А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 41
Текст из файла (страница 41)
П1), дает нам комплексный аналог предыдущей теоремыт Пусть Š— комплексное нормированное пространстве!, 1о -" линепный ограниченньгй функционал, определенный иа подпространстпве Ь С Е. Тогда существуетп линейный ограниченный функционал 1, определенный на всем Е и удовлетворяющий условиям 1(х) = 1о(х), х С 1, (!.1((иа н = !(Ь!!гга с 194 Га. Ге'. Линейные фунниионааи и апераеаорн Укажем некоторые важные факты, вытекающие из теоремы Хана-Ванаха для нормированных пространств. Предварительно сделаем следующее замечание.
Выпуклое множество в линейном пространстве мы назвали выпуклым телом, если оно имеет непустое ядро. Можно показать, что в нормированном пространстве ядро выпуклого множества совпадает с совокупностью его внутренних точек. Таким образом, в нормированном пространстве выпуклое тело — зто выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку, Отсюда и из теоремы 5 9 2 гл. П1 вытекает следующий факт.
Следствие 1 (первая теорема отделимости). Пусть А и В— выпуклые множества в нормированном пространстве Х, прячем хотя бы одно из них, скажем А, является выпуклым телом и его ядро не пересекается с В. Тогда сугцествует ненулевой непрерывный линейный функционал, разделяющий А и В. Существование ненулевого функционала, разделяющего А и В, обеспечивается самой теоремой 5 з 2 гл. П1. Покажем, что соответствующий функционал обязательно непрерывен. Действителыю, если знр ((х) < !пГ у(х), Ф) еял еев то функционал у ограничен на А сверху. Пусть ха — — внутренняя точка множества А и о'(хз) — ее шаровая окрестность, целиком лежащая в А.
В силу (9) функционал у ограничен на П(ха) сверху. Но тогда он ограничен на У(хз) и снизу (проведите доказательство!). Так как линейный функционал, ограниченный на каком-либо шаре, непрерывен, то наше утверждение доказано. С л едст в не 2 (вторая теорема отделимости). Пусть А замкнутое выпуклое множество в нормированном пространстве Х и ха е Х вЂ” точка, не принадлежащая А. Тогда существует непрерывный линейный функционал, строго разделяющий ха и А.
Действительно, достаточно взять некоторую выпуклую окрестность П точки ха, не пересекающуюся с А, и рассмотреть функционал, разделяющий П и А. (Проведите доказательство того, что ненулевой функционал, разделяющий П и А, непременно строго разделяет ха и А.) Следствие 3 (лемма об аннуляторе). Для всякого (замкнутого) собственного яодпространства Ь нормированного пространства Х существует ненулевой непрерывный линейный функционал 1, равный нулю на Ь. 195 1 1. Непрермакмеликсбнме фуккепоналм Действительно, пусть хо ф Ь и / — непрерывный линейный функционал, строго разделяющий хо и Е: /(хо) > внр/(х).
кеь Тогда /(х) = 0 па Е, так как иначе верхняя грань справа была бы равна +со. Совокупность функционалов, равных нулю на данном подпространстве, называется аннуллшором этого подпространства и обозначается Ьх '). Следствие 4. ссля хо — пеяулевой элемент в нормированном пространстве Х, то существует такой непрерывный линейный функциоггал / на Х, что (10) Действительно, определив сперва функционал / на одномерном подпространстве, состоящем из элементов вида сухо, формулой /(ахо) = о)(хо(), а затем продолжив его без увеличения нормы на все Х, мы и получим функционал, удовлетворяющпй условиям (10).
3 а м е ч а н и е. Для произвольных локально-выпуклых пространств следствия 1-3 остаются в силе без изменений, а следствие 4 может быть заменено утнерждением: для всякого хо ф 0 существует такой непрерывный линейный функционал /, что /(хо) зе О. 4. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве. Пусть Е -- счетно-нормированное пространство с нормами () )(а ()с = 1,2,3,...); не ограничивая общности, можно считать (см.
пример 4 в п. 3 9 5 гл. 1И), что для всякого х б Е (11) Пусть / — непрерывный линейный функционал на Е; тогда в Е существует окрестность нуля Е), на которой / ограничен. В силу определения топологии в счетно-нормированном пространстве найдутся такое натуральное й и такое е > О, что шар Вы = (х: ))х)(а < е) целиком лежит в У; тогда функционал / ограничен на этом шаре и потому ограничен и непрерывен относительно нормы )) . )(а, т.е. существует такое С > О, что )/(х)) < С))х()ь, х б Е.
~) В 1 4 гл. Ш мы обозначили так ортогональное дополнение подпростраиства в евклидовом прострапствг. Как будет видно в следующем параграфе, в евклидовом пространстве понятия ортогонального дополнения и аинулятора равносильны,поэтому совпадение обозначений оправдано. Гл. 1у. 2Гььеаьие функлиоиьли и оператора С другой стороны, очевидно, что если линейный функционал ограничен по какой-либо из норм й 'й„, то он непрерынен на Е. Таким образом, если Е„' — — запас всех линейных функционалов на Е, непрерывных о~носительно нормы )! 'й„, а Е' — запас всех лиаейных непрерывных функционалов на Е, то (12) Е' = () Е„*.
и —.-! Кроме того, из условия (11) следует, что Е,"с СЕ„"с Если 1 . — непрерывный линейный функционал па Е, т.е. ( б Е*,. то его гюрлдком называется наименьшее из чисел и, для которых ( б Е„', в силу равенства (12) каждьМ непрерывный линейный функционал по Е имеет конечный порядок. () 2. Сопряженное пространство 1. Определение сопряженного пространства. Для линейных функционалов можно определить операции сложения и умножения их на числа. Пусть 1г и 1у — два линейных функционала на некотором линейном пространстве Е. Их суммой тг + тз называется ливейный функционал )(х) = (~(х) + ут(х), х 6 Е. Произведением а11 линейного функционала 1г на число а называется фуякционал Дх) = а(1(х), х е Е.
равенства, определяющие 1г + )з и азы можно записать и так: (Л + У2их) — У1(х) + уз(х) (аЛ)(х) ау!(х). Ясно, что сумма г1 + гт и произведение ау, представляют собой линейные функционалы, Кроме того, если пространство Е топологическое, то из непрерывности функционалов 11 и 6 следует, что Г1 + 1т и а11 тоже непрерывны на Е. Легко проверить, что так определенные операции сложения функционалов и умножения их на числа удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства.
Иначе говоря, совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором 1 2. Рапргэссннсс ппсстронстоо !97 топологическом линейном пространстве Е, образуег линейное пространство. Оно называется пространством, сапряжснныж с Е, н обозначается Е'. Упражнение. Совокупность всех линейных фуикцяоназов на Е, не обязательно непрерывных, называется алггбрааческв сопрязсеинызз пространством и обозначается Ет.
Привести пример топологкческого векторного пространства Е такого,что В сопряженном пространстве Е' можно разли*шыми способами ввести топологию. Важнейшие из них — зто сильная и слабая топо- логии. 2. Сильная топология в сопряженном пространстве. Нач- нем с того простейшего случая, когда исходное пространство Е нор- мировано. Для непрерывных линейных функционалов, заданных на нормировашюм пространстве, мы ввели понятие нормы, поло- жив ((П= ° р', .~е !(я!! ' Эта величина удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в оп- ределении нормированного пространства. Действительно, 1) !Я > О для любого ненулевого линейного функционала 7', 2) !!сгД = !о! !!Л, 3) !!77 + 7з!! = зпр < /7! х + 1зз! *~о !зг(х)!, !зз(з)! ~ ~зпр )! !! + ьцр !!,!! = !!,7г!!+ !!Ь!!. Таким образом, пространство Е', сопряженное к нормированно- му, можно наделить естественной структурой нормированного про- странства.
Топология в Е*, отвечающая введенной норме, называ- ется сильной гпопологией в Е'. Желая подчеркнуть, что Е' рассма- тривается как нормированное пространство. мы будем вместо Е' писать (Е', (! (!). Установим следующее важное свойство пространства, сопряжен- ного к нормированному.
Теорема 1. Сопряженное пространство(Е*,(! !!) полно. Доказательство. Пусть (Я вЂ” фундаментальная последовательность линейных функционалов. Тогда лля каждого г > О ра. /Ч. Ланаанне фкнкнаанаан а аааваааорн найдется такое М, что !!у„— у !! < е для всех п,гн > М. Отсюда для любого х е Е получаем !Уа(Х) У!а(Х)! ~< !!Уа Уж!! )!Х!! < Е!!Х)! т.е.
при любом х б Е числовая последовательность (у„(х)) сходится. Положим ,1(х) = 11т у„(х). Проверим, что 1 представляет горюй непрерывный линейный функционал. Линейность проверяется непосредственно: ,((ох+1)у) = 1цп (а(ох+1уу) = 1цп [а(а(х)+1у1„(у)! = аг(х)+13г(у). Для доказательства непрерывности функционала у вернемся к неравенству !(а(х) — ~„,(х)! < е!!х!! и перейдем в нем к пределу при т -э оо; получим !1(х) — ~а(х)! < е!!х!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
