А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поскольку А а В с (С а В) и ( () А'„), и>И то из (11) и (12) вытекает р"(АоВ) <е, Д Аи — — Е 1 О(Е 1 Аа). и и Теорема 7 усиливает теорему 5. Следующая теорема представляет собой аналогичное усиление теоремы 6. Теорема 8. Если (А„) — последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и А = Ц Аи, то и Р(А) = ~~1 Р(Аи). и Доказательство. В силу теоремы 6 при любом 1у и Ф р( О А„) = ~ 11(А„) < р(А).
и 1 и т.е, А измеримо. Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из равенства 2 7 1 !. Мара иааааих миажаата Переходя к пределу при 1У вЂ” ! оз, получаем р(А) > ~ р(А„). а=! С другой стороны, согласно теореме 3 (13) р(А) < ~~! р(А„). а=-! (14) Из (13) и (14) вытекает утверждение теоремы. Теорема 9. Если А! Э А З ....- последовательнгхть вложенных друг в друга измеримых множеств и А = П А„, то р(А) = 1нп р(А„).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай А =. !о; об!дий случай сводится к этому заменой Аа на А„1 А. Имеем А! = (А! '! А2) !2(А2 '!Аз) 0..., А„= (А„~ А„+! ) 0 (А„е! !, А„„.т) О .. причем слагаемые не пересекаются. Поэтому, в силу о-аддитивнос- ти р р(А!) = ~~! р(А!. !! А! !), ь=! р(А„) = ~~ р(А,1Аь„!); так как ряд (15) сходится, то его остаток (16) стремится к О при и -+ оо. Таким образом, р(А„) -! О при и — ! оо, что и требовалось доказать. Установленное в теореме 8 глойсгво меры было названо ее с югпно!2 аддитиеностью, илв о-аддин!иеиостью. Из о-аддитивности вытекает следующее свойство меры, называемое непрерывностью.
Гм К. Мера, игмеримне функции, интеграл Следствие. Если А1 С Аг С ... — возрастающая последова- тельность измеримых множеств и А=()А„, и то р(А) = 1пп р(Ан). Для доказательства достаточно перейти от множеств А„к их дополнениям и воспользоваться теоремой 9. Отметим в заключение еще одно очевидное, но важное обстоятельство. Всякое мггажества А, внешнмн мера которого равна О, измеримо. Достаточно положить В = И; тогда 1г'(А б В) = р'(А 6 И) = р'(А) = О < ю Итак, мы распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс 911рл замкнутый относительно операций взятия счетнгах сумм и пересечений, т.е.
представляющий собой о-алгебру. Построенная мера а-злдитивна на этом классе. Установленные выше теоремы позволяют составить следующее представление о совокупности измеримых по Лебегу множеств. Всякое открытое множество, принадлежащее Е. можно представи гь как объединение конечного или счетного числа открытых прямоугольников, т.е. измеримых множеств, и в силу теоремы 7 все открытые множества измеримы.
Замкнутые мгюжества суть дополнения открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 7 измеримыми должны быть и все те множества, которые могут быть получены из открытых и замкнутых с помощью конечного или счетного числа операций взятия счетных сумм и пересечений. Можно показать, однако, что этими множествами все измеримые множества еще не исчерпываются. 3. Некоторые дополнения и обобщения. Выше мы рассматривали только те множества, которые содержатся в единичном квадрате Е = (О < х, д < 1). Нетрудно освободиться от этого ограничения, например, следующим образом.
Представив всю плоскость как сумму полуоткрытых квадратов Е„= (и < х < п + 1, га < у < т-(-1) (и, са — целые), мы будем говорить, что плоское множество А измеримо, если его пересечение А„,„= А П Ект с каждым из этих квадратов измеримо. При этом мы положим, по определению, р(А) = ~р(Аи ), п,т Ряд, стоящий справа, либо сходится к конечному значению, либо расходится к +ос. Поэтому мера р может принимать и бесконечные 279 6 1.
Ие1м плоских множеств значения. Все свойсгва меры и измеримых множеств, установленные выше, очевидным образом переносятся на этот случай' ). Надо отметить лишь, что сумма счетного числа измеримых множеств конечной меры может иметь бесконечную меру. Класс измеримых множеств на всей плоскости обозначим Я. Мы изложили в этом параграфе построешие меры Лебега для плоских множеств. Аналогично может быть построена лсбегова мера на прямой, в трехмерном пространстве или, вообще, в евклидовом пространстве любой размерности и. В каждом из этих случаев мера строится по одному и тому же образцу: исходя из меры, определенной заранее для некоторой системы простейп1их множеств (прямоугольников в случае плоскости, интервалов (а, Ь), отрезков [а, 6] н полуинтсрвалов (а, 6], [а, 6) в случае прямой, и т.
п.), мы определяем меру вначале для конечных объединений таких множеств, а потом распространяем ее на гораздо более широкий класс множеств на множества, измеримые по Лебегу. Само определение измеримости дословно переносится на множества в пространстве любой размерности. Вводя понятие меры Лебега, мы исходили из обычного определеяия площади. Аналогичное построение для одномерного случая опирается на понятие длины интервала (отрезка, полуинтервала). Здесь, однако, можно внести понятие меры и иным, более общим способом.
Пусть Р(1) -- некоторая неубывающая, непрерывная слева функция на прямой. Положим т(а,6) = Е(Ь) — Е(а+ О), т[а, 6] = г'(6+ О) — Р'(а), т(а, Ь] = Г(6+ О) — Р(а + О), т[а, Ь) = Г(6) — Р(а). Легко видеть, что так определенная функция интервала т неотрицательна и адцитивна. Применяя к ней рассуждения, аналогичные проведенным в настоящем параграфе, мы можем построить некоторую меру (хр(А). При этом совокупность Йр множеств, измеримых относительно данной меры, замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера др будет а-аддитивна.
Класс щр множеств, измеримых относительно )хр, будет, вообще говоря, е) Однако в теореме 9 нужно добавить условие р(Б1) < -1-оо. чтобы сходилси ряд (15). Приведите пример, показывающий, что без этого условия теорема может стать неверной. Ге. П. Мера, гггмсриеги е функции, итпегрпп то в силу о-азтдитивности меры отсюда следовало бы, что 1гс ~ д(Ф ). (17) зависеть от выбора функции Р'.
Однако при любом выборе Р открытые и замкнутые множества, а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы. Меры, получаемые с помощью той или иной функции Р', называются мерами ЛебегаСпкилгаьеса. В частности, функции Е(1) = 1 отвечает обычная мера Лебега на прямой. Если мера рр такова, что она ранна О для любого множества, обычная лебегова мера д которого равна О, то мера рр называется абсолюпого непрерывной (относительно р). Если мера 1ен целиком сосредоточена на конечном или счетном множестве точек (это будет в том случае, когда множество значений функции г' конечно или счетно), то она называется дискретной.
Мера рр называется сингулярной, если она равна О для любого одноточечного множества, но имеется такое множество М лебеговой меры О, что мера рр его дополнения равна О. Можно показать, что всякая мера рк представима как сумма абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер. К мерам Лсбега-Стилтьеса мы еще вернемся в следующей главе. Существование неизмеримых мнозюеств. Мы видели, что класс измеримых по Лебегу кшожеств весьма широк. Естественно спросятри существуют лн вообще неизмеримые множества? Покажем, что этот вопрос решается положительно. Проще всего неизмеримые множества строятся на окружности, на которой введена линейная мера Лебега. Пусть С вЂ”. окружность, длина которой равна 1, и о — некоторое иррациональное число.
Отнесем к одному классу те точки окружности С, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности С на угол пох (и — целое). Каждый из этих классов будет, очевидно, состоять из счетного множества точек. Выберем из каждого такого класса по одной точке. Покажем, что полученное таким образом множество (обозначпм его Фо) неизмеримо. Обозначим через Фи множество, получаемое из Фо поворотом на угол пок.
Легко видеть, что все множества Фи попарно не пересекшотся и в сумме составляют всю окружность.С. Если бы множество Фо было измеримо, то были измеримы и конгруэнтпые ему множества Фп. Так как С= () Ф„, ФпйФпг=я~ при ифт, 1 2. Обп!ее ненлпше мери 261 Но конгруэнтные множества должны иметь одну и ту же меру, так что если Фо измеримо, то Отсюда видно, что равенство (! 7) невозможно, так кнк сумма ряда, стоящего в его правой чаг.ти, равна О, если р(Фо) = О, и бесконечности, если р(фо) > О. Итак, множество Фо (а следовательно, и каждое Фп) неизмеримо. 2 2.
Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Адцитивность и сг-вдцитивность ') 1. Определение меры. Мы строили меру п.лоских множеств, отправляясь от меры (площади) прямоугольника и распространяя ег на более широкий класс множеств. Для папшх построений существенно было вовсе не конкретное выражение площади прямоугольников, а лишь ее общие свойства. Именно, при продолжении плоской меры с прямоугольников на элементарные множества мы пользовались лишь тем, что площадь . - это неотрицжгсльная алдитивная функция множества, и тем, что совокупность прямоугольников есть полукольцо.
При построении лебегова продолжения плоской меры была, кроме того, важна ее сг-влдитивность. В силу только что сказанного, конструкции, изложенной в з 1 применителыю к плоским множествам, можно придать вполне общую абстрактну|о форму. Тем самым ее применилюсть будет существенно расширена. Этому н посвященгн ближайшие два параграфа. Введем прежде всего следующее основное определение. Определение 1.
Функция множества п(А) называется мерой, если: 1) область определения бп функции д(А) есть полукольцо мно- жеств, 2) значения функпни д(А) действительны и неотрпцательны, 3) р(А) аддитивна, т.е. для любого конечного разложения А=Аго .О4, ') В етом параграфе и далыпе мы будем систематически польаонаться понятиями и фактами, изложенными н ! 5 гл. 1. Гл. и, Мера, иэмеримие фрикции, иииэеэрал множества А й Ьи на (попарно непересекающиеся) множества Аь Е Ю~р выполнено равенство Замечание.
Из разложения й~ = о0й вытекает, что р(й~) = = 2д(ю), т.е. д(о) = О. 2. Продолжение меры с полукольпа на порожденное им кольцо. При построении меры плоских множеств первым шагом было распространение меры с прялюугольников на элементарные множества, т. е. на конечные суммы попарно непересекающихся и рямоугольников. Сейчас мы рассмотрим абстрактный аналог этой конструкции. Сформулируем прежде всего следующее определение. Определение 2. Мера д называется продолжением л|еры т,. если б,и С бр и для каждого А Е Я„, имеет место равенство р(А) = т(А). Цель этого пункта состоит в доказательстве следующего предложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
