А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Поз гому сущс ствует такой элемент д 6 Е,", что (у,х) = (д, Лх), т.е. Г' = .1'д. Тем самым включение (16), а зна сит, и равенство (14) доказаны. 6. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы. Рассмотрим случай, когда А-- ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н (действительном или комплекснохс), Согласно теореме об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве Ес:ли ! 6 1ш А', то супгествует такой элемент д 6 Е;,что ! = А"д, и для всех х 6 КегА имеем: (1, х) = (А'д, х) = (д, Лх) = О, т.
е. !" 6 (Кег А) 1 а Линоанно он<ров<ори отображение т, сопоставляющсе квжцолгг у Е Н линейный функ- ционал (ту)(х) =- (ха у), есть изол<ор<)аизм (или сопряженный изоморфизм, если Н комплексно) пространства Н на все сопряженное пространство Н . Пусть А" — - оператор, сопряженный оператору А. Ясно, что отображение А' = т '.4'т п1<едставляет собой ограниченный линейный оцсратор, действующий в Н; легко видеть, что лля л<обых ха у б Н (Ах, у) = (х, А*у). Так как ~~А*() = 'йАй, а отображения г и т ' изометрцчны, то ЙА'!! =-!!А~~, Все сказанное справедливо, равулюетсяа и лля конечномерног о евклицова пространства, действительного или комплексного.
Примем следукяцее соглашешсл Если Л вЂ” евклидово пространство (конечной или бесконечной размерности)а то оператором, сопряэ<сеа<ным к лей<'гвующему в Л оператору А, мы назовем опр< деленный выше оператор А, действу<онлий в том же пространг.тве Л. Следуют подчеркнутлн что это определение отличается от определенна сопряженного оператора в произвольном банаховом пространстве Е, согласно которому сопряженный оператор А' действует в сопряженном пространстве Е*.
Иногда оператор .4*, в отличие от А'а называют эрмив<ово-сотаряхсепнмм. Птобы не усложнять терминологии и обозначений, л<ы будем писать А" вместо А' и говорить о сопрюкенном операторе, помня, однако, что в евклидовом случае сопряженный оцера<ор всегда понимается в смысле, указанном в этом пункте. Ясно. что в свклидовом пространстве Л оператор, сопряженный к А, можно определить как так<лй оператор, который при в< сх х,у Е Л удовлетворяет равенству (.4х,у) = (х,А*у). Поскольку операторы А и А* действувтг топерь в одн<ал< и том же пространстве, возможно равенство А =- А*. Выделим важный класс операторов в свклидовом (в частности, гильбсртовом) пространстве.
Опрея< ление 4. Ограниченный линейный оператор А, действующий в евклидовол< н1юстранстве Л, называез ся со л<осопря.мсснным, если А = А, т. е. если (Ах,у) = (х, Ау) цля вс<х х, у е Л. !И. !<<. 1!ннеанне функцноногн о овере<оорн Отметим следующее важное свойство оператора А', сопряженного к оператору А. Подпространство й< евклидова пространства Н называется инвариантным относительно оператора А, если из хЕ1<! вытекает Ах Е Л!.
Ьсли надпространство В! инвариантно относительно А, <по его о!элогональное дополнение Л~~ инвариантно о<пносительно А'. Действительно, если у Е й,"., то для всех х 6 й< имеем (х, А'р) = (Ах, р) = О, поскольку Ах е Пь В частности, если А — самосопряженный оператор, то ортогональное дополнение к любому его инвариантному поцпространству само инвариантно относительно А.
У и р аж н е в и е. Докажите, что если А и  — ограниченные линейные операторы в евклидовом пространстве, то справедгпшы равенства: (оА + ВВ)' = оА' + !1В, (АВ)* = В А", (А')' = А< 1* = 1 (1 — единичный оператор). 7. Спектр оператора. Резольвента '). Вряд ли мегино указать более важное понятие в теории операторов,чем понятие спектра. Напомним прежде это понятие для конечномерного случая.
Пусть А — линейный оператор в п-мерном пространстве С". Число Л называется собственным значением оператора А, если уравнение имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения Л— регулярными. Иначе говоря, Л есть регулярная точка, если оператор А — Л1 обратим. При этом (А — Л1) ' определен на всем С" и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространство существуют две возможности: 1) уравнение Ах = Лх имеет ненулевое решение, т. е, Л есть собственное значение для А; оператор (А — Л1) ' прн чтом не существует, 2) существует ограниченный оператор (А — Л1) << определенный на всем пространстве, т.
е, Л есть регулярная точка. ') Всюду, где речь идет о спектре оператора, мы счктеел<, что оператор дейстеует е к о и и л е к с к о м пространстве. 25! 5 5. Линеанме ааереееаеъс Но если А -- оператор, заданный в бесконечномерном пространство Е, то имеется еще и третья возможность, а именно: 3) оператор (А — Л1) ' существует, т.е. уравнение Ах = Лк имеет лишь нулевое решение, но этот оператор определен не на всем Е (и, возможно, неограничен).
Ввецеьс следусопсую терминологию. Число Л мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) банаховом пространстве Е, осли оператор Ех = (А - ЛТ)-с, называемый резольаентой оператора А, определен на всем Е и, следовательно (теорема 3), ограничен, Совокупность всех остальных значений Л называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все гобственные значении оператора А, так как если (.4 — Л1)се = 0 при некотором х ф О, то (А — ЛТ) ' не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е.
совокупность тех Л, для которых (А-Л1) ' существует, но определен не на всем Е, называется нспрерсевнмм спектром. Итак, каждое значение является цля оператора А или регулярным или собственным значением, нли точкой непрерывного спектра. Возможносгь наличия у оператора нопрерывного спектра -" существенное отличие теории опера.- торов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая. Пусть А —. ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е.
Если точка Л регулярна, т.е. оператор (А — ЛТ) определен на всем Е н ограничен, то при нос гаточно малом б оператор (А — (Л + 6)1) ' тоже определен нв всем Е и ограничен (теорема 4), т.е. точка Л + д тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое лсножеспсво. Следовательно, спектр, т. е. дополнение этого множества, — — замкнутое множество. Теорема 7. Если А -- ограниченный линейный оператор в ба!!аховом пространстве Е и (Л( ) !!А!), го Л вЂ” регулярная точка. Доказательство. Так как, очевидно, А — Л~ = -Л(~ — -Л'.4), то Ел = (А — ЛТ) ' = — — ~У вЂ” — ~ При !!А!! с (Л( этот ряд сходится и задает определенный на всем Е ограниченный оператор (теорема 5). Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса !(А!! с венгром в нуле.
рл. П'. /Уинеанме функционала и гтераторь 1!римеры. 1. В пространстве С]а, Ь] рассмотрим оператор А, опрсщсляемый формулой (17) '1'орда (А — Л?)х(1) = (1 — Л)х(1). Оператор (17) обратим при любом Л, так как из равенства (à — Л)х(1) = О следует, что непрерывная функция х(с) тождественно равна нулин Однако при Л е ]и, Ь] сзбратный оператор, задаваемый формулой (А — ЛХ) х(?) = 1 х(1) определен не па всем С]сц Ь] и неограничен.
(Докажите зто!) Твкслм образом, спектр опсратора (17) предстанляет собой отрезок ]и, Ь], причем собственные значения отсутствуют, т. с, имеется лишь непрерывный спектр. 2. Рассмотрим в пространстве 1з оператор А, определяемый следующим образом: (18) А: (Х1, Хе,...) — + (О,хм ха,...). Этот оператор не имеет собственных значений. (Докажите это1) Оператор А ' ограничен, но определен в 1з лишь на подпространстне х1 — — О, т. е. Л = О есть точка спектра оператора. У п р а ж н е н и я.
Содержит лн спектр оператора (18) какие-либо точки, кроме Л = О? Замечания. (1) Всякий ограниченный линейный операзюр, определенный в комплексном банаховом прострюютве, имеющем хотя бы адин отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр сос:тонз из единственной точки (например, оператор умножения на число). (2) Теорема 7 может быть уточнена следующим образом. Пусть г = 1?ш ЯА" ]] (можно доказать, что этот предел существует для любого ограсснченногю оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит в круге радиу. еа г с центпрам в нуле.
Величина г называется спектральным радиусам оператора А. (3) Резольвентные операторы Вн и ??х, отвечающие точкам р и Л, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению 1 ь» Комваешьме евериторм которое легко проверить, умножив оба части зтоге равенства на (А — Л1)(А — ду). Отсюда вытекает, что если Ле — - регулярная точка для А, то производная от йл по Л прн Л = Ло, т. е. предел геле-> ел — Лле Йш вл-.о ЛЛ (в смысле сходнмосги по операторной норме) существует, и равна Л» . У и раж н е н н с. Пусть А —. ограниченный самосопряженвый оператор в комплексном гильбертовом пространстве Н.
Докажите, что его спектр есть замкнутое ограниченное подмножество действительной осн. 9 б. Компактные операторы 1. Определение и примеры компактных операторов. В отличие от линейных операторов в конечномерных пространствах„зля которых имеется исчерпывающее описание, изучение произвольных линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой несыта сложную н, по существу, нсобозримукл задачу. Однако некоторые важные классы таких операторов могут быть описаны полностью. Среди них один из важнейших образуют так называемые компактные операторы. Эти операторы, с одной стороны, близки по своим свойствам к конечнолеериыле (т.е.
ограниченным операторам, переводящим данное пространство в конечно- мерное) и допускают достаточно деталыюе описание, а, с другой, играют важную роль в различных приложениях. в первую очередь н теории интегральных уравнений, которым будет посвящена гл. 1Х. О и р еде л е н и е 1. Оператор А, отображающий банахово пространство Е в себя (или другое банахово пространство Е~), называелся компакплным, или вполне. иепрерыеньем, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. В конечномерноле нормированном пространстве всякий линейный оператор компакте~, поскольку он переподит любое ограниченное множество в ограниченное, а в консчномерном пространстве всякое ограниченное множество компактно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
