А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из теоремы 7 вытекают некоторые полезные следствия. т.е. Ь' Е Мз, Допустим теперь, что, кроме построенного нами разложения 7 = Ь + Ь', существует другое разложение: ~=)гг+!г~, Ь! ЕМ, Ь! ЕМ~. Тогда и и всех и 173 1 4, йопп!!оооо! проотпяопотпоа Следствие 1. Ортогоналын>е дополнен!и! к ортогональному лополнснп7о линейного полпространс пза М совпадает с самим М. Таким образом, можно говорить о взаиьшо дополнительных подпространствах пространства Н. Если М и М!.
— два таких дополняющих друг друга подпространства и (р„), (<р„') -- полные (соответственно в М и М!.) ортогональные системы, то со!шипение систем (!рп) и (!!о'„) дает полную ортогональную систему во всем пространстве Н. Поэтому имеет место следствие: Следствие 2. Каждая ортогональная нормированная система можа!' бы! ь 1)ас!ни1оена до сп!' гены, помп!ой в Н. Если система (р„) конечна, то число входящих в нее элементов равно размерности подпространства М, порожденного (~оп), и коразмерности подпространства Мп.
Таким образом, получаем еще одно следствие: Следствие 3. Ортогональное дополнение к пространству конечной размерности и имеет коразмерность по и наоборот. Если каждый вектор з й Н представйм в виде !' = !!+ Ь', 6 й М, г!' й М' (Мь -- ортогональное дополнение М), то говорят, что Н есть пря.чая сумма взаимно ортогонапьных шщпространств М и М" и пишут Н=М!йМ~. Ясно, что понятие прямой суммы может быть непосредственно обобщено на любое конечное или даже счетное чиоло подпространств; именно, говорят, что Н есть прямая сумма своих подпространств М!,..., Мп,,,. Н = М! !й...
й! М„!й..., если 1) подпространства М, попарно ортогоиальпы, т.е. любой вектор из М; ортогонален любому вектору из Мь при !;Е 7о; 2) каждый элемент !' й Н ыохоет быть представлен в виде У = а! + . + пп + !!и е Мп причем если число подпространств М„бесконечно, то 2 й!о„),'о -- п сходящийся ряд.
Легко проверптоп что если такое представление элемента ! существует, то оно единственно и что 174 22с !П. Пормироооииие и еиоиологичесиие иросеороисеоее Наряду с прямой суммой надпространств можно говорить о пря- мой сумме конечного или счетного числа произвольных гильберто- вых пространств. Именно, если Н1 н Нг — два гильбертовых про- странства, то их прямая сумма Н определяется следующим обра- зом: элементы пространства Н вЂ” это всевозможные пары (Ь1, Ьг), ГДЕ Ь1 б Н1, Ьг 6 Нг, а СКаляРное произвндение днух таких пар равно ((Ь1'Ьг) (Ь1~Ь2)) (Ь1 Ь1) + (Ь2~Ь2). В пространстве Н содержатся, очевидно, взаимно ортогональные подпространства, состоящие из пар вида (Ь1,0) и (О,Ь2) соответ- ственно; первое из них можно естественным образом отождествить с пространством Н1, а второе — с пространством Нг.
Аналогично определяется сумма любого конечного числа про- странств. Сумма Н = 2 ЮНи счетного числа пространств Н1,..., Н„,... определяется так: элементы пространства Н вЂ” это всевоз- можные последовательности вида Ь = (Ь1,..., Ь,... ), Ьи б Н„, такие, что 2 !!Ь„!!2 < со. Скалярное произведение (Ь,д) элементов и Ь и д из Н равно ;;-(1,и,дп) и 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств.
Рассмотрим следующий вопрос. Пусть Л --- нормированное пространство. Каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма, определенная в Н, чтобы пространство К было евклидовым, т.е. чтобы норма в нем определялась некоторым скалярным произведенном? Иначе говоря, как охарактеризовать евклидовы пространства в классе всех нормированных пространств? Такую характеристику дает следующая теорема, Теорема 8. Для того чтобы нормированное пространство Я было евклидоэым, необходимо и достаточно, чтобы лля любых двух элемептов, ! н д, выполнялось равенство !!У+ д)! + !!У вЂ” 9!!2 = 2(!!У!! + !!д!!2). (25) Поскольку ! + д и ! — д — это диагонали параллелограмма, построенного на сторонах ! и д, равенство (25) выражает известное свойство параллелограмма в евклидовом пространстве: сумма каадрапгое диагоналей параллелограмма равна сумме квадратное всех его оп!арон. Таким образом, необходимость условия очевидна. Докажем его достаточность.
Положим (У,д) = 4((!Х+д!!' — У вЂ” 9)!'), (2б) з 4. йвхлидовм 1ьрбстрангливп 175 и покажем, что если равенство (25) выполнено, то функция (25) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Поскольку при ( = д имеем (/,г") = 1(!!2Д~ — !!г — Лз) = !(Д~, (27) это и будет то скалярное произведение, которое порождает в пространстве Л заданную там норму.
Прежде всего, из (26) сразу видно, что (У,д) = (д,У), т.е. выполнено свойство 1) скалярного произведения. Кроме того, в силу (27) имеет место и свойство 4). Для установления свойства 2) рассмотрим функцию трех векторов Ф(7, д, й) = 4[(7" + д, Ь) — (7', Ь) — (д, 6)], т, е. 4И,д,й) = !!у+д+ 5(!' — !!у+д — 6!!з— — (!У+ Ч'+ !!У вЂ” М!' — ((д+ Ч'+ !(д — Ч'.
(28) Покажем, что оца тождественно равна нули>. В силу (25) имеем !!У+ д х Ц' = 2!!У х Ц'+ 2!!д!!' — !!,( х Ь вЂ” д!!' Подставив соответствугощие выражения в (28), получим 4(1 д.й =-!(У+5-д!!'+((Х вЂ” Ь-д!!'+ + (!г + Ц вЂ” !(г — Ц вЂ” (!д+ 8((~+ !(д — Цз. (29) Взяв полусумму (28) и (29), имеем ФУ д 6) = -((!д+ (г+ й! + ((д+ 5 — Л )— 2 (!(д В силу (25) первое слагаемое равно !!д+ Ч'+ (!Л'* а второе — равно Цг (1г !(з Таким образом, 4У,д,й) =-О. Установим, наконец, свойство 3) -- однородность скалярного произведения. Рассмотрим для этого при любых фиксированных г" и д функцию Зр(с) = (су,д) — с(у,д). го. 1Д. 77ормггрованнис и пгоггооогинсские ггроспгранспгва 176 Из (26) сразу следует, что д(0) = 41ад1!т — !'дй') = О н гго( — 1) = О, поскольку ( — 7', д) = — (у, д).
Поэтому для лкгбого целого и (М д) = (еап гг(7' + " + 1):д) = = айпи((у,д) +. + ((,д)) = )п)зйпп(7',д) =-гс(у,д), т. е. ер(гг) =- О. При целых р, д и д ф 0 т.е. гр(с) = О при всех рациональных с; поскольку функция ер нспреывна, р г,о(гг) = О. Тем самым мы показали, что фунхция (7', д) обладает всеми свойствами скалярного произведения. Примеры. 1. Рассмотрим п-мерное пространством",, в котором норма определена формулой При р > 1 все аксиомы нормы выполнены, однако евклидовым пространством К,", будет только прп р = 2.
Действительно, раеслготрнм в 2,", дна вектора: 7' = (1, 1„0,0,..., 0); д = (1,-1,0,0,...,0); имеем 7е+ д = (2,0,0,...,0), ,1 — д = (0,2,0.....,0), откуда 'ОУйр — — Щ!р = 2'гпг 'йу + 17йр —— ~)У вЂ” дйр — — 2, так что тождество параллелограмма (25) при р 1Г. 2 не выполняется. 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке [О, к/2). Положим 7(Ф) = сов С, д(С) = ап й с го 1 д. Бпнлидппы прппплрапмппп !!,с + сС!! = псах !сов С+ з!пС! = лГ2. о<с< .сг !!У-у!! = сссах !созС-зшС! = 1 о<с< сг Отсюда видно, что ! !У+ у!!г + !!.( — у!!' Ф 2(!!Л'+ !!у!!') Таким образом, норму пространства С[О, я~2! нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного произведения. Легко видеть, что и пространство непрерывных функций С(а,б! на любом отрезке (а, 6! не есть евклидово пространство.
9. Комплексньсе евклидовы пространства. Наряду с действительным может быть введено и комплексное евклидово пространство (т. с. комплексное линейное пространство со скалярным произведением в нем). Однако аксиомы 1) — 4), сформулированные в начале этого параграфа, не могут быть в комплексном прщ:транстве выполнены одновременно. Действительно, нз 1) и 3) слсосует (Лх, Лх) = Лг(х, х), откуда при Л = с нмеслс (сх,сх) = -(х,х), т. е. скалярные квадраты векторов х и сх не могут быть одновремен- но положительны.
Иными словами, аксиомы 1) и 3) несовместимы с аксиомой 4). Поэтому аксиомы, с помощью которых определяется скалярное произведение, в комплексном случае должны быть не- сколько изменены по сравнению с действительным. В комплексном пространстве скалярное произведение мы определим как числовую (комплекснозначную) функцию двух векторов, удовлетворяющую следусощим условиям: 1) (х,у) = (у,х), 2) (Лх, у) = Л(х, у), 3) (хс + хг, у) = (хс, у) + (хг,у), 4) (х, х) > О, причем (х, х) > О, если х ф О.
(Таким образом, мы внесли поправку в первую аксиому, сохранив три остальные без изменений.) !'л. !РЛ Нермиреееннне и пмполееинеекие прееперанееаеа Из условий 1) и 2) следует, что (х, Лу) = Л(х, у). Действительно, (х, Лу) = (Лу, х) = Л(у,х) = Л(х,у). Хорошо известный пример комплексного евклидова пространства и измерений — это линейное пространство С" (пример 2 ~ 1), в котором скалярное произведение элементов х = (хы...,хи) и у = (уы...,уп) определяется формулой (х,у) = 2 хьуь. ь=! Как известно, всякое комплексное евклидово пространство размерности и изоморфно этому пространству.
Примерами бесконечномерных комплексных евклидовык пространств могут служить: 1) комплексное пространство !г, в котором элементы — — это последовательности комплексных чисел х, = (хь,...,хп,...), удовлетворяющие условию )х„) ( оо, пн1 а скалярное произведение определяется формулой (х, у) = ~ хпуп! и=! 2) пространство Сг(а, Ь) комплекснозначных непрерывных функций на отрезке (а, Ь] со скалярным произведением ь У,д) = (У(1)д(1) 1!. а В комплексном евклидовом пространстве длина (норма) вектора определяется, как и в действительном случае, формулой 'йхй = фх,х). Понятие угла между векторами в комплексном случае обычно не вводят (поскольку величина ' , вообще говоря, комплекс(х, у) ная и может не быть косинусом какого-либо действительного угла); однако понятие ортогональности сохраняется: элементы х и у называются взаимно орпьогональными, если (х, у) = О. 1 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
