А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 43
Текст из файла (страница 43)
2. Теорема 2 справедлива и для комплексного гильбертова пространства (доквзательство в точности то же, с заменой лишь хо = !е(!уо), уо на хо = з'(уо) уо) Единствонное отличие комплексного случая от действителын>го состоит в том, что тецсрь отображение Н в Н, сопоставляеощее элементу хо с Н функционал Йз!) = (х, хо), является сопрггясенно-линейным изоморфизмом, т.е. элементу Лхо отвечает функционал Л 1. б. В примерах 1тб рассматривались нормированные пространства. Рассмотрим теперь пространство счетно-нормированное.
Пусть Ф вЂ” действительное счетно-гильбертово пространство, состоящее из всех последовательностей х = (хн), для когорых , !е/з !!х!!ь = (~~ е! х„) < оо при всех й = 1,2,. Скалярные произведения в Ф сгггь (х,у)ь = ~ ~и"хнун й = 1 2 Пространство Ф со скалярным произведением (ч.)ь является евклидовымр пусть Фь -- его пополнение. Легко видеть, что Фу,.
можно отождествить с гильбертовым пространством всех последовательностей х = (х„), у которых йхув < оо. В силу теоремы 2 пространство ФА, сопряженное к Фсп изоморфно пространству Фь; при этом изоморфизме каждому непрерывному линейному функциона- 201 Ги. )Г. Линепна!е Фрнинионилм и о!герои!ори лу ) е Фь сопоставляется такая последовательность )' = (ги), что , ~1(2 п=1 Дх) = (х,))ь = ~~г п'х„)„, х = (.'г,) й Фы ии! и обратно, каждая такая последовательность определяет элемент нз Ф!.
Определим теперь функционал у' Е Ф~ пе последовательностью ()„), а последовательностью (дп), где дп аи пь) . Тогда е:о 1)и )(х) = ) хиди и ))Д = (~ и д,,) ~!и! пи! Таким образом, Ф' можно отождествить с гильбертовым пространством последовательностей (д ), удовлетворяющих условию и" !дз, < оо, (4) п=1 и со скалярным произведением ( (1) (2)) аа а . Ь (1) (2) дп ди Так как Ф' = () Ф;, то Ф" —. пространство всех последовательЬи! ностей (дп), для каждой из которых существует свое )е, такое, что выполняется условие (4).
Значение каждого такого функционала определено на любом элементе х = (хп) е Ф и Равнаетса 2 хпди. и=! Итак, если пространство Ф есть пересечение убывающей цепочки гильбертовых пространств Ф=ПФю Ф ~ ~Фьэ Ь=1 то Ф* есть сумма возрастающей цепочки гильбертовых прост анств р оо Ф"= П Ф„', Ф,"С" СФ;С " Ь=1 Удобно ввести обозначение Фь — — Ф ь. Если еще обозначить пространство (2 через Фо, то мы получим такую бесконечную в обе стороны цепочку гильбертовых пространств сФкс .сФгсФосФ !с..сФ ьс" в которой Фь = Ф ь при каждом )е = О, х1, х2,... ~ 2, Санрнженное геронтрннгюгевр геь 4. Второе сопряженное пространство. Так как непрерывные линейные функционалы на линейном топологпчсе ком пространстве Е сами образуют линейное тогео.егегчгчсское простране:тво.,— сопряженное к Е пространство (Е', Ь), - - то можно говорить о пространстве Г*" непрерывных линейных функционалов на Е*, т.г.
о отпором сопрязкюпиеле к Е и т. д. Заметим, что всякий элемент ке пз Е определяет некоторый линейный функционал на Е'. Действительно, положим Ф..И = 1(яге) (5) где ко — - фиксированный элемент из Е, а г' пробегает все Е*. Ранен- ство (5) ставит в соответствие каждому ~ неко горов число фк,(~), т.е. определяет функционал па Е". Так как прп этом ед*е(оЛ + ебггз) = оЛ(ко) + дБ(зв) = оеЬне(Л) + Ые,()з), то этот функционал линееп. Далее, всякий такой функционал нспрерывец на Е'.
В самом дело, пусть к ) О и А — ограниченное мнол<ество в Е, содержащее хо. 1 ассмотрилг в Е' окрестность нуля Ше, А). По опредещениго Ьг(в, А), имеем ~едае(У)! = 1У(хгеИ ~ при У е П(г, А), Но это означает, что функционал ф, непрерывен в точке О, а следовательно, н на всем пространстве Е*. Мы получплн, таким образом, отображение всего пространства Е на некоторое подмножестно пространства Е*", Это отображение, очевидно, линейно.
Такое отображение Е в Е** называется естественным отображением пространства Е во второе сопряженное. Обозначим его к. Если на Е есть достаточно кеноео линейных функционалов (напрнмер, если Е нормировано илн хотя бы локально выпукло и отделимо), то это отображение взаимно однозначно, так как тогда для любых двух различных к', кн б Г существует такой функционал г" Е Е', что 1(к') ф,г'(кн), т.е. ер, и ф, — — различные функционалы на .Е'. Если к тому же з (Е) = Е", то (отделимое локально выпуклое) пространство Е называется полурефлексивиым.
В пространстве Е*" (как сопряженном к (Е", Ь)) можно ввести сильную топологию, которую мы обозначим Ь'. Если пространство Е полурефлексивноиотображениек: Е-е Е" непрерывно, тоЕназывается рефлексивным пространством. Можно показать, что отображение к ' всегда непрерывно, поэтому если Е рефлексивно, гпо естественное отображение ггг Е -+ Е*' гередставляет собой егзг>- морфизм между линейными топологическими простпранствами Е и Е*' = (Е'*, Ь). зоб рл. ь'у. Линевные фрниьЬионалы и оиераьпоры ГГгюкольку мы можем теперь каждый элемент из Е рассматривать еще и как элемент пространства Е-, удобно для значений линейного функционала Г 6 Е' вместо записи Г(х) ввести более симметричное обозначение: (6) Пх) =(Лх) При фиксированном Г" 6 Е" мы можем рассматривать (/,х) как функционал на Е, а при фиксироваььноль х — как функционал на Е* (при этом уже х выступает в роли элемента из Е*').
Если Š— нормированное пространство (следовательно, нормированы и пространства Е, Е'" и т.д.), то естесьпвенное отпображение простпранства Е в Е** есть изольеьприя. Действительно, пусть х — элемент из Е. Обозначим его норму в Е символом !!х!!, а норму его образа в Е'* символом (!х!!з.
Покажем, что !!х!! = !!х!!а, Пусть Г - . произвольный ненулевой элемент из Е'. !(Г,х)! ( !!П. !!х!!, т.е. '„'х!! ) — ' и, поскольку левая часть последнего неравенства не зависит от(, !!П !(У,х)! С другой стороны (следствие 4 теоремы Хана-Банаха для нормированных пространств), для каждого хо 6 Е найдется такой ненулевой линейный функционал Го, что !(Уо, со)! = !!Уо!! !!хо!!, (7) поэтому !!х!!з = зир !', ' 3 !!х!!, !(У:х)! У оп' т.е.
!!х!! = !!х!!м что и требовалось доказать. Таким образом, нормированное пространство Е изометрично (вообще говоря, незамкнутому) линейььь>му многообразию к(Е) в Е*', отождествляя Е с т(Е), можно считать, что Е С Е**. Из изометричности естественного отображения о-ь Š— + Е* для нормированных пространств следует, что понягпия полуре4лексььвности и рс4лексивности для нормированных пространств совпадают. Поскольку пространство, сопряженное к нормированному, полно, всякое ре4лексивное нормированное.
пространства Е полно. Коиечномеригае евклидовы пространства и гильбертово пространство представляют собой простейшие примеры рефлексивных пространств (для них даже Е = Е"). 207 1 3. Слабая топология и слабая скодомость Пространство со сходящихся к нулю последовательностей представляет собой пример полного нерефлексивного пространства. Действительно, как мы показали выше (пример 2 б 2), сопряженным к со является пространство1г всех абсолютно сходягцихся числовых рядов, которому в свою очередь сопряжено пространство т всех ограниченных последовательностей. Пространство С[а, б) непрерывных функций на некотором отрезке (а, Ь] тоже нерефлексивно.
Мы, однако, не будем здесь приводить доказательства этого утверждения '). Примером рефлексивного пространства, не совпадающего со своим сопряженным, может служить гр при 1 < р ф 2 (так как Г = 1е, р — Ч где 1/р+ 1/д = 1, то 1„" = 1ч = !р). Упражнение. Докажите, что замкнутое надпространство рефлексивного пространства рефлексивно. З 3. Слабая топология и слабая сходимость 1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном топологическом пространстве. Рассмотрим линейное .гопологическое пространство Е и совокупность всех непрерывных функционалов на нем.
Если /м..., /и - — произвольный конечный набор таких функционалов и б — положительное число, то лгножество (х: [/г(х)[ < б, 1 = 1,...,п) открыто в Е и содержит точку О, т.е. представляет собой некоторую окрестность нуля. Пересечешче двух таких окрестностей всегда содержит множество вида (1), и, следовательно, в Е можно ввести топологию, для которой совокупность множеств вида (1) будет определяющей системой окрестностей нуля. Она называется слабой гаопологией пространства Е. Слабая топология в Š— это самая слабая из топологий, в которой непрерывны псе линейяью функционалы, непрерывные и исходной топологии этого пространства. Ясно, что всякое множество в Е, открьпое в смысле слабой топологии, открыто и в исходной топологии пространства Е,однако обратное, всюбще говоря, наверно (множества вида (1) не обязаны г) Можно доказать деже следующее более сильное утверждеиие: ие существует никакого иормироввииого пространство, для которого С(о,ь) было бы сопряженным прострвиством.
208 Гуе дц, Лияеаяме фцькциенали и оператора образовывать опрсделякпцую систему окрестностей нуля в исходной топологии). По терминологии, принятой нами в з 5 гл. 11, это означает, что слабая топология пространства Е слабее, чем его исходная топология. Тем самым оправдывается принятое для нее название. Если в Е существует достаточно много непрерывных линейных функционалов (например., если Е нормировано),то слабая топология в Е удовлепюряот аксиоме отделимости Хаусдорфа. Легко также проверить, что операции сложения и умножения на числа, апре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
