А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В общем случае нз линейности функшгонвла его непрерывность не вытекает. Следующее утверждение существенно для дальнейенего, хотя и почти очевидно. Если .линейный функционал 1 непрерывен в кахой-либо одной епочкс х б Е, епо он непрерывен и всюду на Е. Действительно, пусть у --- произвольная точка в Е и пусть е > О. Выберем окрестность 11 точки х так, чтобы выполнялось уг повис (1). Тогда сдвиг этой окрестности Г = 11-ь(у — х) будет искомой окрсстностьщ точки у., так как осли с й Г. то г + х — у Е У и, следовательно, !Пс) — У(у)! = !У(с — у+я) — Пх)! < е. Таким образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например, в точке О.
1 !. !!еивепилньи; лвнеичме йьучьччичьалм Если Š— - пространство с первой аксиомой с н тности, то непрерывно! ть линейного функционала иа Е можно сформулировать в терминах последонатез!и!остей; функционал у нвзывнетгя иепрсРынным в точке т б Е, если из хч — > х следУе! т(хч) — Ф )(х).
Проверка равносилыюсти этого определения непрерывности приведенному выше (прн наличии первой аксиомы счетности) предоставляется читателю. Теорема 1, Для того чтобы линейный функционал у' был непрерывен на Е, пообходича н достаточно, чтобы сунистиоинлн такая окрестность нуля в Е, па которой функциоти! ! огрпшсчеи, Доказательство. Гели функционал ! непрерьпин н точке О, то для каждого а ) О сущ~ ствусг окрестность нуля, на которой (1(з;)! < е. Обратно, пусть П вЂ” — такая окрестность нуля, что (.!(х)( < С при х б с!, и пусть е ) О. Тогда е П есть та окрестность нуля, нн которой С' ~р' (х)( < а Тгм самым доказана непрер! пн!ость у и точке О, а значит, и нс!оду. Упражнение.
Пусть Š— топологическое линейное пространстно! докажите справедливость следующих утверждений. (а) Лпиейщ,!й функционал 1 нв Е непрерывен тогда и только тогда, когда существуют такое открьпое множество !! с Е и такое число 1, что ! й !(!!), где 1(П) — - мнохгество зиа юений !' иа Гг. (б) Линейный функционал 1 на Е непрерывен тогда и точько тогда, когда его ядро (х: г'(х) = 0) замкнуто в Е.
(в) Если вгякий линейный функционал ва Е непрерывен, то топология в Е сонпадает с ядерио-выпуклой топологией (см. упражнение 2 в п. 2 3 б гл. ГП. (г) Если Е бссконгчиомерпо и нормируемо, то на ием гуи!сгтвует не непрерывный линейный функпионал (воспользуйтесь существованием в Е базиса Гамсля; см. управпкннс в п. 3 3' 1 гл.
П!). (д) Пуси в Е существует онредечя!ощая система окрестностей нуля, мощность которой ие прсвогходнт алгебраической размерное !и пространства Е (т. е. мощиостн базиса Гамеля в Е; см. упражнение в и. 3 3 1 гл. П1). Тогда на Е гу!цествует нс наирсрывный линейный функциоиа и (е) Для того чтобы линейный функционал !' был непрерывен иа Е. необходимо, а в глучае, когда Е удоачетворяет первой аксиоме счетности., и достаточно, чтобы ои был ограничен на каждом ограниченном множестве.
2. Линейные функционалы на нормированных пространствах. Пусть рассматриваемое пространство Е нормировано. По теорел!е 1 всякий непрерывный линейный функционал Г ограничен Ь вЂ” ! 324 !л. !П. Линейные функционалы и огмрагаори 190 в некоторой окрестности нуля. Но в нормированном пространстве всякая окрестность нуля содержит шар и, значит, 1 ограничен на некотором шаре. В силу линейности функционала это равносильно его ограниченности на любом шаре, в частности, на единичном )!х)! < 1. Обратно, из ограниченности функционала ! на единичном шаре следует, в силу той же теоремы 1, его непрерынность (ибо внутренность этого шара представляет окрестность нуля). Итак, е нормированном пространстве линейный функционал непрерывен в гном и г олька том случае, когда его значения на единичном шаре ограничены а соаокуппости.
Пусть 1 — непрерывный линейный функционал в нормированном пространстве Е. Число (2) !!Д = зпр !,)(х)!, !!а!!<! т.е. точную верхнюю грань значений !1(х)! на единичном шаре пространства Е, мы назовем нормой функционала 1. Отметим следующие почти очевидные свойства !!1!!: 1) !!Л = !У(х)!, аао !)Х!! это сразу следует из того, что для всякого х ~ О 2) Для любого х б Е (3) !!,г(х)!! < ((Я . !(х!!. Действительно, если х ~ О, то элемент — * принадлежит единично!!е!! му шару, следовательно, по определению нормы функционала, ~1!!-!!)1= )!*!! - '!!~!! откуда следует (3), Если же х = О, то в (3) справа и слева стоят нули. Упражнение.
Пусть С 3 0 — такое чнш|о, что !1(х)! < С)!х!! (4) нрн любом х. Доказать, что (!Л = !на С, где !н! берется но всем С, удо- влетворяющим неравенству (4). Рассмотрим прилн.ры линейных функционалов в нормированных пространствах. 1 Л Непрврмвяыз зияевнме 4инкчионалм !Ч1 1. Пусть К" есть п-мерное евклидово пространство н а — какой- либо фиксированный вектор в нем. Скалярное произведенпе 1(х) = (х,а), где х пробегает все К", представляет гобой, очевидно, линейный функционал на К". В силу неравенства Коши-Буняковского !)(х)! = !(х,а)! < ЦхЦ ЦаЦ; (Ь) следовательно, этот функционал ограничен, а значит, и непрерывен на К".
Ич неравенства (5) получаем, что !У(х)! < ц„ц ЦхЦ Так как правая часть этого неравенства не зависит от х, то зпр — < ЦаЦ, !((х)! Цхй т.е. ЦД < ЦаЦ. Но положив х = а, получим /1(а)! = (а,а) =. ЦаЦ, т.о. = ЦаЦ. ЦаЦ Поэтому ЦЯ = ЦаЦ. 2. Интеграл ь Х(х) = !' х(Ф) о1, а где х(1) -- непрерывная функция на (а, Ь), представляет собой ли- нейный функциовал в пространстве С(а, Ь!.
Этот функционал огра- ничен, а его норма равна Ь вЂ” а. Действительно, !1(х)! = /~ х(1) г11 < щах !х(1))(Ь вЂ” а) = ЦхЦ(Ь вЂ” а), причем при х = сопз$ достигается равенство. 3. Рассмотрим более общий пример. Пусть уе(1) — фиксирован- ная непрерывная функция па (а, Ь!.
Положим для люобой функции х(1) б С(а, Ь) г (х) = (' х(г)р (1) пб а Этот функционал линеен. Он ограничен, так как Ь ь /г (х)! = / / х(Е)уе(г) сй~ < ЦхЦ / (уе(т)! па (6) и и В силу линейности и ограниченности он непрерывен. Из (6) следует оценка его нормы: ЦГЦ < ~ )д,(Ь) ! а. (Докажите, что на самом деле здесь имеет место точное равенство1) шг Лл. гю ггиневные фрннегионалы и операторы 4. Рассмотрим в пространстве С(а, !г) линейный функционал бе,(~) =- х(!е), уже упоминавшийся в п. 5 з 1 гл.
П1. Его значение на функции х(!) определяется как значение х(!) в данной точке !е. Ясно, что !х(!е)! < )~~хЦ, причем для х: — сопз1 имеет место равенство. Отсюда сразу следует, что норма функционала бе, равна 1. 5. В любом евклидовом пространстве Х можно определепь линейный функционал так же, как и в К', выбрав некоторый фиксированный элемент о е Х и положив для любого х 6 Х г (х) = (х, о). Как и в случае !К", легко проверить, что при этом !!й=М В дальнейшем мы будем рассматривать только пспрерывныс линейные функционалы, а слово еенспрсрывный» будем для краткое ти опускать. Понятию нормы линейного функггтжьла можно дать следуюшую наглядную интерпретацию. Мы уже видели (з 1 гл.
1П), что всякому ненулевому линейному функционалу можно сопоставить гнпсрплоскость 1,, определяемую уравнением Найдем расстояние «! от этой гнперплоскости до точки О, По опре- делению, е! = !пзбг!Юп! ()х!!. В силу оценки ~У(. )! < 1~Л. !!х~! па гиперплоскости г'(х) = 1 будем иметь !!х!( > 1ДД и, значит, е1 > 1/)!г'!!. С другой стороны, в силу определения нормы г для любого е > О найдется такой элемент х, подчиненный условию )(хе) = 1, что 1 > (((„е !! е) нхе)О поэтому — !пГ !!х() < —, г!*>=.! ~!П-'' Поскольку е > О произвольно, получаем е1= 1ПП, 1!.
Непрерывные ланеаные фрнагтьеналн щз т.е, норма линейного функционала !' обронена расстоянию гипер- плоскости 1(х) = 1 от точки О. 3. 'Теорема Хана-Бвнаха в нормированном пространстве. В з 2 гл. Ш мы доказвлн общую теорему Хана -Банаха, согласно которой всякий линейный функционал 1о, определенный на некотором подпространстве 1, линейного пространства Г и удовлетворяющий условию (Ус(х)( < р(х) (7) (р -. фиксированный однородно-выпуклый функционал на Е), может быть продолжен на все Е с сохранением зт<ио условия.
Применительно к нормированным пространствам зту теорему можно сформулировать следующилт образом; Пусть Š— действительное. иорлтированное простлрагтство, 1 его ттодтгростраиство и 1с — ограниченный линейный функционал иа 1,. Э!пота линейный функционал мозюет бытпь щюдолзтсен до некоторого линейного функционала !' на всем пространсптве Е без увеличения нормы, т, с. так, что в.то((на !. — ((1 1(тта н. Действительно, пусть !!.1о((а. с =- й.
Ястто, что а((х(( --- однородно-выпуклый функционал. Взяв его в качсстттс ут н применяя общую теорему Хана Банаха, получим требуемый результат. Эта форма теоремы Хана — Банаха допускает следуюптую геометрическую интерпретацию. Уравнение 1о(х) = 1 (8) определяет в подпространстве Ь гиперплтюкость, лежащую на расе:тоянии 1/((1о(( от нуля. Продолжая функционал Д без увеличения нормы до функционала на всем Е, мы проводим через зту частичную гиперплоскость «больптую» гиперплоскость во всем Е, причем «не позволяем» ей приблизиться к нулю. Комплексный вариант теоремы Хана — Банаха (теорема 4в з 2 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
