А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Мера, нгмарнмне функции, интеграл зоо условию б с бь с оь1, Цбь) = Б(б). всегда ~ 4, Измеримые функпии Определение 1. Пусть Х вЂ” - льножество, в котором задана о-эдцитивная мера ьь, определенная на о-алгебре б„. Действительная функция у(я) на Х называется ьь-измеримой, если для всякого борелевского множества А числовой прямой ~ '(А) б бр. Аналогично, комплексная функция ььр(я), определенная на Х, называется р-измеримой, если ьр ь(А) е б, для всякого борелевского подмножества комплексной плоскости. Легко проверить, что это 1. Определение и основные свойства измеримых функций.

Пусть Х и )г — два произвольных множества и пусть в них выделены две системы подмножеств бх и бу соответственно. Абстрактная функция у = 1(х) с областью определения Х, принимающая значения на У, называется (бх, бу)-измеримой, если из А Е бу вытекает, что ~ ь(А) е бх.

Например, если и за Х, и за 1 взять числовую прямую (т.е. рассматривать действительные функции действительного переменного), а за бх и бу взять систему всех открытых (или всех замкнутых) подмножеств из К, то сформулированное определение измеримости сведется к определению непрерывности.

Взяв за бх и бу систему всех борелевских множеств, мы придем к так называемым В-измеримым (или измеримым по Борслю) функциям. В дальнейшем мы будем интересоваться понятием измеримости главным образом с точки зрения теории интегрирования. В этом плане основное значение имеет понятие измеримости числовых функций, определенных на некотором множестве Х с заданной па нем о-вддитивной мерой р. При этом за бх принимается совокупность б„всех измеримых относительно ьь множеств из Х, а за б у— совокупность всех В-множеств на прямой. Поскольку всякая о-вддитивная мера может быть продолжена па некоторую о-алгебру, естественно с самого начала считать, что б„есть ьг-алгебра.

Таким образом, для числовых функций мы приходим к следующему определению измеримости. З 4. Измеримые функции зс~ равносильно р-измеримости действительной и мнимой частей этой функции по отдельности. Числовая функция, заданная на прямой, называется борелевекой (или В-измеримой), если прообраз каждого борелевского множества есть борелевское множество. Те о р е м а 1. Пусть Х, У я Я - — произвольные множества с выделенными в них системами подмножеств Йх, Ьу и Ьв соответственно и пусть определенная па Х функция у = Дк) (Ьх, Ьу)-нзморима, а опроделецн я на У функция з = д(у) ((5у, бя)-измерима. Тогда функция = р(к) - =д(У(к)) (лзх, Бя)-излтрима.

Коротко: измеримая функция от измеримой функции еспль измеримая функция. Доказательство. Если А е л'зя, то в силу ((5у, (5я)-измеримости функции д имеем: д '(А) = В б (5у. В свело очередь в силу (лзх, сзу)-измеримости функции у множество / '(В) принадлежит Ьх, т.е. у '(д '(А)) = у '(А) б ех, т.е.

функция р (клх, Оя)-измерима. Следствие. Борелевская функция от р-измеримой числовой функции р-измерима. В частности, непрерывная функция от р-измегзлглгой р-измерима, В дальнейплем, в случаях, когда это не может вызвать недоразу.- мения, мы вместо «д-измеримости» будем писать просто «измернмость». Теорем а 2. Для того чтобы действительная функция у(к) была измерима, необходимо и достаточно, чтобы при любом действительном с множество (к: З(х) < с) было измеримо. Доказательство. Необходимость условия ясна, так как полупрямая ( — оо, с) есть борелевское множество. Для доказательства достаточности заметим прежде всего, что п-алгебра, порожденная системой Е всех полупрямых ( — со, с), совпадает с а-алгеброй всех борелевских множеств на прямой.

Но согласно п. 5 д 5 гл. 1 отсюда следует, что прообраз каждого борелевского множества принвплежит а-алгебре, порожденной прообразами полупрямых, принадлежащих Е, т. е. измерим. Доказанное условие часто принимают за определение измеримости, т.е.

называют функцию у(х) измеримой, если все множества (х: З'(х) < с) измеримы. Зах Пс 'г'. Мера, игмгримггг францие, нигагграа 2. Действия нвд измеримыми функциями. Покажем, что совокупность измеримых функций, заданных на некотором множе- стве, замкнута относительно арифметических операций. Теорема 3. Сумма, разность я произведение двух измеримых функций измеримы. Частное двух измеримых функций, прн усло- вии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо.

Доказательство этой теоремы проведем в несколько шагов. 1) Если / измерима, то, очевидно, измеримы и функции и/ и о+/ при любых постоянных Й и а. 2) Далее, если / и д — измеримые функции, то множество (х: /(х) > д(х)) измеримо. Действительно, (,:/(.) >д( )) га ()((х:/( ) > )П(х:д(х) < )), ь=1 где сумма берется по всем рациональным числам гы занумерован- ным в любом порядке.

Отсюда получаем, что (х: /(х) > а — д(х)) = (х: /(х) + д(х) > а) измеримо, т. е. сумма измеримых функций измерима. 3) Из 1) и 2) следует нзмеримость разности / — д. 4) Произведение измеримых функций измеримо. Действительно, воспользуемся тождеством 4 ((/ Стоящее справа выражение есть измеримая функция. Это вытекает из 1)-3) и следствия из теоремы 1, в силу которого квадрат измери- мой функции измерим.

5) Если /(х) измерима и /(х) ф О, то и 1//(х) измерима. Дей- ствительно, если с > О, то (х: 1//(х) < с) = (х: /(х) > 1/с) 0 (х: /(х) < О); если с < О, то (х: 1//(х) < с) = (х: О > /(х) > 1/с); авели с= О, то (х: 1//(х) < с) = (х: /(х) < с). Каждый раз справа мы получаем измеримое множество. Из 4) и 5) следует измеримость частного /(х)/д(х) (при условии д(х) ф О). Итак, мы показали, что арифметические действия над измери- мыми функциями снова приводят к измеримым функциям.

Покажем теперь, что совокупность измеримых функций замкнута по отношению не только к арифметическим операциям, но и к опе- рации предельного перехода. 1 4. Немеримме фрикции зоз Т е о р е м а 4. Предел сходящейся при каждом х с Х погледовазтльности измеримых функций измерим. Доказательство. Пусть 1„(х) — ~ 1(х); тогда (*: П*) < ) = (.) и П (я: Х ( ) < — Ю (1) п ее>е Действительно, если 1(т) < с, то существует такое й, что у(х) < < с — 2/(е; далее, при атом и можно найти столь большое и, что при ги > и выполнено неравенство уе,(х) < с — 1//с, а зто и означает, что х войдет в правую часть (1).

Обратно, если х принадлежит правой части равенства (1), то существует такое к, что при всех достаточно больших т у„,(х) < с — 1/)е, но тогда у(х) < с, т. е. х входит в левую часть равенства (1). Если функции /„(х) измеримы, то множества (х:,г' (х) < с — 1/Ц измеримы. Так как совокупность измеримых множеств есть а-ал- гебра, то в силу (1) множества (з:,1(х) < с) тоже измеримы, что и доказывает измеримость у(я). Замечание.

Как видно из сказанного, понятие измеримости функции не связано с наличием в рассматриваемых пространствах какой-либо меры. Должны лишь быть вьщелены системы множеств, называемых измеримыми. Однако фактически понятие измеримости используется, как правило, для функций, определенных на некотором пространстве Х с фиксированной мерой, заданной на какой-либо и-алгебре его подмножеств.

Именно эта ситуация и будет рассмагриваться в дальнейшем. Как уже было отмечено, и-адаптивную меру, определенную на о-алгебре 6 подмножеств некоторого множества Х, можно без ограничения общности считать полной, т. е, считать, что если А — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество А' измеримо (и, конечно, р(А') = 0). Это условие полноты меры мы всюду в дзльнейшел1 будем предполагать выполненным. 3. Эквивалентность.

Прн изучении измеримых функций часто можно пренебречь нх значениями на множестве меры нуль. В связи с этим возникает следующее определение. зоч Гз. К Мерц измерпмъи фрикции, ин~м*грал Определение 2. Две функции, ~ и д, заданные вводном и том же измеримом множестве Е, называются зкеиеаленганымы (обозначение: у д), если р(х: З(х) ф д(х)) = О. Введем еще следующую терминологию. Говорят, что некоторое свойство выполнено почши всюду на Е, если оно выполнено па Е всюду, кроме, быть может, точек, образующих множество меры нуль. Таким образом, две функции называются эквиналентш ~ми, если они совпадают почти всюду. Теорема 5.

Функция З(х), определенная на некотором измеримом множестве. Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции д(х), тоже измерима. Доказательство. Из определения эквивалентности следует, чго множества (х: у(х) ( а) и (х: д(х) ( а) могут отличаться друг от друга только на некото1юе множество меры нуль, следовательно (поскольку мера предположена полной), если второе из них измеримо, то измеримо и первое. 3 а м е ч а н и е. В классическом анализе понятие эквивалентности функций не играет существенной роли, так как там в основном рассматриваются непрерывные функции одного или нескольких переменных, а для них эквивалентность равносильна тождественности.

Характеристики

Список файлов книги