А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть Л вЂ” линейное нормированное пространство;доказать справедливость следующих утверждений: 1) всякое конечномервое линейное многообразие в Л замкнуто; 15Ь 1 4. Явквидввм врввтранвп~ва 2) если М вЂ” подпространство, а Ф вЂ” конечномерное полпростраиство в Й, то их сумма М+ М = (х: х = и+ г, и Е М, = Е Х) замкнута: принести пример двух (замкнутых) линейных поппрострапств в Ь, сумма которых не замкнута; 3) пусть Я -.- открытое выпуклое множество в Й, и пусть хв К Я; тогда существует гипсрплоскостгч проходящая через точку хв н не пересекающая О. 4.
Две нормы, З й1 и (! - ))г, в линейном пространстве Й называются эквивалентными, если существуют такие постоянные а,в > О, что в)Щ ~< 'вхгг <~ Ьвх()~, лля всех х Е Й. Доказать, что если пространство Й конечнол~срно, то любые две нормы в нем эквивалентны. 3 4. Евклндовы пространства 1. Определение евклидовых пространств.
Один из хорошо известных способов введения нормы в линейном пространстве -- это задание в ием скалярного произведения, Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном пространстве Й, называ- ется действительная функция (х, р), определенная для каждой пары элементов х, у Е Й и удовлетворяющая следующим условиям: 1) (х, р) = (у,х), 2) (х + хг в) = (х р) + (хю р) 3) (Лх,у) = Л(х,у), 4) (х, х) > О, причем (х, х) = О только при х = О.
Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным про- изведением называется евклидоеым просгпранспгвом. В евклидовом пространстве Й вводится норма с помощью формулы 'йх)) = ь/(х,х). Из свойств 1)-4) скалярного произведения следует, что нсе аксиомы нормы прп этом выполнены. Действительно, выполнение аксиом 1) и 3) нормы (п. 1 3 3) очевидно, а выполнение аксиомы 2) (неравенство треугольника) вытекает из нераввпстава Коши- Буняковского ((х,у) ! < )(х)) .
))у((, котороо мы сейчас докажем. де. Мь Нормировонние и п>опологииесеие простро>ссп>во рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной Л. неотрицательный при всех значениях Л: у>(Л) = (Лх + у, Лх + у) = Л'(х, х) + 2Л(х, у) + (у, у) = = Их!1~Л~ + 2(х,у)Л+ ПУИа Так как это выражение представ.пяет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то у>(Л) ) О при всех Л. Следоватед>ьно, дискриминант этого квадратного трехчлена меныпе или равен нулю, т.е. 4(х, у)з — 4йх~~зйглз < О, что н требовалось доказать.
Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны, т. е. если х„-+ х, у„— р у (в смысле сходимости по норме), Лп — > Л (как числовая последовательность), то Хп+Уп > я+У Л„хп — > Лх, (хп,уп) -+ (х,у). Доказательство этих фактов основано на использовании неравенства Коши Буняковского (1) и предоставляется читателю в качестве упражнения. Наличие в гг скалярного произведения позволяет ввести в этом пространстне не только норму (т. е. длину) вектора, но и угол между векторами: именно, угол у> между векторами х и у определяется формулой созгр = (х, у) Ы Ь1!' (2) При этом из неравенства Коши .Буняковского (1) вытекает, ч ю ныражение, стоящее в (2) справа, по модулю не превосходит 1 и, следовательно, формула (2) действительно для любых ненулевых х н у определяет некоторый угол >>о (О < у> < к).
Если (х, у) = О, то из (2) получаем, что у> = я~2; в этом случае векторы х и у называютгя а1>глаганаль>сммп. Система ненулевых векторов (ха) из Л называется ортогональной, если (ха уд) = О при а ф ~3. Если векторы (ха) ортогональны, то онн линейно независимы.
В самом деле, пусть а>ха> + азха> + .. + а„ха„= О; поскольку (х ) — ортогональная система, имеем (ха, > а>ха + ° ° + апха„) — аг(ха, ° хаг) — О 1 4. Ваклидогь! вг!оогаоаьсвлоа но (ха!, х, ) ф 0 и. значит., а; = 0 для всех г = 1,..., и. Если ортогональная система (ха) полна (т. е. наилгеш.шее содержащее ес замкнутое надпространство ссп все Н), то она называется ортогональным базисом. Если при этол! норма каждого элемента равна 1, то сислсма (х„) называется ортогональнм.ч нормированным базисом.
Вообще, если система (х ) (полная или нет) такова, что 1 0 прн о ф,'3, (х,:го) = ~ ( 1 при!!=~3, то она называется ортогональной нормированной (короче: орплонор- лгальной) сисгпемой. Ясно, что если (х„) †. ортогональная система, то — ' — — ортогональная нормиронаяная снст<'ма. 1 !!хД 3 2. Примеры, Рассмотрим некоторые примеры евклидовых пространств и ортогона.!ьных базисов в них.
1. и-мерное арифметическое пространство лч", элементами которого служат системы действительных чисел х = (х!,...,х„), с обычными операциями слохгения и умножения и скалярным произведением (х.,у) -- ~! х,у„ представляет собой хорощо известный пример евклидова пространства. Ортогональный нормированный базис в нем (один гщ бесконечного !псла возлюжпых) образуют векторы е! —— (1,0,0,...,0), ег = (0,1,0,....,0), е„= (0,0,0,..., 1). 2.
Прострапство 1г с элелгентами х = (хл,...,хв!,.,), где гг хг < со, г и скалярным произведенном (х,у) =- ~~~ хгу; (4) есть евклидово пространство. Действительно, сходимость ряда, стоящего в (4) справа, следует из неравенства (4) З 1 щ!. П. Свойства б — !324 1л. Н1. Нормироооннне и тополоеинеение ироеепренемоо 1) — 4) скалярного произведения проверяются непосредственно. Про- стейший ортогональный нормированный базис в 1з образуют вектое1 — — (1, О, О,... ), еь.
= (О, 1,0,...), (5) ез = (О 0 1 ° .), Ортогональвость и нормированность этой системы ясны. Вместе с тем система (5) полна; пусть х = (х1....., х„,. ) — — любой вектор из 12 и хь"~ = (х1,..., х„,0,0,... ). Тогда хь"1 есть линейная комбинация векторов еы...,е„и [[хйй — х[[ -+ 0 при и -ь оо.
3, Пространство Сз[а, Ь], состоящее из непрерывных на [а, Ь] действительных функций со скалярным произведением ь (/,й) = Г/(1)д(1) 11,. (б) о также является евклидовым. Среди различных ортогональных базисов, которые можно указать в нем, важнейшим является тригонометрическая система, состоящая из функций созп —, сйпп — ', п = 1,2,... 1 2пЬ . 2яь (7) 2' Ь вЂ” а' Ь вЂ” а' Ь-л Ь Ортогональность втой системы проверяется непосредственно. Если рассматриваются непрерывные функции на отрезке длины 2я, скажем, на [ — х, к], то соответствующая тригонометрическая система есть: 1/2, соз пь, з1п п1 (п = 1, 2,...
) . Система (7) полна. Действи- тельно, согласно теореме Вейер- 1 штрасса всякая непрерывная на 1 отрезке [а, Ь] функция ьо, прини- Ч 1 мающая в точках а и Ь одинако- 1 1 вые значения, может быть пред- 1 ставлена как предел равномерно о сходящейся последовательности Рис. 17 тригонометрических мпогочле- пов, т.е. линейных комбинаций злементов системы (7). Такая последовательность и подавно сходится к у по норме пространства С [а, Ь]. Если же / — произвольн ая функция из Сз[а, Ь], то ее можно представить как предел (по норме пространства Сз[а, Ь]) последовательности функций ьоп, каждая из которых совпадает с / на отрезке [а, Ь вЂ” 1/и], линейна на [Ь вЂ” 1/и, Ь] и в точке Ь принимает то же значение, что и в точке а 1 4.
Еаклидовы пространства (рис. 17). Следовательно, каждый элемент из Сг(а, 6) можно приблизить сколь угодно точно (в метрике этого щюстранства) линейными комбинациями элементов системы (7), а это и означает ее полноту. 3, Супхествование ортогональных базисов, ортогоиализапия. На протяжении оставшейся части этого параграфа мы ограничимся сепарабельными евклпдовыми пространствами (т.
е. содержащими счетное всюду плотное множество). Каждое из пространств. указанных в предыдущем пункте, сепарабельно (докажите это(). Пример несепарабел ь ного евклидова пространства можно построить так. Рассмотрим на прямой всевозможные функции х, для каждой из которых множество точек 1ы 1г,..., в которых она отлична от нуля, не более чем счетно, а сумма 2 ха(1), взятая по всем таким точкам, конечна. Операции сложения и умножения на числа определим в этом пространстве как обычные сложение и умножение функций, а скалярное произведение определим формулой где сумма берется по множеству тех точек 1, в которых х(1) у(Х) ф О.
Доказательство того, что в этом пространстве нет счетного всюду плотного подмножества, мы предоставляем читателю. Отметим, что это пространство — полное. Итак, пусть П вЂ” сепарабельиос евклидово пространство. Покажем, "ппо в таком просщранппве всякая оршогональная система не более чем спешна. Действительно, без ограничения общности можно считать рассматриваемую систему (уо„) не только ортогональной, по и нормированной (иначе мы замепилн бы ее системой (р Др„(о. При этом ((у„— рд~)! = ьг2, если о ф д. Рассмотрим совокупность шаров П(1о„, 1/2). Эти шары не пересекаются. Если счетное множество (16п) всюду плотно в П, то в каждом таком шаре есть по крайней мере один элемент из (гр„).
Следовательно, число таких шаров (а значит, н элементов 1о„) не более чем счетно. В каждом из приведенных выше примеров евклидовых пространств мы указали по ортогональному базису. Докажем теперь следующую общуго теорему, аналогичную теореме о существовании ортогонального базиса в п-мерном евклидовом пространстве. Теорема 1 (об ортогопализации). Пусть (8) 1ВЕ 1л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
