А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Лекееооо нродоояеение мери то р(А) = ~ р(А;). е=1 Поскольку мера всякого множества неотрицательна, стоящий здесь справа ряд сходится к некоторому неотрицательному значению или к +са. Теорема 7. В сделанных выше предположениях справедливы следующие утверждения: 1) о-алгебра й н мера р не зависят от выбора системы непересекающихся множеств В; нз 9Л, удовлетворяющих условию () В; =Х; 2) мера р о-вдднтнвна на й; 3) совокупность мгюжеств А Е й, для которых р(А) < оо, совпадает с б-кольцом 9И н на этом б-кольце р = р, Доказательства. 1) Заметим прежде всего, что А б й в том и только том случае, если А й С Е 9Л для любого С б 9И.
Достаточность этого условия ясна, поскольку оно означает, в частности, что А й В; Е 9Л (1 = 1, 2,... ); проверим его необходимость. Пусть А ч й и С б 9Л. Положим С; = С й В;; тогда А й С = Ц (А й С2). Так как при всяком Ф р(Ц (Ай С)) < р(() С) ( р(С), то в силу теоремы 6 множество А й С измеримо, Пусть (В9) и (В" ) — две системы непересекающихся множеств из 9Л, такие, что 0В, = ОВг = Х. Если А Е й, то, поскольку мера р каждого множества нз 9И неотрицательна, выполнены равенства р(АйВ,) = ~ ~р(АйВ;йВ".) = ~ ~р(АйВ;), т.е. определяя р(А) по системе (В,) илн (В'), мы получим один и тот же результат.
2) Пусть А~ц, Е й, А(ь> й А<Н = о, 1' ф 1, и А = () А1ь~. Тогда в силу а-аддитнвности меры р па 9Л: р(А) = Ср(АйВ,) = ~ ~р(А~"1йВ,) = 298 1гс 'т'. Мера, измарцмма фуцхпцц, ицтпаграл 1=1 г=1 1=1 т.е, д гт-аддитивна. Наконец, 3) непосредственно следует из теоремы б. Замечание. Описанное выше расширение понятия измеримости (с допущением для меры бесконечных значений) возможно н без предположения а-конечности исходной меры, например, по следующей схеме. Пусть Х вЂ” - некоторое пространство и 9Л вЂ” какое-то 6-кольцо его подмножеств.
Множество А С Х называется измеримым атпиаситпсльна 9Л, если А О В б 9Л для любого В Е 9Л. Нетрудно проверить, что система Й измеримых относительно 9Л множеств есть а-алгебра с единицей Х, причем, если само 9Л есть а-влгебра с той же единицей Х, то Й = 9Л. Пусть теперь в Х задана некоторая а-аддитивнвя мера д, которую мы в силу и.
2 можем считать уже продолженной на некоторое 6-кольцо 9Л и пусть Й вЂ” совокупность измеримых относительно 9Л множеств из Х. Множество А е Й называется нуль-мналссстпеам, если д(А г1 В) = О ллн любого В б 9Л. Теперь на Й определяется мера д (принимающая, вообще говоря, и бесконечные значения) следующим образом: если для данного А б Й суптествует такое В е 9Л, что А Ь В есть нуль-множество, то полагаем д(А) = д(В). Для всех остальных А б Й полагаем д(А) = оо. Нетрудно проверить, что мера д а-авдитивна и на 6-кольце 9Л с Й сов- падает с р. 4.
Продолжение меры по Жердину. Рассматривая в з 2 этой главы меры, удовлетворяющие лишь условию аддитивности, мы показали, что каждая такая мера тп может быть продолжена с полукольца сг па минимальное кольцо Я(15,„), порожденное этим полукольцом. Однако возможно и распространение меры на некоторое кольцо, более обширное, чем Я(~5 ). Соответствующее построение называется прадаллсепием меры па Жардану '). Идея этого построения, применявшегося в ряде частных случаев еще математиками Древней Греции, состоит и приближении аизмеряемогов множества А множествами А' и А", хоторым мера уже приписана, изнутри н снаружи, т.е.
так, что А' с А с А". Пусть пг — мера, заданная на некотором кольце Я. Определение 5. Будем называть множество А измеримым па Жардаиу, если при любом е > 0 в кольце Я имеются множества А' и А", удовлетворяющие условиям А' с А сА", тп(Аа'1А') <к. ') Камилл Жордан, французский математик (1838-1922). 'З 3. Лобегооо продолж.онио мсрм Справедливо следующее утверждение. Теорем а 8. Система Я' измеримых по Х~ордану множестн язляегся ко тоном, Пусть м' — система таких множеств А, для которых существует множество В З А из Я. Для любого А и Я положим, по определению, д(А) — — ш( т(В), вэх В(А) = зпр т(В).
нсА Функция д(А) и д(А) называются соответственно ивнешнейь и «внути ренней» жордановой мерой множества А. Очевидно, что всегда д(А) ( В(А). Теорема 9. Кол»по Я' совпацает с системов тех множеств А б Й, для которых д(А) = 11(А). Для множеств из Й имеют место следующие теоремы. Теорема 10. Если А С О Аь, то д(А) < ~~~ д(Аь).
/=1 Теорема 11. Если Аь С А (к = 1,...,и) и А;г1 А = И, то п В(А) ) ~ д(А). о=1 Определим теперь Функцию д на области 15о = Я' как общее значение внешней н внутренней меры: д(А) = п(А) = р(А). Из теорем 10 и 11 и из того очевидного обстоятельства, что для А б Я д(А) = В(А) = т(А) вытекает следующее утверждение. рл. Ч.
Мера, иг.неримне функции, интеграл Теорема 12. Футткция р(А) является мерой и иродаэтженнем мерит тп. Изложенное построение применима к любой мере тл, определенной на кольце. В частности, его можно применить к множествам на плоскости. При этом за исходное кольцо принимается совокупность элементарных множеств (т. е. конечных сумм прнмоугольников). Кольцо элементарных множеств зависит, очевидно, от выбора системы координат на плоскости (берутся прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат). При переходе к плоской мере Жордюта эта зависимость от выбора системы координат исчезает: отправляясь от любой системы координат (хт,хг), связанной с первоначальной системой (хмхг) ортогональным преобразованием хт = сова хт+ в)па хе+от, йг = — в)па хт + сова хг+аз, мы получим одну и ту же меру Жордана.
Этот факт вытекает из ютеду- ющей общей теоремы. Теорема 13, тт(ля того чтобы жордановы продолжения рт = ф(птт) н рг = ф(пгг) мер пгт и ттгг, определенных на кольцах Ят и Яг совпвдаав, необходимо я достаточно выполнения условий: Ят С е3кг, тпт(А) = рг(А) на Ят, Яг С Ькт, тпг(А) = рт(А) на Яг. Если ясходная мера пг определена ие на кольце, а на полукольце Я то ее жордановым продолжением естественно назвать меру т'(тп) = т'(г(т)), получающуюся в результате продолженкя тп на кольцо Я(гз ) и даль- нейшего продолжения по Жордану. б. Однозначность продолжении меры. Если множество А нзмервмо по Жордану относительно меры р, т.е. принадлежит Я = Я'(ю ), та для любой меры р, продолжающей тн н определенной на Я, значение 1Т(А) совпадает со значением Х(А) жорданава продолжения э' = т(тп).
Можно показать, что продолжение меры тп за пределы системы Я' множеств, измеримых по Жордану, не будет однозначно. Более точно эта значит следующее. Назовем множество А м но же ст вом одн озн ач н остии для меры т, если: 1) супгествует мера, являющаяся продолжением меры пт, определенная для множества А; 2) для любых двух такага рода мер рт н рг рт(А) = рг(А). Имеет места теорема: систлема мноэюестае одноэначноспти для мери тп соепедаетп с систпемой миоэкесте, измеримых по Жердану отпнаситпелъно мерь пт, тп. е.
е кольцом Я'. 1 3. Лвбгеово продолжение мсрм Однако если рассматривать только о-аддитивные меры и их продолжения (а-аддитивные), то сиге ема множеств однозначности будет, вообще говоря, обширнее. Так как именно случай а-адднтивных мер наиболее важен, то введем сведующее определение.
Определение б. Множестно А называется множес>пном и-однозначное>пи для а-аддитивной меры т, если: 1) существует и-алдитивное продолжение Л меры т, определенное дпя А (т. е. такое, что А б сз>); 2) для всяких двух таких и-аддитивнь>х продолжений Л> и Лз справедливо равенство Л>(А) = Л>(А). Если А есть множество и-однозначности для и-аддитивной меры д, то в силу нашего определения существует единственно возможное значение Л(А) для любого а-адаптивного продолжения меры д, определенного на А. Легко видеть, что каждое множество А, нзмеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу (но ае наоборот! прииедите пример), причем его жорданова и лебегова меры одинаковы.
Отсюда непосредственно вытекает, что жорданово продолжение и-апдитивной меры а-апдитивно. Каждое множество А, измеримое па Дебегу, является множеством и-однозначности для исходной меры пь Действительно, при любом с ) 0 для А существует такое В б Я, что д'(А 6 В) < с, каково бы н~ было определенное для А продолжение Л л>еры нт, Л(В) = т'(В), так как продолжение и>' меры и> на Я = Я(Ь ) однозначно Далее, Л(А >Л В) < д*(А >Л В) < с и, следовательно, (Л(А) — >и'(В)! < с. Таким образом, для любых двух а-апдитивных продолжений Л> и Лт меры т имеем ~Л>(А) — Л>(А)( < 2с, откуда в силу произвольности с ) О Л>(А) = Л>(А).
Можно показать, что система множеств, измеримых по Дебету, исчерпываег всю систему множеств и-однозначности для исходной меры гп. Пусть т — некоторая и-а»дитивная мера с областью опреде тенин 15 и 9)1 = Ь((5) — область определения ее лабе>ова продолжения. Легко убедиться в том, что каково бы ни было полукольцо (5 >, удовлетворяющее Пь. у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
