А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Установим следующее важное свойство меры элементарных мно- жеств. его !Х. и. Мера, агмсраммг фрнаяна, антагграл Теорема 2. Если А ." элементарное множество и (А„) — «опнчная илн счетная система элементарных множеств такая, что Ас0А- а то ттд(А) < ~~ пг'(А„). а Доказательство.
Для любого с > О и данного А можно, очевидно, найти такое замкнутое элементарное множество А, которое содержится в А и удовлетворяет условию пд(А) > тп'(А) — с/2. (Достаточно каждый нз й составляющих А прямоугольников Р; заменить лежащим внутри него замкнутым прямоугольником с площадью большей, чем тп(Р;) — с/(2Й).) Далее, для каждого А„можно найти открытое элементарное множество А„, содержащее,4„н удовлетворяющее услоюпо т'(.4а) < тп'(Аа) + Ясно, что А С ()Ла. а Из (Аа) можно (по лемме Гейне-Вореля) выбрать конечную систему А„,,..., А„„покрывающую А.
При этом, очевидно, г т'(А) < ~~ т'(А„,) г=1 (так как иначе А оказалось бы покрытым конечным числом прямоугольников, суммарной площади меныней, чем тп'(А), что невозможно). Поэтому тп'(А) < тп'(А)+ ~~ » (~~ тп(Ап„)+ 2 »< т=1 < ~~~ тп'(А„) + ~2 < ~ тп'(.4а) + ~~~ „с„, + ~ — — ~~' т'(А„) + с, а п а откуда в силу произвольности с > О вытекает (1). Свойство меры т', устанавливаемое теоремой 2 (мера множеств не превосходит суммы мер покрывающих его множеств, взятых в конечном или счетном числе), называется полроддитпиеностпью. Из него вытекает свойство так называемой счетпной аддитивности, или о-аддитпиеностпи, состоящее в следующем. 1 !. Мера вла«кик .множвсшв тт! Пусть элементарное множество А представлено как сумма с ч е тного числа не пересекающих гя элементарных множеств А„ (и = 1,2,...); = 5А.; п — — ! тогда гп'(А) = ) и!'(А„) и=! (т.
е. мера суммы счетного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер). Действительно, в силу аддитивности при любом Х имеем: !ч И т'(А) > и!'( () Ап) = ~ юп'(А~). л--.! Переходя к пределу при М вЂ” з оо, получаем тп'(А) ) ~~! т'(А ). л=! В силу теоремы 2 имеет место и противоположное неравенство. Таким образом, и-адаптивность меры пт' доказана. Замечание. У читателя может сложиться впечатление, что и-влдитнвность меры на плоскости получается автоматически нз ее аддитивности путем предельного перехода. Па самом деле это не так (в доказательстве теоремы 2 мы, используя лемму Гейне-Бореля, существенно опирались на связь между метрическими и топологическими свойствами плоских множеств).
В з 2 при изучении мер на произвольных абстрактных множествах мы увидим, что из авднтивности меры, вообще говоря, ее а-аддитивность не следует. 2. Лебегова мера плоских множеств. Элементарные множества не исчерпывают всех множеств, которые встречаются в геометрии и в классическом анализе. Поэтому естественно попытаться распространить понятие меры, с сохранением ее основных свойств, на класс множеств более широкий, чем конечные объединения прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Решение этой задачи, в известном смысле окончательное, было дано А.
Лебегом в начале ХХ века. При изложении теории меры Лебега нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные объединения прямоугольников. Для того чтобы при этом сразу же не столкнуться с множествами «бесконечной меры», ограничимся сперва множествами, целиком принадлежащими квадрату Е = (О ( х ( 1; О ( у ( Ц.
На совокупности всех таких множеств определим функцию р'(А) следующим образом. 1И. 1г. Мера, игмерггмме фрикции, интеграл ттэ Определение 1. Внешней мерой мпожесгва А называется число д'(А) = гггГ ~ гп(Р,), А<0 Ре где нижняя грань берется по вгевозможным покрытиям множе- ства А конечными или счетными системами прямоугольников. Замечания. 1. Если бы мы в определении внегпней меры рассматривали покрытия, состоящие не только из прямоугольников, но из любых элементарных множеств (взятых в конечном или счетном числе), то мы получили бы, очевидно, то же самое значение р*(А), поскольку всякое элементарное множество есть сумма конечного числа прямоугольников.
2. Если А — - элементарное множество, то д'(А) = т'(А). Действительно, .пусть Ры, Є— составляющие А прямоугольники. Тогда, по определению, пг'(А) = ~~ пг(Ре). Так как прямоугольники Р; покрывают А, то р" (А) < 2 гп(Р;) .= 1=1 = гп'(А). Но если Яг) — - произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая А, то в силу теоремы 2 т'(А) < < ',> пг(Цу), поэтому д" (А) = глг(А).
Теорема 3. Если А СЦА„, гг где А„— конечная или счетная система множеств, то и'(А) < ~ д'(А ). (2) и В частности, если А С В, то 1е'(А) < р'(В). Доказательство. По определению внешней меры, для каж- дого А„найдется такая система прямоугольников (Рнь), конечная или счетная, что Аи С Ц Риз и ь Е (Р-)- ''(А-)+2'- ь где е > 0 выбрано произвольно. Тогда АС00Ры д'(А) < ~ у пг(Р„ь) < ~ д*(А„) + е, н ге и 1 1.
Мара оооски» множеств 273 Пьюкольку е > О произвьцп,но, отсюда вытекает утверждение тео- ремы. Так как на элементарных множествах т' и р' совцадакьт, то теорема 2 представляет собой частный случай теоремы 3. Опрея ел е н и е 2. Множество А называется измеримььм (в сльььсле Лебега), если для лаььюго г > О найдется такое элементарное множество В, что Р) Функция р", рассматриваемая только на измеримых мяожествах, называется лебсговой мерой. Будем обозначать ее через р. Замечание. Введенное нами определение измеримости имеет достаточно наглядный смысл.
Оно означает, что множество измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами. Итак, мы определили некоторый класс ОЛя множеств, пвзьшае; мых измеримыми., и функцию р, меру Лебега, на этом классе. Наьпа ближайшая цель — установить следующие факты: 1. Совокупность ОЛн измеримых множеств замкнутое относительно операций взятия конечных или счетильт сумм и ььересечений (т.е, представляет собой о-алгебру, см. определение в п.
4 з 5 гл. 1). 2. Функция р о-аддитивна на ЯИя. Нижеследующие теоремы представляют собой этапы доказательства этих утверждений. Т е о р е м а 4. Дополнение. измеримого множества измеримо. Это сразу следует из равенства (е ~ А) й (Е ~ В) = А 7л В, которое проверяется непосредственно. Теорема 5. Сумма я пересечение конечного числа пзльернмых множеств суть измеримые множества. Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух множеств. Пусть Аь и Аз -- измеримые множества.
Это значит, что для любого е > О найдутся такие элементарные множества Вь иВ что 7ь'(Аь а Вь) < е/2, р'(Аз и Вз) < е/2 Так как (А, О А,) й (В, О Вз) С (А, а В,) О (Аз П Вз), Рл. 17. Мера, игмеримме фриеиии, ииигеграл 274 ,и" ((А1 0 Аз) о (В1 О Вт)] < 71'(А1 о В1) + р'(Аз Ь Вз) < е. Но В1 О Вз — элементарное множество, поэтому множество А1 О Аз измеримо. Измеримость пересечения двух измеримых множеств вытекает из теоремы 4 и соотношения А1 ПА2 = Е~((Е~ А1) О(Е~ Аз)]. (4) Следствие. Разность и симметрическая разнос~ьднухизмеримых множеств измеримы.
Это вытекает из теорем 4 и 5 и равенств А1 ~ Аз = А1 П (Е ~ Аз), А1 б Аз = (А1 ~ Аз) 0 (Аз ~ А1). Теорема 6. Если А1, ..., А„— попарно непересекающиеся измеримые множества, то 71(() Аь) = ~~' 74(Аь). к=1 в=1 (е) Лемма. Для любых двух множеств А и В ]ре(А) —,и'(В)] < 44'(А а В).
Доказательство леммы. Так как АСВО(АЬВ), то в силу теоремы 3 74" (А) < 72'(В) + 74" (А а В), Отсюда вытекает утнерждение леммы в случае 74'(А) > 74*(В). Если же 74'(А) < 74'(В), то утверждение леммы вытекает из неравенства 74" (В) < 74 (А) + 74" (А а В), устанавливаемого аналогично. Доказательство теоремы 6.
Какивтеоремеб,достаточно рассмотреть случай двух множеств. Выберем произвольное е > 0 и такие элементарные множества В1 и Вз, что р"(А1 б В1) < е, 74'(Аз о Вз) < е. (6) (7) Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма. 1 1. Мера ааасаих мномсегтаа В1 П Вт с (А1 ат Вт) 1.1 (Ат а Вз) и, следовательно, тп'(В1 Гт Вз) < 2е. В силу леммы из (6) и (7) вытекает, что /тп'(В1) — р*(А1)! < е, /тп'(Вз) — р" (Аз)! < е. (9) (10) Так как на совокупности элементарных множеств мера авдитивна, то из (8) †(10) попучаем т'(В) = тп (В1) + тп (Вз) — тп'(Вт Г$ Вг) ~> Р*(А1) + Р'(Ат) Заметив еп1е, что А о В с (Ат о В1) 11 (Ав о В1) имеем, наконец, р (А) > пт'(В) — р*(А Л В) > пт'(В) — 2е > р'(.41) + р'(Ат) — бе.
Так как е > 0 может быть выбрано произвольно малым, то р" (А) > 11'(А1) + р'(Ат). Поскольку противоположное неравенство р'(А) < р*(А1) + р (Аз) справедливо (в силу теоремы 3) всегда, окончательно получаем р" (А) = р" (А1) + р*(А1); так как Ат, Аз и А измеримы, то здесь р' можно заменить на р. Теорема доказана. Из атой теоремы, в частности, следует, что для всякого измеримого А р(В ~ А) = 1 — р(А).
Теорема 7. Сумма и пересечение счетного числа измериьтьтх множеств суть измеримые множества. Доказательство. Пусть Ат,..., А„, — счетная система измеримых множеств и А = () А„. Положим а=1 н-1 А'„= Атт ~ Ц Аз. Ясно, что А = О А'„, ь=! н=1 попарно не пересекаются. В силу теоремы 5 причем множества А„ и следствия из нее все Положим А = А11зАт и В = Вт 11Вз. Множоство А измеримо в силу теоремы 5. Так как множества А1 и Аз не пересекаются, то !>е й'.
Мера, измеримые функции, ииеиеерак множества Аи измеримы. В силу теоремы б и определения внешней моры при любом конечном п и и р(А1,) = р( () А1) < р(А), 1=1 уи1 поэтому ряд р(А'„) и=1 сходится и, следовательно, для любого е > О найдется такое 1у', чтп И(А',,) < 2. а>Ж (11) Ю Так как множество С = () А„измеримо (как сумма конечного чиела измеримых множеств), то для него найдется такое элементарное множество В что (12) р" (С и В) < е/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
