А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теорема 1. Длякаждоймерынл(А), заданнойнанекоторомполукольце Ь,„, существует одно и только одно продолжение т'(А), имеющее своей областью определения кольцо Я(Бел) (т.е. минилилыгое кольцо над Ь„,). Доказательство. Для каждого множества А й 9ЦЬ ) существует разложение и А= () Вл, Вь~(5, ВлПВл=а при 1<1 (1) л=-л (теорема 3 Э 5 гл. 1). Положим, по определению, т'(А) = С го(Вл). л=л (2) Легко видеть, что величина гп'(А), определенная равенством (2), не зависит от выбора разложения (1). Действительно, рассмотрим два разложения 1 2.
06пеее поп ппее меры Так как все пересечения В! П С', принадлежат б, то в силу адди- тивности меры тп и п е е тп(В!) = ~~) т(В,пС,) = ) т(С,), е=! е=! >=! >'= 1 что и требовалось доказать. Неатрицательность и влдитивность функции и!'(А), определяемой равенством (2), очевидны. Итак., существование продолжения >и' меры т па кольцо Я(беп) доказано. Дчя доказательства его единственности заметим, что,по определении> продолжения, если А = О Ве, где Вь — непересекающиеся е=! множества из б„„то для любого продолжения т меры >и на кольцо Я(б„,) т(А) = ~~~ >й(Вь) = ~~> т(Вь) = т'(А), т.е.
мера ги совпадает с мерой т', определенной равенством (2). Теорема доказана, По существу, мы повторили здесь, в абстрактных терминах, прием, которым мы в з 1 продолжили меру с прямоугольников на элементарные множества. Класс злементарных лтожеств как рвз и представляет собой минимальное кольцо нвл полукольцом прямоугольников. Из аддитивности и неотрицательностн меры вытекают следующие почти очевидные, но важные свойства. Теорема 2.
Пусть т — мера, заданная на некотором кольце Я, и множества А,..., Ап принадлежат Я . Тогда и 1. если () А! с А и Ае > > А,. = о нри ! ф. у, то г=! и т(А!) < т(А); е — 1 И, если () А! Э А, то ь=> и ги(Л!) ) т(А); ь=! и частности, если А С А' и А, А' б Я, то т(А) < п>(А'). рл, и. Мера, иэмаримыг, фу!!киви, июигграл Действительно, если .41,..., Аз попарно не пересекаются и содержатся в А, то в силу аддитивности меры г| и тп(А] =: ~ ~т(Аь)+т(А~ („) Ау). 1с--1 ги1 и Поскольку гп(А 11 О Аь) > О, отсюда получаем снойгтво 1.
у — — ! Далее, для любых А1, Аз Е Яи, имеем т(А! 0А1) = т(А!) +т(Аз) — т(А! ПА!) < !п(А!) -гт(Ат). По индукции ото!ода получаем, що и и и!( () А1.) с 2 тп(.4в), Ьы1 и Наконец, опять-таки в силу аддитивности меры из .4 С () Аь слети! дует, что гп(А) = пг( () Аг) — гп( () Аь '! А) < !п( ( ) .41г), ь=! Уи! Уи1 откуда в силу предыдущего неравенства и вытекает свойство П.
Мы доказали свойства 1 и П для меры, заданной на кольце множеств. Но если мера первоначально была задана на полуьольцег то при продолжении ее на кольцо моры множеств, принадлежащих исходному полуколы!у, не мегмпотся. Позтому свойства 1 и П справедливы и для мер па полуколыщх.
3. а-аддитинность. В различных вопросах анализа приходится рассматривать объединения не только конечного, но н счетного числа множеств. В сюгзи с этим условие аддитивности, которое мы наложили на меры (определение 1), естественно заменить более сильным требованием гг - а д д и т н в н о с т н. Определение 3. Мера т называется счетно-аддитивной, или о-аддитнвной, если для любых лщожеств А, А1,..., Аи, ..,, принадлежащих ее области определения 6, и удовлетворяющих условиям А= () А„, А1г!А,=з при имеет место ранснство пг(А) = ~~~ гп(Л„).
и=-1 1 а Общее повмвлие нлвн Плоская мера Лебега, построенная нами в з 1, о-влдитивна (теорема 8). Пример и-аддитивной меры совсем иной природы можно построить следующим образом. Пусть Х вЂ” [я1 кз ° ° ° ) — произвольное счетное множество и числа р„) О таковы, что и=1 Соответствующий класс измеримых множеств состоит нз всех подмножеств множества Х. Для каждого А С Х положим (А)= ~р„. ~.ех Легко проверить, что т(А) будет и-адаптивной мерой, причем т(Х) = 1. Этот пример естественно появляется 1л связи со многими вопросами теории вероятностей. Укажем пример меры алдитивной, но не и-аддитивной.
Пусть Х -- множество всех рациональных точек отрезка [О, Ц, а Я, состоит из пересечений множества Х с произвольными интервалами (а, Ь), отрезками [а, 6[ или полуинтервалами (а, 6], [а, Ь) из [О, Ц. Легко вндетлч что б представляет собой полукольцо. Для каждого такого множества А,л Е 15,„положим гп(А л) = Ь вЂ” а, Эта мера аддитивна, однако она не о-аддитивна, так как т(Х) = 1, и в то же время Х есть сумма счетного числа точек, каждая из которых имеет меру О.
Меры, которые будут рассматриваться здесь и в сленующем параграфе, мы будем предполагать о-влдитивными. Теорема 3. Если мера т, определенная на некотором полукольце щ„„о-аддитивна, то и мера р, получающаяля ее продолже нпем на кольцо ОГ(15„,),а-адцитивна. Доказательство. Пусть А е Я(Й„,), В„6 ОГ(Я„,), п = 1,2,..., А= (") В„, я=1 г. Тогда суплсствуют такис множества А причем В,Г1В, =- О прп и ф А = () Аб В„= () Вло н = 1,2, ПЛ 4Зг4 рл. Ъ'. Мера, измеримые фрикции, иппиеграл причем множества в правых частях каждого из зтих равенств попарно не пересекан!тся, а суммы по ! и ! конечны (теорема 3 3 5 гл.
1). Пусть С„„= В„, ПА,. Легко видеть, что множества Спе, попарно не пересекаются, и притом А! = О ОСпе! Вп' = ()Спсь и=! з Поэтому в силу и-адцитивности меры ка на б имеем пт(А ) = ) ~т(Спер),. (3) п=! т(Вп!) = ~ ~т(С„! ), а в силу определения меры д на Я(!5,„) д(А) = ~~~ гп(Аз), (5) д(В.) = ~; т(В.!) (б) Из (3)-(б) нытекает, что д(А) = 2 ед(Вп). (Суммы по ! и по у' здесь и=! конечны, ряды по и сходятся.) (4) Теорема 4. Пусть мера т и-алдитивна и множества А, А!,..., А„,... принадлежат кольцу Я. Тогда 1п. Если () Ае С А и А, 0 А = й! при ! ф 1, то ь —.! т(Аь) < пе(А); ь=! Пп (счетная полуаддитивность). Если ( ) Аь Э А, то ь=! пе(Аь) ) т(А). Докажем теперь следующие основные свойства и-вддитивных мер, представляющие собой обобщения на счетные суммы свойств, сформулированных в теореме 2.
Поскольку, как мы установили, и-адцитивность меры сохраняется при продолжении меры на кольцо, можно с самого начала считать, что мера задана на некотором кольце Я. 1 3. Лебееово продолжение мери 287 Доказательство. Если все А». не пересекаются и содержатся в А, то, в силу свойства 1 (теорсма 2), при любом и имеем и гп(А») < т(А). ь=1 Переходя здесь к пределу при и -» оо, получаем первое утверждение теоремы.
Докажем второе утверждение. Поскольку Я есть кольцо, множества Вп = (А„ПА)» () А» »=1 принадлежат Я. Так как () Вп, ВмСАп и множества Вп попарно не пересекаются, то п»(А) = ~ ~п»(В„) < С т(А„). п=1 пп1 Замечание. Утверждение 1 доказанной только что теоремы не опирается, очевидно, на»7-адаптивность рассматриваемой меры; оно остается справедливым и для любых авдитивных мер. Наоборот, утверждение П существенно использует и-адцитивность меры.
Действительно, в приведенном выше примере вддитивной, но не а-ад»»итивной меры все пространгтво Х, имеющее меру 1, покрывается счетной суммой одноточечных множеств, каждое из которых имеет меру О. Более того, нетрудно убедиться, что свойство П на самом деле равносильно и-аддитивности. Действительно, пусть 7» — некоторая мера, определенная на полукольце Ь. Пусть множества А, А»,..., Ап,, .. принадлежат ~5, А = ().4» и все.41, попарно ь не пересекаются.
Тогда в силу свойства 1 (которым, как мы видели, обладает любая мера) р(А».) < р(А). ».—.1 Если же»» обладает и свойством П, то (поскольку Ае в совокуп- ности покрывают А) р(А») > д(А) Ь=1 Гл. К Мера, илл«риме<а функции, иктеерал и< таким образом, р(Аь) = а (А). ь=о Проверить счетную полуалдитивность меры (свойство П ) бывает чш то проще, чем прямо установить ее о-акрдитивность.
~ 3. Лебегово продолжение меры 1. Лебегово продолжение меры, определеккной на полукольце с единицей. Если мера т< заданная па полукольце б„„ обладает лишь свойством адпитивногти (но не а-аддитивности)< то ее продолжением на <зк (кз,а) исчерпываются в значителыюй степени все возможности распространения такой меры с исходного полукольца на более широкий класс множеств.
Если же рассматриваемая мера <г-аддитивна, то она может бьггь распространена с б,„на класс лкножеств значительно более обширный, чем кольцо Я(Ь,а), и в нокотором смысле максимальный. Это можно сделать с помощью так называемого лебегова продолжения. Сначала мы рассмотрим лебегово продолжение меры, заданной па полукольце с единицей. Общий случай будет расслкотрен в следучощеа< пункте. Пусть на некотором полукольце множеств б,„с единицей Е задана и-аддитивккая мера т. Определим на системе й всех подмножеств множества Е функцию к<'(А) - — внешнюю меру следующим образом. Определение 1.
Внешней марав множества А С Е называется число ке'(А) = 1пГ ~ ~т(В„), (1) где нижняя грань берется по всем покрытиям множества А коночными или счетными системами множеств В„е Йа,. Следующее свойс кво внешней меры играет основную роль во всем дальнейшем построении. Теорема 1(счетная нолуаддитивпость). Ясли А с ЦА„, и где (А„) — - конечная илн счетная система множеств, то и'(А) < ~~ р<'(А ). и Доказательство зтого утверждения совпадает с доказательством теоремы 3 з 1 и мы не будем его повторять.
звз ) 3. Лебегеео ародалжение меры Определение 2, Множество А называется измеримым (по Лебегу), если, каково бы ни было б > О, найдется такое В Е Я(ез ), что Р*(А Д В) < б. Функция р', рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебегоеой мерой (или просто мерой) и обозначается д. Ясно, что все множества из Я и из 9г(ю,в) измеримы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
