А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 38
Текст из файла (страница 38)
То»»лого»ескце лккеакке»7мстраксг»ео 179 Если (1о„) — какая-либо ортогональная систима в комплексном евклидовом пространстве Л, и у — произвольный элемент нз Я, то, как и в действительном случае, числа — — 2(У, ч"~) »2 называются коэффициентами Фурье, а ряд Е а»Ф» » — рядом Фурье элемента 1 по ортогональной системе (Ф„).
Имеет место неравенство Бесселя: ~ )(~р»)( )а») < (1,7). » В частности, если система (у„) ортогонвльна и нормирована, то коэффициенты Фурье по такой системе определяются формулами : =Ур) а неравенство Бесселя имеет вид (с ~' < У: У) Полное комплексное евклидова пространство бесконечной размерности называется комплексным гильбергповым пространством. На комплексный случай переносится теорема об изоморфнзме гильбертовых пространств: Теорема 9.
Все сепарабельныс комплексные гнльбсртовы пространства иэоморфны межгйу собой'. Простейшей реализацией комплексного гильбертова пространства является комплексное пространство 1г. С другой, функциональной, реализацией комплексного гильбертова преютранства мы познакомимся в гл.
ЧП. Предоставляем читателю проворить, что все теоремы., доказанные выше для действительных евклидовых, в частности гильбертовых, пространств, справев,пнвы (с незначительнымн изменениями, учитывающими комплексность скалярного произведения) и для комплексных пространств. 1 5. Топологические линейные пространства 1. Определение и примеры. Задание нормы — — лишь один из возможных способов введения топологии в линейном пространстве. Развитие таких областей функционального анализа, как тео- гво Гл. 1П, Пормарооанныс и тоаологичссаас пространства рия обобщенных функций (о них будет сказано в следугощей главе), показало, что во многих случаях полезно рассматривать .линейные пространства с топологией, задаваемой не с помощью нормы, а каким-либо иным способом.
Определение 1. Множество Е называется тополозическим линейггылг пространством, если 1. Е представляет собой линейное пространство (с умножением элементов на действительные или комплексные числа). П. Е являегся топологическим пространством. 1П. Операция сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. Подробнее последнее условие означает следующее: 1) если зо = хо+уе, то для каждой окрестности У точки ео можно указать такие окрестности Ъ' и Иг точек те и уо соответственно, что т + у й У при х й 1', у 6 Иг; 2) если ссохе = уо, то для любой окрестности 11 точки уо существуют такая окрестность Ъ' точки хо и такое число е > О., что ох й П при ~о — оо~ ( е и х б 1г".
Из связи, существующей в линойном топологическом пространстве между алгебраическими операциями и топологией, вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием системы окрестностей нуля. Действительно, пусть х — точка линейного типологического прост1занства Е, и У вЂ” - некоторая окрестность нуля в Е.
Тогда У + х †- «сдвиг» этой окрестности на х, †- есть окрестность точки х; очевидно, что любая окрестность любой точки х Е Е может быть получена таким способом. Из непрерывности операций сложения и умножения на числа в топологичсском линейном пространстве Е непосредственно вытекают следующие утверждения. 1. Если У, Ъ' — открытые множество в Е, то и множество У+1г (т. е. совокупность всех элементов видах+у, х Е У, у б 1г) открыто.
2. Если У открыто, гпо и множество ЛУ (т. е. совокупность всех элементов вида Лх, х е У) при любом Л ф О открыто. 3. Если Е замкнутое множество в Е, то и ЛЕ замкпуто при любом Л. Примеры. 1. К топологическим линейным пространствам относятся прежде всего все нормированные пространства. Действительно, из свойств нормы сразу следует, что операции сложения векторов и умножения их на числа в нормированном пространстве непрерывны в той топологии, которая определяется нормой. 1 ть Топологонесхне лнтьейнне простаранстава ьзь 2.
Зададим определяющую систему окрестностей нуля в пространстве )кь всевозможных числовых последовательностей х = = (хь,..., х„,... ) так, Каждая окрестность ЕЕ()сь,..., Ес,а е) определяется целыми числами йь,..., /ст и числом е > О и состоит из всех тех х б И'х, которые удовлетворяют условиям: [яд [ < е, ь = 1,..., т. Легко проверить, что задание этой системы окрестностей превращает )а'©' в линейное топологическое пространство. [Наряду с И~ люжно рассматривать пространство С' всех к о м п л е к с н ы х последонательностей.) 3.
Пусть К[а, Еь] — пространство бесконечно днфференцируемых ') функций па отрезке [а, Еь[. Тььпологию в К[а, Ет[ определим с помощью следующей системы окрестностей нуля. Каждая такая окрестность ЕЕ,я, определяется ььольььром тп и числом е > 0 и состоит ьлз всех функций ьр, удовлетворяющих неравенствам [ьртрйь (х) [ < е, Ес = О, 1,..., тп. где ьрЕ~) - — производная й-го порядка от функции ьр. Тот факт, что в топологическом линейном простраьютве топология связана с линейными операциями, определенными в пем, накладывает на его топологиьо довольно жесткие ограни гения, Именно. в пьопологическом линейном простпранстпве Е триьчка х и не содвйьзн:тьиЬее ее замкнутое мнозтсеспьво имеютп тьетьересьчтьюизтгесл окрестпног.пьи, При доказательстве этого утвержденна достаточно рассмотрепл точку х = 0 и лизбьое не содержащее ее замкнутое множество Е.
Положим У = Е ~ Г. В силу непрерывности операции вычитания в Е найдется такая окрестность нуля И', что И вЂ” И' С П. В качестве П' можно взять пересечение окрестностей пуля И'ь и И'г таких. что и — У 6 Ет, если х й Ить и У е И'з. ПРовеРим. что замыкание окРестности И' содержится в ЕЕ.
Пусть у б [Ит[. Тогда каждая окрестность точки у, в частности, у+ И', содержит какую-либо точку е из И'. Следовательно, г — у е Ит, т. е. у е Ит — Ит с Ет, что и утверждалось. При этом И' и Еьь[Ит] — искомые окрестности точки 0 и множества Г соответственно. Топологичсское пространствоназывается Ть-пространством, если оно удовлетворяет аксиоме отделимости Т',, т.о.
если любое его одноточечное подмножество замкнуто; очевидно,что линейное топо- логическое пространство есть Ть -пространство тогда и только тогда, ь) То есть, ииеющих произведено всех ооряахои. 182 Вс П1. Нормированные и епиповоеичеекие проеперонетпвв когда пересечение всех окрестностей нуля ие содержит ненулевых элементов. Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам отде.чимости Т1 и Тз, мы назвали в гл. П регуляр~ммп; из доказаниого в предыдущем абзаце следует, что топалогпческае линейное Т1 -пространство регулярна.
В нормированных пространствах важную роль играет понятие ограниченного множества. Хотя там это попятие вводится при помощи нормы, оно может быть естественно сформулировано и для любых линейных топологических пространств. Множество М, лежащее в топологическом липейном пространстве Е, назовем ограниченным, если для каждой окрестности нуля с1 существует такое и > О, что ЛП Э М при всех Л > и. Ясно, что для нормированных пространств это понятие ограничепиости совпадает с ограииченпостью по норме (т. е. с возможиостью поместить данное множество внутрь некоторого шара ))х)! < ее).
Пространство Е называется локально ограниченным, если в вем существует хотя бы одно непустое открытое ограниченное множество. Всякое нормированное пространство локально ограничено. Примером простраигтва, не являющегося локально ограпичепиым, может служить пространство К, указанное в примере 2 (докажите это!). У п р а ж и е и и я. 1. Пусть Е -- тапалагическае линейное пространства; докажите справедливость следующих утверждений: (а) множество М С Е ограничено тогда и только тогда, каглв вля любой последовательности (х„) С М и любой последовательности положительных чисел (е„), стремящейся к нулю, последовательность е х стремится к пулю; (б) если (хп)~~, С Е и хп -+ х, та (х„) -- ограниченное множество; (в) если Е локально ограничено, та в вем выполняется первая аксиома счетвасти.
Выполнена ли первая аксиома счетпости в пространстве К~? 2. Мы скажем, чта множество М в тапалагическам линейном пространстве Е поглощпетеп окрестностью вулп В, если существует такое Л > О, чта Ле? З М. Доказать, чта в локально ограниченном пространстве существует фупдамеитальиав система окрестностей нуля, взаимно поглощающих друг друга.
Чта можно принять зв такую систему в нормированном пространстве? 2. Локальная выпуклость. Произвольные топологические лииейные пространства могут обладать свойствами, слишком уж далекими от привычных свойств евклидовых или нормированных про. страиств. Важный класс пространств, более общих, чем иормированные, ио сохраняющих многие свойства последних, образуют так называемые локально емпуклыг пространства.
>ЗЗ г В. Топологичегхие линейные прасшрангп>аа Определение 2. Топологическое линейное пространство называется локальна выпуклым, если в нем вгякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество. Заметим, что есл>и пространство Е локально выпукло, то для любой точки х В Е и л>обой ес окрестности бт найдется такая выпуклая ее окрестность )г, что х В )г С И. Действительно, достаточно проверить справедливость этого утверждения для точки х = О. Пусть (1 †. какая-нибудь окрестность нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
