А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При зтом, если А б Бее, то р(А) = т(А). Это равенство доказывается точно так же, как и его аналог для множеств на плоскости. Из равенства А~ о Ат = (Е ~ А1) о (Е ~ Аз) следует, что если А измеримо, то его дополнение тоже измеримо. Установим теперь основные свойства измеримых множеств и определенной на них лгбеговой меры. Теорема 2. Система 9л1 всех измеримых множеств есть кольцо. Доказательство.
Так как всегда А1 П Аз = А1 ~ (Ае ~ Аз), А1 и Ат — — Е ~ [(Е ~ А1 ) и (Е ~ Аз Н, р*(А1 Л В1) < б/2 и д'(Аз и Вз) < б/2. Полагая В = В1 ~ Вз 6 Я(й,„) и пользуясь соотноенением (А1 ) Вз) Л (В1 ) Вз) С (А1 Ь В1) О (Аг 6 Вз), д*(А Л В) < б. получаем В силу произвольности б > О отсюда вытекает измеримость множе- ства А. Замечание. Очевидно, что Е есть единица кольцами которое, таким образом, является алгеброй множеств.
то достаточно показать следукпцее. Если А| е 9Л, Аз а Щ то и А=А|~Аз 69Л. Пусть А1 и А измеримы; тогда существуют В1 с Я(Я„,) и Вт 6 Я(Я„,) такие, что рл. у. Мера, иэмеримые функцгги, интеграл 290 Теорема 3. На системе 9Л измеримых множеств функция р(А) вдлитнвна. Доказательство этой теоремы представляет собой дословное повторение доказательства теоремы 6 9 1. Т е о р е м а 4. На системе 9Л измеримых множеств функдия р(А) п-аддитивна.
Доказательство. Пусть А= () А„, А,АыАз, 69Л, А,ПАз.то при афти. игп В силу теоремы 1 д(А) < ~~г 1г(А„), а в силу теоремы 3 при любом гг' (2) гу и р(А) > р( () '1 ) т .Сд(А„), к=| откуда р(А) > ~ р(А.). Из (2) и (3) следует утверждение теоремы.
В 91, рассматривая плоскую меру Лебега, мы показали, что не только конечные, но и счетные суммы и пересечения измеримых множеств также измеримы. Это верно и в общем случае, т.е. справедлива следующая теорема. Теорема 5. Система 9Л измеримых по Лебегу множеств является о-алгеброй с елиннлей Е. Доказательство.
Так как ПА =Е'10(Е'1А ) и и и так как дополнение измеримого множества измеримо, то достаточно показать следующее. Если Аы ..., А„, ... принадлежат 9Л, то А = О А„также принадлежит 9Л. Доказательство этого утвержден ния, проведенное в теореме 7 9 1 для плоских множеств, дословно сохраняется и в общем случае. Так же как и в случае плоской меры Лебега, из ег-аддитивности меры следует ее непрермвностнь, т. е. если 1г — ег-аддитивная мера, зэ1 1 а Пебагоао продолжение морм определенная на о-алгебре, А1 Э э А„з ... — убывающая цепочка измеримых множеств и А = (')А„, и то р(А) = )пп д(А„), а если А~ с с А„с ... — возрастающая цепочка измеримых множеств и .4 = ( ) .4о, и то д(А) = йпп д(А„). Доказательство, проведенное в ~ 1 для плоской меры (теорема 9), дословно переносится на общий случай.
Итак, мы установили, что система 9Л представляет собой о-алгебру, а определенная на ней функция д(А) обладает всеми свойствами о-аддитивнай меры. Тем самым оправдано следующее определение. Определение 3. Лебеговмм продолжением р = В(гп) меры гп называется функция д(А), определенная на системе измеримых множеств 9Л н совпадающая на 9Л с внешней мерой р'(А). 2. Продолжение меры, за,данной на полукольце без единицы. Если полукольцо Ь„„на котором определена исходная мера гп, не имеет единицы, то построение лебегова продолжения, изложенное в предыдущем пункте, претерпевает некоторые, впрочем, незначительные, изменения.
Определение 1 внешней меры сохраняется, но внешняя мера д оказывается определенной только на системе В„* таких множеств А, для каждого из которых существует покрытие ()В„множествами из (9 с конечной суммой 2,т(В„). о Определение измеримости сохраняется без всяких изменений. Теоремы 2-4 и заключительное определение 3 сохраняют силу. Предположение о существовании единицы использовалось лишь в доказательстве теоремы 2.
Чтобы дать доказательство теоремы 2 в общем случае, надо установить независимо, что из А1 Е 9Л, Аз 6 9Л вытекает А1 0 Аз Е 9Л. Но это следует нз включения (А1 0 Аз) Ь (В1 0 Вз) с (А1 Ь В1) О (Аз Ь Вз). В случае, когда 6 не имеет единицы, теорема 5 заменяется следующей теоремой. гели и. Мера, иэмерилгые функции, инагеграл '7 е о р е м а Б. При любой исходной мере ш система множеств 9Л, измеримых по Лебегу, являетгя б-кельном; нзмернмость множества А = О А„при измеримых А„имеет место в том н только а=г г гч том случае, если меры р~ () А„) ограничены некоторой константой, не зависящей от гт. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.
Замечание. Поскольку сейчас речь идет о мерах, принимаюпгих лишь конечные значения, необходимостыюследнего условия очевидна. Из теоремы Б вытекает следующий факт. Следствие. Система 9Лл всех множеств В Б 9Л, являюп1ихся подмножествами фиксированного множеглва А б 9Л, образует ег-елгебру. Например, система всех измеримых по Лебегу (в смысле обычной лебеговой меры на прямой) подмножеств любого отрезка [а„Ь] есть о-алгебра множеств. В заключение отметим еще одно свойство лебеговых мер.
Определение 4. Мера р называется полной, если из р(А) = О и А' с А вытекает, что А' измеримо. Очевидно, что при этом р(А') = О. Вез труда доказывается, что лебееоео продолжение любой меры полно. Это вытекает из того, что при А' С А и р(А) = О неизбежно р*(А') = О, а любое множество С, для которого р'(С) = О, измеримо, так как кг Е 91(сэ„,) и Всякую о-алдитивную меру на о-алгебре можно продолжить до полной, положив ее равной нулю для любого подмножества каждого множества нулевой меры.
Дополнительные замечания. 1. Предположение о том, что исходная мера пг задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств) существенно лля однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т.е. таких прямоугольников, у которых или длина влп ширина равна 1 (рис. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, равную его площади. На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем более а-алгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (укажвте хотя бы два различных продолжения). 1 3.
Нвбеговв врвдвггвяыиг меры 2. Укажем на связь между процессом продолжения меры по Лебегу и процессом пополнения метрического пространства. Заметим для этого, что вг'(А Ь В) можно принять за расстояние между элементами А и В кольца 91(Яв,). Тогда з1(б~) становится метрическим (вообще говоря, неполным) пространством и его пополнение состоит как рвз из всех измеримых множеств (при этом, однако, с метрической точки зрения множества А и В неразличимы, если д(А Ь В) = О). Рис.
18 Р (г) = и'(г П А)+р (21 А) 2. Пусть о-авдитивная мера т задана на кольце Я с единицей Х н нг(Х) = 1. Введем для каждого А С Х наряду с вневп|ей мерой р внутреннюю меру р„положив р. (А) = 1 — 1г*(Х '1 А). Легко видеть, что всегда р,(А) ( и" (А). Доказать, что рг.(А) = р'(А) в том и только том случае, если множество А измеримо (в смысле определения 2). В случае, когда мера задана на кольце с единицей, равенство (*) часто принимается за определение измеримости множества.
3. Расширение понятия измеримости в случае гг-конечной меры. Если исходная мера гп задана в пространстве Х на некотором полукольце без единицы, то введенное выше определение измеримости множества оказывается слишком узким. Например, если Х вЂ” это плоскость, то такие множества, как вся плоскость, полоса, ннешность круга и т. п., имеющие бесконечную площадь, при таком определении не попадают в число измеримых. Естественно расширить понятие измеримости, допуская для меры и бесконечные значения, с тем, чтобы совокупность измеримых множеств была, как и в случае, когда исходная мера задана на полукольце с единицей, о-алгеброй (а нс только Б-кольцом).
Упражнения. 1. Пусть мера пг задана на полукольце (с единицей) 15, множеств из Х и и — отвечающая ей верхняя мера. Доказать, что множество А измеримо (по Лебегу) в том и только том случае, ещги оно обладает следующим свойством, называемым измеримостиью пв Каращввдори: для любого подмножества Х С Х имеет место Рюгенство Ль К. Мери, чзмеримыв функции, инпмграл Мы ограничимся при атом практически наиболее важным случаем так называемой и-конечной меры, хотя соответствующее построение можно провести и в общем случае. Пусть и-адцитивнал мера ьч задана на некотором полукольце Я подмножеств множества Х. Мы скажем, что зта мера п-конечна, если все Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств из 15,„(но не как сумма конечного числа множеств из 6 ).
Примером и-конечной меры может служить площадь, определенная на всех прямоугольниках на плоскости. Простой пример не и-конечной меры можно получить следующим образом. Пусть на отрезке [0,1] задана некоторая функция Дх). Для камсцого конечного подмножества А = (кы.,.,х„) отрезка положим д(А) = ~,Г(х;). Коли множество точек х, в которых Г(х) ф О, несчетно, то такая мера на [О, Ц не будет п-конечной. Итак, пусть гп есть п-влдитивная и п-конечная мера в Х, определенная на полукольце ю,ь. Пусть Х = О В;, В, Е сьь. 11ерейдя а=1 от полукольца Я к порожденному им кольцу 91(Я„,) и заменяя у-1 Вь на Вь ~ [) В,, можно считать, что Х представлено как сумма а=1 счетного числа попарно непересекающихся измеримых множеств, которые мы по-прежнему обозначим Вы Вз,...
Применив к т описанную в предыдущем пункте процедуру лебегова продолжения, мы получим меру р, определенную на Б-кольце 9Л. Пусть В 6 9Л и 9Лв — - система всех множеств из Щ содержащихся в В: 911н = (С: С 6 9ГГ, В с С). Тогда Жл есть а-алгебра с единицей В (см. следствие из теоремь| 6). Рассмотрим теперь совокупность Я множеств А, имеющих измеримое пересечение с каждым В,: АПВ; 69#в,. Иначе говоря, А Е 91 означает, что А представимо в виде А= () А,, где А;69Лв,. Система й представляет собой и-алгебру (проверьте!), которую мы назовем прямой суммой и-алгебр он, Множества (4), составляющие и-алгебру й, мы назовем измеримыми и определим меру р каждого такого А следующим образом: если А = ( ) Ап А е 9Яв, =1 295 1 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
