функции, заданные на некотором отрезке. Функция у называется манопгомна неубывающей, если из х! < хг следует У(х!) < 1(хт); аналогично определяются монотонно невозрастающие функции. Пусть ! — произвольная функция на прямой. Предел ') !цп 1(хо+ lг) л — г+о (если он существует) называется пределом справа функции у в точке хо и обозначается У(хо+0).
Аналогично определяется У(хо — О)— предел слева функции У в точке хо. равенство У(хо + 0) = д(хо — 0) означает, очевидно, что в точке хе функция д или непрерывна, или имеет устранимый разрыв. Точка, в которой оба эти предела существуют, но не равны между собой, называется !почкой разрыва первого рода, а разность ! (хо + 0) — ! (хо — 0) называется скачком функции д' в этой точке. г) Симеол Ь -+ +О означает, что 6 стремится к нулю, принимая только положительные значения.
1 >. Моно>аонныс фвнкчаь Если з (хо) = >'(хв — 0), то з' называется непрерывной слева в точке хв, а если > (хо) = Дхо+ 0), то З непрерывна справа в этой точке. Установим основные свойства монотонных функций. Для определенности мы будем говорить о монотонно неубывающих функциях, хотя ясно, что все сказанное ниже автоматически переносится на функции, монотонно невозрастающие. 1.
Всякая монопюнно неубывающая на [а, Ь) функция >' измерима и ограничена, а следовап>елька, суммирусма. Действительно, по определеншо монотонности., у(а) < 1(х) <,г(Ь) на (а,Ь). Далее, для любого постоянного с множество А, = (х: > (Х) < с) есть либо отрезок, либо полуинтервал (либо пусто). В самом деле., пусть точки, в которых г(х) < с, существуют, н пусть д есть точная верхняя грань таких х.
Тогда А, есть или отрезок (а.,д), нлп полуинтервал (а, д). 2. Мс>ношенная функция моз>сет иметь разрывы только первого рода. Действительно, пусть хв -- произвольная точка па (а, Ь) и х„— «хо, причем х„< хо. Тогда последовательность Щхь)) ограничена снизу и сверху (например, величинами з(а) и г(Ь)). Следовательно, она имеет хотя бы одну предельную точку.
Но наля п>г у любой такой последовательности нескольких предельных точек противоречило бы, очевидно, монотонности функции >. Таким образом, )'(хо — О) существует. Аналогично устанавливается сушествование З(хо + О). Монотонная функция не обязана быль непрерывной. Однако верно следующее утверждение. 3. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно. Действительно, сумма любого коне шаго числа скачков монотонной функции > на отрезке (а, Ь) не превосходит > (Ь) — з (а).
Следовательно, для каждого п число скачков, величина которых больп>е, чем 1(п, конечно. Суммируя по всем п = 1, 2,..., полу >аем, что общее число скачков конечно или счетно. Среди монотонных функций простейшими являются так на>ь>ваемые функции скачков. Они строятся следующим образом.
Пусть на отрезке (а, Ь) задано конечное пли счетное число точек х>, °, хз, (л !'!. Неопределеппып интеграл Лсбего и пусть каждой из них поставлено в соответствие положительное число й„„причем ~, 6„ < оо. Определим функцию / на [а,Ь), полов жив /(х) = ~~1 Йп. (3) е <и Ясно, что зта функция монотонно неубывающая. Кроме того, она непрерывна слева') в каждой точке, а совокупность ее точек разрыва совпадает с множеством (х„(з), причем скачок в точке х„ равен Ь„. Действительно, /(х — О) = )пп /(х — б) = 11п1 ~~~ Ь,„, и <и — г но так как каждое х„, удовлетворяюн(ее условию х„< х, удовлетворяет и условию х„< х — е при достаточно малом е, то последний предел равен 2,' )г„= /(х).
Таким образом, /(х — О) = /(х). е„<г Если точках совпадает с одной из точек х„, скажем, х = х„, то /(хне+О) = 1пп /(хп+е) = 1пп ~~! 6„= " )г, г. + ": +о *" <г" е 1г в <г т.е. /(х„, + О) — /(х„, — 0) = й„,. Наконец, если х нс совпадает ни с одной из точек х„, то в ней функция скачков непрерывна (проведите доказательство!). Простейший тип функций скачков -- ступенчатые функции, у которых точки разрыва можно расположить в монотонную последовательность Х1 « Х„ < В общем случае функция скачков может иметь и более сложную структуру, например, если (хп) — множество всех рациональных точек на отрезке [а, Ь], а Ап = 1/2п, то формула (3) определяет функцию скачков, разрывную в рацио~альных точках и непрерывную в иррациональных, 1) Если бы мы определили ~ формулой /(к) =- 2 А, то получили бы функцию, непрерывную справа.
г]Если ни одна из точек т„ не совпадает с Ь, поскольку к„ = Ь не участвует в суммо (3), чтобы учесть скачок в точке ь, надо вместо (е,ь) рассматривать полуинтерввл (а,ь-1-г), е > П. П Моноо1онне~е 41знкаоа Другой тип монотонных функций, в некотором смысле противоположный функциям скачков, — непрерывные монотонные функции. Имеет место следующее утверждение. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
