А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Компактные авера~лори Элемент й мы и примем за дь Ясно, что (Ц! в точности равняется 1. (Действительно, пусть йгу(( ( 1; положим гй = ц/)(ц)(; тогда ~~О~ й = 1 и ~(Айый~)) > о, что противоречит определепюо 5.) При этом АЮ = ЛИы откуда ~Ч = ~("" "" = ИА, И = Н. (Ф3 Ю1) Пусть теперь собственные векторы У~ . Фп~ отвечающие собственным значениям Л„..., Л„, уже построены. Пусть М(у~,, р„) -- подпространство, натянутое на уы..., ~р„.
Рассмотрим функционал !(Ас, ()/ па совокупности элементов, принадлежащих М„г = НВ М(~ы..., р„) (т. е. ортогонэльных уы..., у„) и удовлетворяющих условию (Я <1. Множество М~~ есть подпространство, инвариантное относительно А (так как подпространство М(уы..., у„) инвариантно и А само- сопряжен). Применяя к М„.~ проведенные выше рассуждения, получим, что в М„' найдется вектор (обозначим его у„~.~), собственный для оператора А. Возможны два случая: 1) после конечного числа шагов мы получим подпространство М~-,, в котором (А4,с) = О; 2) (Ас,с) ~ О на М„'- при всех п. В первом случае из леммы 3 вытекает, что М~~- переводится оператором А в нуль (положите и = Асе), т.е.
целиком состоит из собственных векторов, отвечающих Л = О. Система построенных векторов (у„) состоит из конечного числа элементов. Во втором случае получаем последовательность (~о„) собственных векторов, для каждого из которых Л„~ О. Покажем, что Л„-+ О. Последовательность (у„) (как и всякая ортогональная нормированная последовательность) слабо сходится к нулю, поэтому элементы Ау„= Л„уь должны сходиться к нулю по норме, откуда (Л„! = ((А~р„)! -> О. Пусть Ма = НЕМУ,....., г„,...) =()М„ФО. ь 266 Ра.
НС Линеение функционала и ааерааеари Еслибы й М~ и б ~ О, то (Аб,б) < Л„'8Ц2 лля всех и, т.е. (Аб,б) = О. Отсюда в силу леммы 3 (при идах ((Аб, с)! = О), примененной к М~, получаем Ас = О, т. е. надпространство Мх переводится оператором А в нуль. Из построения системы (др„) ясно, что всякий вектор можно представить в виде с = ~ ~сара+б, где Ас' =О, откуда вытекает, что А~ = ~ Л,сьр,. Теорема доказана. Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений, о которых будет идти речь в гл. 1Х. Замечание. Доказанная теорема означает, что для всякого компактного самосопряженного оператора А в Н существует ортогональный базис пространства Н, состоящий из собственных векторов етого оператора. Действительно, для получения такого базиса достаточно дополнить построенную в доказательстве теоремы систему собственных векторов [азн) произвольным ортогональным базисом надпространства М~, переводимого оператором А в нуль.
Иными словами, здесь получается результат, вполне аналогичный теореме о приведении матрицы конечномерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе. Для несамосопряженных операторов в и-мерном пространстве такое приведение, вообще говоря, невозможно, однако верна следующая теорема: всякое линейное преобразование в и-мерном проспдранстиве имеепд хонид бм один собспдвенный векглор.
Нетрудно убедиться, что вто утверждение не переносится на компактные операторы в Н. Действительно, пусть оператор А задан в 12 формулой Ах = А(хд,...,х„,...) = (О,хд,"— ',..., х" „...). (К) Этот оператор компактен (проверьтьз), но не имеет ни одного соб- ственного вектора (доквжите это). Упражнение. Найдите спектр оператора (8). ГЛАВА У МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ Понятие меры д(А) множества А является естественным обобщением понятий: 1) длины 1(А) отрезка А, 2) площади 5(Р) плоской фигуры Р, 3) объема Ь'(О) пространственной фигуры С, 4) приращения у(6) — ~р(а) неубывающей функции ~р(1) на полуиптервале ~а, Ь), 5) нятеграла от неотрицательной функции, взятого по некоторой линейной, плоской илн пространственной области, и т, и.
Это понятие возникло в теории функций действительного переменного, а оттуда перешло в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и многие другие области математики. В з 1 этой главы мы изложим теорию меры для множеств на плоскости, отправляясь от понятия площади прямоугольника. Общая теория меры будет изложена в Я 2 и 3. «1итатель легко заметит, что все рассуждения, проведенные в з 1, имеют общий характер и в абстрактной теории повторяются без существенных изменений.
З 1. Мера плоских множеств 1. Мера элементарных множеств. Рассмотрим систему Н множеств на плоскости (х,у), каждое нз которых определяется од- ним из неравенств вида а(х<Ь, а<х<6, а<х<Ь, а<х<6 и одним из неравенств внда с<у<г1, с<у<И, с<у<г), с(у<И, где а, Ь, с и д — произвольные числа. Множества, принадлежащие этой системе, мы будем называть прямоугольниками.
Замкнутый прямоугольник, определяемый неравенствами а<х<Ь, с<у<И, представляет собой прямоугольник в обычном смысле 1вместе с границей), если а < г1 и с ( И, отрезок 1если а = Ь и с < д или а < Ь 268 !л. !г, Мгрц игмгримнг фрннг!игг, интгграг и с = г!), точку (при а = Ь, с = гг) и, наконец, пустое множество (если а > Ь илн г, > г!). Открытый прямоугольник а<х<Ь, г!<у<!1 будет в зависимости от соотношений между а, Ь, с и г1 прямоугольником без границы или пустым множеством.
Каждый из прямоугольникон остальных типов (назовем их полуоткрытыми) пргщставляет собой настоящий прямоугольник без одной, двух илн трех сторон, интервал, полуинтерввл, либо, наконец, пустое хшожество. Класс всех прямоугольников на плоскости обозначим ю. Для каждого из прямоугольников определим его меру в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием площади. Именно: а) мера пустого множества равна 0; б) мера непустого прямоугольника (замкнутого, открытого или гюлуоткрытого), определяемого числами а, Ь, с н гг, равна (Ь вЂ” а) (д — с).
Таким образом, каждому прямоугольнику Р из (5 поставлено в соответствие число т(Р) — его мера; при этом выполнены следующие условия: 1) мера тп(Р) принимает действительные неотрицательные значения; и 2) мера т(Р) адднтнена, т.е. если Р = () Р! и Р; ! ! Р! = !г! при ь=! г ф й, то тп(Р) = ~~г т(Р!).
ь=! Наша задача — распространить, с сохранением свойств 1) и 2), меру гп(Р), определенную пока для прямоугольников, на более широкий класс множеств. Сначала мы распространим меру на так называемые элементарные множества. Назовем плоское множество элементарнммн, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.
Для дальнейшего нам понадобится следующая теорема. Теорема 1. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств также являются элементарнымн множествами. Таким образом, по терминологии, введенной в З 5 гл. 1, элементарные множества образуют кольцо. Мера плоских мнолгзстио 269 Доказательство. Ясно, что пересечение двух прямоугольников есть снова прямоугольник. Поэтому, если А = 0 Ргп В = ( ) О.~ Ф 3' — два элементарных множества, то и пх пересечение А й В = 0 (Рь й ~чз ) ь з' —.
элементарное мномгество. Разность двух прямоугольников есть, как легко проверить, элементарное множество. Следовательно, вычитая из прямоугольников яекоторое элементарное множество, мы снова получим элементарное множество (как пересечение элементарных). Пусть теперь множества А и В -- элементарные. Найдется, очевидно, прямоугольник Р, содержащий каждое из них. Тогда множество А С В = Р~((Р ~ А) й (Р~ В)) в силу сказанного выше будет элементарным. Отек>да и из равенств А ~ В = А й (Р ~ В), А а В =- (А О В) ~(Ай В) следует, что разность и симметрическая разность элементарных множеств являются элелюнтарными множествами. Теорема доказана.
Определим теперь меру т'(А) для элементарных множеств сле- ющим об азом: если А=О, где Рь — — попарно непересекающиеся прямоугольники, то т'(А) = ~ ~т(Рь). Покажелб что т'(А) ие зависит от способа разложения,4 в сумму конечного числа прямоугольников. Пусть А =() ' =(.)а;, ь где Рь и (т', — прямоугольники, и Р, й Рь = И, Яз й г~ь = И при 1' ф й. Так как пересечение Рь й Ч, двух прямоугольников есть пря- моугольник, то, в силу аддитивности меры для прямоугольников, т(Рь) = ) т(Рь й Яз) = ~~~ тЯ~). г,з з В частности, для прямоугольников мера т' совпадает с исходной мерой т. Легко видеть, что определенная таким образом мора элементар- ных множеств неотрицательна и аддитивна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
