А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1 5. И»!»»грал ггеегга ззз рассмотрим множество й = (х:х й А, („(х) -+ со). Легко видеть, что й = П ( ) й„, где г» й)ю = (х: х й А, (»(х) > г). В силу неравенства Чебышева (21) д(11<„') < К~' Так как й~ 1 С С й~ ~ С ..., то р(()й~ 1) < Куг; но при любом т йс0й» » поэтому р(й) < К/г. Ввиду произвольности г отсюда следует, что р(й) = Р. Тем самым доказано, что монотонная последователь!ость (у»(х)) почти всюду на А имеет конечный предел Дх). Обозначим через А, множество тек точек х й А, дпя которых т — 1 < Дх) < г, г = 1,2,..., н положим !р(х) = г на А„. Если будет доказана интогрируемостыр(х) на А, то утверждение наглей теоремы сделается непосредственным следствием теоремы б. Положим В,= ЦА„. г=! Так как на Вг функции ~» и у ограничены и всегда ~р(х) < Дх) + 1, то ,( Зг(х)г(и < / Дх)г1р+р(А) =- 1пп / ~„(х)11!+И(А) < К+Я.4).
в, в, в. Но !д( )йи =~> ги(А„). в. »=! Ограниченность же этих сумм означает сходимость ряда р(А,) = )' чг(х) г1д. 1 — —.1 А Таким образом, интегрируемость !д на А доказана. Условие монотонного неубывания функций у»(х) можно, очевидно, заменить в доказанной теореме условием их монотонного невозрастания. 324 Гл. и, 44ера, измеримые Функции, иизиезрел Следствие. Если зри(х) ) О и / з)з„(х)пр < оо, и=1 А то почти всюду на А ряд ~ ф„(х) сходится и ~ (~~ зй„(х)) Йр = ~~~ / ф„(х) 644. А и=4 имг А Теорема 8 (Фату).
Если последовательность измеримых неотрицательных функций (2„) сходится почти всюду на А к у и У У (х) 1р < К, то ~ иптегрируема на А и / У(х) Нд < К. Доказательство. Положим цз„(х) = 1пг ~~,(х); цз„измерима, так как (х: цз„(х) < с) = () (х: 2ь(х) < с). ь>и Далее, О < ~р„(х) < (и(х), поэтому 4з„интегрируемы, и ~ цз„(х) 41р < ~ /„(х) 4144 < К; А А наконец, 424(х) « .
- цз„(х) < ..., 1пп д„(х) = 1(х) почти всюду. Поэтому, применяя предыдупзую теорему к (д„), получаем требуемый результат. 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. До сих пор, говоря об интеграле и его свойствах, мы считали, что рассматриваются функции, заданные на том нлн ином измеримом множестве конечной меры. Однако часто приходится иметь дело с функциями, заданными на множестве, мера которого бесконечна, например, на прямой с лебеговой мерой на ней. Поэтому важно распространить понятие интеграла и на этот случай. Мы ограничимся прн 1 5, Интеграл ггебега этом тем практически наиболее существенным случаем, когда рассматриваемое множество Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств конечной меры: ~24) Х = ЦХ„, р(Х„) е. о .
юг Если пространство Х, в котором задана мера р, представимо как сумма счетного числа множеств конечной меры, то мера р на Х называется а-конечной (см. п. 3 3 3). Приглерами а-конечных мер служат меры Лебега на прямой, плоскости, в и-мерном пространстве. Меру, не удовлетворяющую условию а-конечности, можно получить, например, приписав каждой точке на прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримыми, причем конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные — бесконечную. Назовем исчерггмепющей последовательностью всякую монотонно возРастающУю последовательность 1Хн) измеРимых подмножеств множества Х, удовлетворяющую условию (24).
Введем теперь следующее определение. Определение 4. Измеримая функция г', определенная на множестве Х с а-конечной мерой р, называется сгрммируемай на Х, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве А с Х конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности 1Х„) предел 1нп / у1х) е1р существует и не зависит от выбора этой последовательности. Этот предел называется интегралале от 1 по леножестеу Х и обозначается символом / У(я) дд.
х Ясно также, что если функция 1 равна нулю вне некоторого множества конечной меры, то для нее только что сформулированное определение интеграла равносильно тому, которое было дано в п. 3. Замечание. Определение интеграла от простой функции, данное в п. 2, можно дословно перенести на случай бесконечной меры. Ясно при этом, что для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она принимала только на множестве конечной меры. Определение суммируемости, данное в и.
3, существенно связано с предположением конечности меры множества Х. Действительно, если р(Х) = оо, то из равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций 1ер„) 32б Гл. И. Мера, иемеримие фрнииии, «неаеграл не следует, вообще говоря, сходимостыюследовательности их интегралов (приведите пример!). Результаты, изложенные в пп, 3 и 4 для случая конечной меры, в основном переносятся на интегралы по множеству бесконечной меры.
Существенное отличие состоит в том, что в случае р(Х) = со ограниченная измеримая функция на Х не обязана быть суммируемой. В частности, если р(Х) = оо, то никакая отличная от нуля константа не интегрируема на Х. Читатель без труда проверит, что теоремы Лебега, Б. Леви и Фату остаются справедливыми в случае бесконечной меры. 7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Выясним связь между интегралами Лебега и Римана. При этом мы ограничимся простейшим случаем линейной меры Лебега на прямой, Теорема 9. Если существует интеграл Римана 1= (Л) ~ 2'(х)<Ь, а то у' интегрируема на (а, Ь) по Лебегу и Доказательство.
Рассмотрим разбиение отрезка (а, Ь) на 2" частей точками хь = а+ — „(Ь вЂ” а) 2" и соответствующие этому разбиению суммы Дарбу: 2" з" Ь вЂ” ах Ь вЂ” ах П = Р М ы ыиее 2 ~Рлепиь, 2" мм а=1 а=1 где Мие — верхняя грань 2 на отрезке хь1<х<хы а пт„а — нижняя грань у на том же отрезке. По определению интеграла Римана, )1п1 Пи = йп1 ыи.
и->оо и-+оо Положим /и(х) =М„а при ха-1 <х <хм (и(х) = гпиа при хь 1 < х < хы 327 1 5. Инеаеераа Лебееа В точке х = Ь функции У„и 1„можно доопределить произвольно. Легко вычислить, что / 1„(х) п[ь = й„, [' 1 (х) е1р = Ь7„. [а,Ь] [а,Ь! Так как последовательность (1 а) не возрастает, а последовательность (1„) не убывает, то почти всюду У„(х) -ь У(х) > У(х), ~„(х) -+ Дх) < 7(х). По теореме Б. Леви У(х)е[и= ! П„=1= [! = 17 У(х)4е. [а,е] [а,Ь] Позтому [1(х) — 1(х)[г[[з = /' (/(х) — 1(х)) 711з = О [а,Ь] [а,е] н, следовательно, почти всюду ,7(х) — 1(х) = О, т.е. 1(х) = 1(х) = 1(х), / 1(х) е[[е = 1.
[а, Ь] Теорема доказана. Легко указать примеры ограниченных функций на некотором отрезке, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману (например, уже упоминавшаяся функция Днрихле на отрезке [О, 1], равная 1 для рациональных и О для иррациональных х). Неограниченные функции вообще не могут быть интегрируемы по Риману, но многие из ннх интегрируемы по Лебегу. В частности, любая функция 1(х) ~ О, для которой интеграл Римана ь / 1(х) е[х а+е существует при каждом е ) О и имеет конечный предел 1 при е -ь О, интегрируема по Лебегу на (а, Ь), нричем Ь / 1(х)Й~Ь = [пп / 1(х)е[х. [а,е] ье Ге.
Ч. Мега, измеримые ЬЬэггеции, игггаегггаа Несобственный интеграл ь 1пп / Дх) еЬ ае-е в гтучае, когда ь йш / )~(х)фх = оо, а-~-е не существует в лебеговом смысле, поскольку, согласно свойству ЧьП п. 3, иэ суммируемости функции у(х) следует, что и функция ~У(х)( тоже суммируема. Например, интеграл 1 — гйп — Ых '1 1 г х х о существует как (условно сходящийся) несобственный интеграл Римана, но не существует как интеграл Лебега. Если рассматривается функцня на всей прямой (или полупрялпзй), то интеграл Римана для такой функции может существовать лишь в несобственном смьк:ле.
Опять-таки, если такой интеграл сходится абсолютно, то соответствующий лебегов интеграл существует и имеет то же самое значение. Если же этот интеграл сходится лишь условно, то в лебеговом смысле функция не интегрируема. Например, функция гйпх/х не интегрируема по Лебегу на всей прямой, поскольку Т!"— ч'*'~ *=- Однако несобственный интеграл как известно, существует, и равен л. 'З 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини В анализе важную роль играют теоремы о сведении двойного (или вообще многократного) интеграла к повторному. В теории кратных интегралов Лебега основным результатом является так называемая теорема Фубини, которая будет доказана в конце этого параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
