А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Найдется такая окрестность нуля 1>, что 1г — И С У. Так как Е локально выпукло, то найдется непустое выпуклое открытое множество Рч С 1г, пусть у С 1", тогда Рч — у — выпуклая окрестность нуля, содержа>цаяся в В. Всякое нормированное пространство локально выпукло. Действительно, в нем любое непустое открытое множество содержит некоторый щар. Таким образом, всякое нормированное пространства локально ограничено и локально выпукла. Можно показать, что, по существу, нормированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами.
Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы. Имеет место следующая теорема: всякое атпдслимое локальна выпуклое и локально ограниченное линейное тпапалагичгсхег прастпранства нормиругма. Уп раж вен и я. 1. Докажите, что открьггее меохгество В в тополегическом линейном пространстве выпукло тогда и только тогда, когда (1+ 1> = 211. 2.
Пусть Š— линейное пространство; множество Ь С Е называется симмгшричным, если из х Е 1>' следует — х Е К Пусть  — семейства»сех выпуклых симметричных подмножеств пространства Е, совпадающих со своим ядром (см. З 2). Доказать справедливость следующих утверждений. (а) Семейство В является определяющим семейством окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой отделимой топологии в пространстве Е (эта топология называется ядерно-выпуклой). (б) Ядерно-выпуклая топологии является сильнейшей из локально выпуклых топологий, в которых линейные операции е Е непрерывны. (в) Всякий линейный фунхционел на Е непрерывен относительно ядерно-выпуклой топологии.
3. Счетно-нормированные пространства. Очень важным для анализа классом линейных топологических пространств оказались так называемые счетпиа-нармированныг тграстпранстпва. Для того чтобы сформулировать соответствующее определение, нам понадобится одно вспомогательное понятие. ! 84 Гв. Иб Нормироеоннне п пгоповогпнеееие пространства Пусть в линейном пространстве Е заданы две нормы О (и и ~! (!г. Они называются соглаг:ованнмми, если всякая последовательность (хп) из Е, фундаментальная по каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу х б Е по одной из них, сходится к тому же пределу х и по второй норме. Говорят, что норма О 'Вг не слабее, чем О' ()г, если существует такая постоянная с > О, что Охзй ) спхзг для всех х б Е. Если первая норма не слабее второй, а вторая - —.
ве слабее первой, то зти две нормы называются экеггеаггентнмми. Две нормы называются ераенимымп, если одна из них спабее другой. Определение 3. Счетгго-нормированным пространством называется линейное пространство Е, в котором задана счетная система попарно согласованных норм й 'йп. Всякое счетно-нормированное пространство становится линейным топологическим, если за определяющую систему окрестностей нуля принять совокупность множеств Бее, каждое из которых определяется номером т и положительным числом е и состоит нз всех тех элементов х б Е, которые удовлетворяют условиям 'Окйг ( е,...,'Ох((„» е. Мы предоставляем читателю проверить, что такая система окрестностей нуля действителыю определяет в Е топологию,в которой операции сложения элементов и умножения их нв числа непрерывпг ь Заметим, что всякое счетно-нормированное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, по<кольку сисзему окрестностей нуля С'гг можно заменить (не изменяя топологии) счетной подсистемой, в которой е принимает лишь значения 1,1/2, 1/Зг ..., 1/и,...
Более, того, топология в счетно-нормированном пространстве может быть задана при помощи некоторой метрики, например, такой: Р(х,у) = ~ ~2 " ' ", я,у б Е. 1 + вх — у))„ (1) Предлагаем читателю проверить, что функция Р(к, у) удовлетворяет вселг аксиомам расстояния и инвариантна относительно сдвшов (т е. Р(х + э, у + э) = Р(х,у), х,у, з б Е) и что порождаемая ею топология совпадает с исходной. Таким образом, мы получаем возможность говорить о полноте счетно-нормированного пространства, понимая под этим полноту относительно введенной выше метрики. Заметим еще, что последовательность (хь ) фундаментальна относительно метрики (1) тогда и только тогда, когда она фундамен гвлгига 1 5. Таналагннеские лннейнне прасп<ранен<па относительно каждой из норм и' й'„, и сходится (в этой метрике) к элементу х й 1 тогда и только тогда, когда она сходится к х по каждой из норм й 'йп.
Иными словами, полнота счетно- нормированного пространства означает, что в нем всякая последовательность, фундаментальная по каждой из норм (! ((„, сходится. Примеры. 1. Важным примером счетно-нормированного пространства служит рассмотренное вьцпе пространство К(а, Ь) бесконечно дифферепцпруемых функций на отрезке, если считатьн что норма й' ~) в этом пространстве определяется формулой /Щ/ = зпр ((~ ~(С)!.
ай<се 0<ь<<п Очевидно, что все эти нормы согласованы между собой и гто они определяют в 1<(а, Ь) ту самую топологи<о., которая была описана вын<о. 2. Пусть 5, — - пространство всех бесконечно днфферснцируемых функций на прямой. стремящихся на бесконечности к нулю вместе со всеми своими производными быстрее, чем 1/ф в любой степени (т.е.
удовлетворяюп<их условию 1~1<<<(1) -> 0 прп ф — < <ю при любых фиксированных <с и <1). В этом пространстве определим счетную систему норм, положив Щ„, =- зпр «~1<<<(1)!, и< = 0,1,2,. цдй<п — сп '«т Нетрудно проверить, что эти нормы согласованы между собой. Таким образом, 5 . — счстно-нормированное пространство. 3. Важный частный случай счетно-нормированных пространств —— так называемые с <етно-гильбертовы пространства. Пусть Н линейное пространство, в котором задана счетная система скалярных произведений (<р« (<) н причем предположим, что нормы й<<<()п = = ~/(«с,<р)„, отвечающие этим скалярным произведениям, согласованы между собой. Если такое пространство полно, то оно называется счев<но-гильбертовыл< пространством. 4.
Конкретным примером счетно-гильбертова пространства может служить следу<ощгс пространство. Пу< ть Ф -- совокупность всех таких числовых последовательностей (хн), для которых при каждом целом <с > О ряд пьхт и —.. < !66 )о. ))!. ))ормироооннис и спопооогичсспио пространства сходится. Заладим в этом пространстве счетную систему норм, положив ЦхЦь = ~~с пьхз. п=1 Нетрудно прсшерить, что эти нормы согласованы между собой и что Ф полно в указанном выше смысле. Ясно, что каждук1 из норм )) Ць можно задать с помощью скалярного произведения (х,у)ь = р и х„у„, % ь п=1 т.е.
Ф есть счетно-гильбертово пространстно. Оно называется пространством бмспсрв убывающих последовательностей. Если Š— счетно-нормированное пространство, то заданные в нем нормы Ц Ць можно считать удовлетворяющими условию ЦхЦь < ЦхЦ! при й < 1, (2) так как иначе мы могли бы нормы ЦхЦь заменить нормами ЦхЦь — — зпр(ЦхЦ1,..., ЦхЦ),.), определяющими в Е ту же самую топологию, что и исходная система норм. Пополнив пространство Е по каждой из норм Ц . ((ы мы получим систему полных нормированных пространств Еы При этом из соотношения (2) и согласованности норм следует, что имеются естественные влохсопия ЕОЗЕ) при )с<!. Таким образом, каждому счетно-нормированному пространству Е можно сопоставить убываюшусо пеночку полных яормированных пространств Е1 З .. Э Еь Э ; (') Е1 З Е.
)с=.1 Можно показать, что пространство Е полно тогда и только тогда, когда Е = П Еь (докажите это!). Так, например, простран)с= 1 ство К(а, Ь) бесконечно дифферепцируемых функций на отрезке (а, Ь) есть пересечение полных нормированных пространств С" (в, Ь) (и = 0,1,2,...), где Си[в, Ь] состоит из фушсций, имеющих непрерывныс производные до и-го порядка включительно, а норма в нем определяется формулой ЦЛ = р !У)ь)(!)Ц а<с<о О<в<а З 5, Топооогичосиио оииопиио прострпиотоо 187 В 30-х годах, когда в основном в работах Банаха была построена теория линейных нормирооанных пространств, сложилось впечатление, что этот класс пространств достаточно широк для того, чтобы обслуживать все коикретные нужды анализа.
Впоследствии, однако, иыяснилосьч что это не так. Оказалось, что в ряде вопросов важны такие пространства, как пространство бесконечно дифферонцируемых функпий, пространство всех числовых последовательностей К и другие пространства, в которых естественная для них топология ие может бьггь задана с помощью какой бы то ни было нормы. Таким образом, линейные пространства— топологические, но не нормируемые — — это вовсе не обязаттлыго иэкэотика» нли «патология». Наоборот, некоторые нз этих пространств представляют собой не менее естественные и важные обобшения конечномерного евклидова пространства, чем, скажем, гильбертово пространство. ГЛАВА 1У ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ О1ТЕРАТОРЫ ~ 1. Непрерывные линейные функционалы 1.
Непрерывные линейные функционалы в топологичоских линейных пространствах. В ~) 1 гл. 111 мы уже рассматривали функционалы, определенные на линейном пространсяве. Если речь идет о функционалах, заданных на топологическом линейном пространстве, то основной интерес представляк>т нспрс рывные функционалы: как обычно, функционал (, определенный на пространстве Е, называется непрерывны.и, если для всякого хо е Е и для всякого е ) О существует такая окрестность Г эяемента ха, что ~У(х) т (хаУ < с прп х Е Г (1) Это определение относится, в частности., и к линейным функционалам. Если Е . - конечномерпое топологическое линейное пространство, то всякий линейный функционал на Е автоматически непрерывен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
