А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 47
Текст из файла (страница 47)
) 11од пракззодвл й нулевого порядка люннмкется, как обычно. сама функпкя. 4. Сзйобиьинниьи функции 3. Обобщенные функщзи. Определение 1. Обобщенной функцией (заданной на прямой — оо ~ х < сю) называется непрерывный функционал Т(р) на основном пространство К. При этом непрерывность функциона.ча понимается в том смысле, что Т(р„) ь Т(р), если погледоватгчьность ссии сходится к ссь в основном пространстве К. Заметим, прежде вс:еьо, что всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция 2(т) порождает некоторую обобщенную функцию. Дсйствиьельно, выражение Т~(сг) =- / 2(к)уи(х) Йх (2) есть непрерывный линейный функционал на К.
Такие обобщенные функции мы н дальнейшем будом называть регулярны.ми, а все остальные, т. е. не представимые в виде (2), — сингуляриьими. Прььведем некоторью примеры сингулярных обобщенных функций. 1. «б-фуьькцияьм Т(г) = р(О). Это — непрерывный линейный функционал на К, .т.е. по введенной выше терминологии, обобщенная функция, Этот функционал обычно записывают в виде ) д(к)Сг(т)с(х, Р) понимая под б(х) «функцьььо», равную нулю при всех т ~ 0 и обращающуюся в точке х = О в бесконечность так, что 1 б( )с) Мы рассматривали уже б-функцьькь в з 1 как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Однако рассмотрение б-фуьькщььь как функционала на К имеет определенные преимупьестваь например, позволяет ввести для нее понятие производной. 2.
«Смещенная б-функцьья». Пусть Т(р) = иь(а). Этот функционал естественно записать по аналогии с обозначением (3) в виде / й(х — а)сьь(и)с(х. (4) 8 — Ь 324 ггг рл, П'. льиааьме фрьацианалы и азер«тари 3. «Производная б-функции». Каждой 1р Е К ставится в соответствие число — у'(0). Несколько ниже мы выясним, почему этот функционал естественно считать производной функционала, указанного в первом примере.
4. Рассмотрим функцию 1/х. Она не интегрируема ни на каком интервале, содержащем точку нуль. Однако для каждой ~р б К интеграл Ю(х) 1 4х существует и конечен в смысле главного значения по Коши. Действительно, / р(х)-,14х = /',о(х)-х'4х = / . *, ах+ /" —, й. — аа — я -Я -Л Здесь ( — В, Л) — интервал, вне которого у обрагцается в нуль. Первый из стоящих справа интегралов существуег в обычном смысле (под знаком интеграла стоит непрерывная функция), а второй интеграл равен нулю в смысле главного значения. Таким образом, 1/х определяет некоторый функционал на К, т.е. обобщенную функцию. Можно доказать, что ни одна из обобщенных функций, приведенных в примерах 1-4, не является регулярной (т. е.
пе представляется в виде (2) ни с какой локально интегрируемой функцией У). 4. Действия над обобгценными функпнямн. Для обобищнных функций, т.е. непрерывных линейных функционалов на К, определены операции сложения и умножения на числа. При этом, очевидно, для регулярных обобщенных функций (т.е. «обычных» функций на прямой) сложение их как обобщенных функций (т.е. линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций, То же самое относится и к умножению на числа. Введем в пространстве обобщенных функций операцию п1юдельного перехода. Мы скажем, что п~хшедовательность обобщенных функций (Уа) сходится к У, если для каждого за 6 К выполнено соотношение (У,з) -> (У,ю).
Иначе говоря, сходимость последовательности обобщенных функций мы определяем как ее сходимость на каждом элементе из К. Пространство обобщенных функций с этой сходимостью будем обозначать К*. Если о — — бесконечно дифференцируемая функция, то естественно определить произведение о на обобщенную функцию У формулой (оУ, р) =- (У, р) 22З 1 4. Обобщенные функции (выражение, стоящее здесь справа, имеет смысч, так как ар й К). Все эти операции — сложение, умножение на числа и на бесконечно дифференцируемые функции, — непрерывны. Произведение двух обобщенных функций мы не вводим.
Можно показать, что определить такое произведение невозможно, если потребовать, чтобы эта операция была непрерывна, а для регулярных обобщенных функций совпадала бы с обычным умножением функций. Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Пусть сначала Т вЂ” - функционал на К, определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функцией /: Т(р) = / /(х)у(х)с(х. Его производной естественно назвать функционал ЙТ/4х, определяел1ый формулой — (в ) = / /'(х)у(х) е(х. Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция у обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем — (у) = / /'(х)у(х) е(х = — / /(х)у'(х) Их; таким образом, мы получили для еИ"/Их выражение., в котором производная функции / не участвует.
Эти соображения подсказывают следующее определение. О п р еде л е и не 2. Производной ИТ/с1х обобщенной функции Т называется функционал, определяемый формулой — ""(у) = -Т(р'). Ясно, что функционал, определяемый этой формулой, лннеен и нс преры вен, т. е. представляет собой обобщенную функцию. Аналогично определяются вторая, третья и дальнейшие производные. Обозначая обобщенную функцию символом /, мы будем обозначать ее производную (понимаемую в определенном только что смысле) обычным символом /'. Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений: 1. Вслкая обобщеннал функция имеет производные всех порлоков. бе !:»С Линейные функционалы ь о»»грев»ори 224 2.
Если последовательность обоб»ценных функций ((„) сходится к обобщенной функции г' (в смысле определения сходимости обобщенных функций), то последовательность производных (Я сводится к производной 1" предельной функции. То же самое верно и для производных любого порядка, Это равносильно тому, что всякий сходящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз. Рассмотрим некоторые примеры. 1. Из сказанного выше ясно, что если ! - регулярная (т. е, «настоящая») функция, производная которой существует и непрерьшна (или кусочно-непрерывна), то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. 2. Пусть 1 при х)0, х 0 при х<0.
Эта функция, называемая функцией Хевисайда. определяет линей- ный функционал (1",»р) = / »р(х)дх. о В соответствии с определением производной обобщенной функции е!и пх Е' п (0) я=! и. еем (1~, »р) = -((, !р~) = — (»р~(х) дх = р(0) о (поскольку»р обращается в 0 на бесконечгюств). Таким образом„ производная функции Хевисай»ча (5) есть д-функция. 3. Из примеров 1 и 2 ясно, что если г' — функция, име!ощая в точках х!, хз,... скачки, равные 6!, Ь»,..., и дифференцируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной 1' (в тех точках, где она существует) и выражения вида 2 Ь,б(х — х,).
4. Применив опроделение производной к б-функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции из Хт' значение — »р'(0). А это и есть тот самый функционал, который мы уже назвали «пронзводной от б-функции». 5. Рассмотрим ряд гзз "г 4. Ооогтгчгвнмг фтвкиви Его суммой служит функция, имеющая период 2т и определяемая па отрезке ( — т, т) 4юрмулами — при 0<х< г, 2 4'(х) = -"+* при — к < х < О, 0 при х=О. Обобщенная производная от нее равна — (*-2йт). Р) Это —. некоторая обобщенная функция (применяя ее к любой фи- нитной функции гр(х), мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, дифферен- цируя ряд 2 з— '" "х почленно, мы получаем расходящийся ряд соз ох.
в=1 Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (а именно, к выражению (7)). Таким образом, понятие обобщенной функции позволяет приписать некоторый вполне определенный смысл сумме ряда, который в обычном смысле расходится. То же самое относится и ко многим расходящимся интегралам. С этим обстоятельством приходится часто вгтречатьгя в квантовой теории поля и ряде других областей теоретической физики.
Впрочем, такая ситуация возникает уже при решении элементарных задач математической физики с помощью метода Фурье. Например, при решении й2 22 уравнения колебаний струны —" = аз — '" возникают тригономедГг дхг трические ряды, имеющие вторые производные по х и по 4 только в смысле теории обобщенных функций, и значит, удовлетворяющие этому уравнению тоже только в смысле этой теории. 5. Достаточность запаса основных функций.
Мы определили обобщенные функции как линейные функционалы на некотором пространстве -- пространстве К фннитных бесконечно дифференцируемых функций. Можно было бы основное пространство выбрать и как-либо иначе. Рассмотрим соображения, которые оггределили выбор К в качестве пространства основных функций. Они применимы и в других случаях. Наложив на элементы из К жесткие требования финитности и бесконечной дифференцируемости, мы получили, во-первых, большой запас обобщенных функций (сужевие основного пространства приводит, очевидно, к расширению сопряженного г'и, ПС Линейные фуннцнонеяи и оггервщорм пространства), а во-вторых, ббльшую свободу в применении к обоб- щенным функциям основных операций анализа (предельный пере- ход, дифференцирование). Но вместе с тем пространство основных функций К является не слишком узким.
В нем достаточно много элементов для того, чтобы с их помощью можно было различать непрерывные функции. Точнее говоря, пусть ~г и 6 — дае раз- личные непрерывные (а следовательно, и локально интегрируемые) 4ункции на прямой. Тогда существует такая функция у е К, что 5г(х)у(х) дх ф / ~з(х)уг(х) дх. (8) Действительно, положим у(х) = уг(х) — уа(х). Если у(х) ф О, то существует такая точка хо, что у (хо) ф О. Тогда у (х) сохраняет знак в некотором интервале (сг„9), содержащем точку хо. Рассмотрим функцию у(х) = ж е Р=*+*="~ при о < х ( д, О при остальных х; эта функция равна нулю вне (о,(т) и положительна внутри этого интервала; кроме того, она имеет производные всех порядков, так что у б К (проверьте существование производных в точках х = и и х =;3!).
При этом, очевидно, оо о / у'(х)со(х) дх = / у(х)со(х) Ых ф О. Мы показали, таким образом, что пространство К достаточно для различения любых двух непрерывных функций ), 6. Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций. Дифференциальные уравнения - — одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, в значительной мере и стимулировали развитие этой теории. В основном она применяется к уравнениям в частных производных, которые мы здесь не рассматриваем. Однако мы коснемся здесь некоторых простейших вопросов, относящихся к решению (обыкновенпых) дифференциальных уравнений с обобщенными функциями.
Начнем с простейшего уравнения вида у = )(х) (У(х) — обобщенная, или «обычнаяв, функция), т. е. с задачи о восстановлении функции по ее производной. Начнем со случая у(х) = О. ) Это утверждение можно распространить и на функции, существенно более общие, чем непрерывные, но для етого нужно пользоваться понятием интегрнруемости по Лебегу, о чем речь будет идти в следующей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
