А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Точнее, если две функции, з и д, непрерывные на некотором сегменте Е, эквивалентны (относительно меры Лебега), то они совпадают. Действительно, если ~(хе) ф д(хз) в какой-либо точке хе, то в силу непрерывности у и д найдется окрестность точки хе, во всех точках которой у(х) ~ д(х).
Мера такой окрестности положительна, поэтому непрерывные функции не могут быть эквивалентны, если они не совпадают. Для произвольных измеримых функций эквивалентность вовсе не означает совпадения. Например, функция на прямой, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных, эквивалентна функции, тождественно равной нулю. 4. Сходимость почти всюду. Поскольку во многих случаях поведение измеримой функции на том или ином множе:тве меры нуль для нас несущественно, будет естественно ввести следующее обобщение обычного понятия поточечной сходимости.
1 4 Измегимме едяячии зоз Определение 3. Последовательность (~„(х)) функций, определенных на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции у(х). если !пп у„(х) = у(х) (2) для почти всех х Е Х (т.е. множество тех точек х, в которых (2) не выполняется, имеет меру нуль). Пример. Последовательность функций ул(х) = ( — х)", определенных на отрезке (О, 1], при и -+ оо сходится к функции у(х) =. 0 почти всюду (а именно, всюду, кроме точки х =- 1).
Теорема 4 допускает следующее обобщение. Теорема 4'. Если последовательность измеримых функций ~л(х) сходится к функции !(х) почти всюду иа Х, то у(х) также измерима. Доказательство. Пусть А — то множество, на котором !!щ,!л(х) = т'(х). По условию, р(Х ! А) = О. Функция !(х) измерима на А, а так как на множестве меры нуль, очевидно, вообще всякан функция измерима, то у(х) измерима на Х ! А, следовательно, она измерима и на множестве Х.
Упражнение. Пусть последовательность измеримых функций г"„(х) сходится почти всюду к некоторой предельной функции у(х). Доказать, что последовательность у„(х) сходится почти всюду к д(х) в том и только том случае, если д(х) эквивалентна /(х). б.
Теорема Егорова. В 1911 г. Д. Ф. Егоровым была доказана следующая важная теорема, устанавливающая связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости. Теорема б. Пусть Š— множество конечной меры и последовательность измеримых функций ~„(х) сходится на Е почти всюду и у(х). Тогда для любого 4 > 0 существует такое измеримое множество Ез С Е, что 1) р(Еа) > р(Е) — 4; 2) на множестве Еь последователыгость (Ц„(х)) сходится к У(х) равномерно.
Доказательство. Согласно теореме 4' функция у(х) измерима. Положим Е„= ( ! (х: (у;(х) — у(х)( < 1~т). гав Зоб рл. Ъ'. Мере, измеримые функции, интеерал Таким образом, Е" при фиксированных т и и означает множество всех тех точек х, для которых ф(х) — /(х)) < 1/т при всех ! > и. Пусть и=! Из определения множеств Е„'" ясно, что при фиксированном т Ет С"-СЕ„С ... В силу того, что и-адцитивная мера непрерывна, для любого т и любого 6 > О найдется такое пв(т), что р(Е™ 1Е™,< ) < б/2 Положим Ез = П Ене(т) тм! и покажем, что так построенное Ее удовлетворяет требованиям теоремы, Докажем сначала, что на Ее последовательность (/!(Х) ) сходится равномерно к функции /(х). Это сразу вытекает из того, что если х 6 Ез, ТО для любОГО Фп ф(х) — /(х)! < 1/т при ! > ОО(т).
Оценим теперь меру множества Е 1 Ез. Для этого заметим, что при всяком т имеем р(Е 1 Ет) = О. Действительно, если хо 6 Е 1 Е то существуют сколь угодно большие значения г, при которых !/;(ХО) — /(х.)! > 1/т, т.е. последовательность (/„(х)) в точке хе не сходится к /(х). Так как, по Условии>, (/н(х)1 сходитсЯ к /(х) почти всюдУ, то р(Е1Е ) = О.
Отсюда следует, что д(Е'1 Е„~ !) = р(Е™ !,Е О„~) < б/2™. Поэтому д(Е~~Ъ) тр(Е~ П Е."е(~)) еер(0 (Е~Ене(т))) < Е д(Е1Е=,с-!) < .у. г- = ' Теорема доказана. 307 ! 4. Измеря,ммв функции 6. Сходимость по мере. Определение 4. Говорят, что последовательность измеримых функций у (х) сходится по мере к функции 1(х), если для любого а > О )пп д(х: ),(„(х) — /(х)! > а) = О.
Нижеследуюппге теоремы 7 и 8 устанавливают связь между понятиями сходимости почти всюду и сходимости по мере. Как и в предыду!цем пункте рассматриваемая мера предполагается конечной. Те о р е м а 7. Если после!(овяте77ьность измеримых функций (Л,(х)) сходится почти всюду к нг!кигорой функция 7(х), го ояа сходится к той жс самой предельной функции 7 (х) по мере. Доказательство. Из теоремы 4' следует, что предепьная функция 1(х) измерима. Пусть А — то множество (меры нуль), на котором у„(х) не стремятся к 7(х).
Пусть, далее, Ег(а) = (х; 1!ь(х) — 7'(х)( > ц), Л (а) = () Еь(п), М = П Л„(п). Ясно, что все эти множества измеримы. Так как Л7(п) з Лз(о) з..., то в силу свойсгва непрерывности меры п(Л„(п)) — 7 п(М) при п -+ со. Проверим теперь, что МсА. Действительно, если хо ф А, т.е. если 1!т У.(хе) = Пх.), то для данного а > О найдется такое и, что )7ь(хо) — Х(хо)! < ц при й > и, т. е. хе ф Л„(н) и, тем более, хв ф М. Но д(А) = О, и поэтому из (3) вытекает, что д(М) = О, и, следовательно, д(Л„(а)) -+ О при и -! со; так как Е„(о) С Л„(ц), то теорема доказана. зез ра. Ъ'. Иере, иемеримем фрикции, ииеаеграа Нетрудно убедиться, что из сходимости последовательности функций по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду.
Действительно, определим для каждого натурального 1е на полуннтерввле (О, Ц функции 71е) (1.1 следующим образом: в' — 1 <е 1ь1 1 при — „<х< —, О при остальных значениях х. Занумеровав все эти функции подряд, мы получим последова- тельность, которая, как легко проверить, сходится по мере к нулю, но в то же время не сходится ни в одной точке (докажите это!). У и р а ж н е н н е. Пусть последовательность измеримых функций (1а(х)) сходится по мере к некоторой предельной функции г(х).
Доказать, что последовательность (Г (х)) будет сходиться по мере к функции д(х) в том и только в том случае, если д(х) эквивалентна Г(х). Хотя приведенный выше пример показывает, что теорема 7 не может быть обращена в полной мере, тем не менее справедлива следующая теорема. Тео ро м а 8. Пусть последовательность измеримых функций (уи(Х)) СХОДИТСЯ ПО МЕРЕ К Г(Х). ТОГДа ИЗ ЭтОй ПОСЛЕДОВатеЛЬНОСГП можно выбрать подпоследовательность (Две(х) ), сходящуюся к 1(х) почти всюду.
Доказательство. Пусть ее, ез, ... — некоторая последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю, 1пп е„=О, а-еаа и пусть положительные числа пы..., пи,... таковы, что ряд гй + Оз + сходится. Построим последовательность индексов и, < пз < ...
следующим образом: выберем пг так, чтобы р(*:!У,(х) — У(*)! > е ) < Ь (такое п~ обязательно существует); далее выберем пз > пг так, чтобы Д(ж: !~д~ (х) — е (х)! ~ >ез) < е1з. 4. Измеримые функции Вообще, выберем пт > пт 1 так, чтобы р(х: [(и (х) 1(х)[ ~ )еь) < гв. Покажем, что построенная последовательность сходится к г'(х) почти всюду. Действительно, пусть Л; = Ц (х: [г'„„(х) — г'(х)[ > е), Я = П Ло Так как Л~ Э Лт л Лз Э З Л, Э..., то в силу непрерывности меры р(Л;) -р рЯ). С другой стороны, ясно, что р(Лг) < ~ы пго откуда р(Л;) — з О при 1 -+ сс„т.е. р(Я) = О. Остается проверить, что во всех то ~как множества Е '1 Я имеет место сходимость у„,(х) + у(х). ПУстьхо б Е~Я. Тогданайдетсатакоейо, чтото 1( Лии Это означает, что для всех Й ) 1о хо ф (х: [~„,(х) — ((х)[ > ек), т.е.
1У „(хо) У(хо)[ < еь ° Так как, по условию, еь -> О, то 11щ У„„(хо) = ((хо). Теорема доказана. 7, Теорема Лузина. С-сво11ство. Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа„относится к функциям на произвольных множествах н в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. Н.
Н. Лузиным. Теорема 9. Для того чтобы функция г'(х), залашгаяхеа отрезке [а, Ь], была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого г > О существовала такая непрерывная на [а, Ь[ функция ио(х), что р(х: г(х) ф ео(х)) < е. Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [а, Ь[ путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Про функцию на отрезке, которая может быть сделана не- зго ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
