А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 35
Текст из файла (страница 35)
11Ь 11ормироооппме и пгопологипггпиг проотропгтоо — линейно независимая система элементов н енклидоном простршг- стне Л. Тогда н Л существует система элементов Ры ~ Фп~ удовлстноряюшал штелукиним условиям: 1) система (9) ортогональная и нормированпня; 2) каждый элемент егп есть лннейяая комбинация элементов Л:" 1: Уп = агп,11+ . + нппУн причем а„п ф 0; 3) КнжДЫй ЭЛаисвт Уп ПРЕД1СтаНЛЯЕткн и НИДЕ тп = ЬпгУ1 + ...
+ Ьпп~Рги пРнчем Ьпгг ~ О. Каждый элемент системы (9) определяется условиями 1) 3) однозначно с точностью до множителя ~1. Доказательство. Элемент оог щцется и виде р1 = а11у1, при этом ам определяется из условия М1,М =а' (Л:Л) =1, откуда 1 ь ъ~(У» Л ) Ясно, что ~рг определяется этим однозначно (с точностью до знака). Пусть элементы рь(й < и), удовлетворяющие условиям 1) "3), уяге построены. Тогда )и можно представить в виде У = Ьп1гР1 +... + Ь,, г Рп г + Ьп. где (Ь~,уь) = 0 при Ь < и. Действительно, соответствующие коэффициенты Ььь, а значит, и элемент Ь, однозначно определяются из ушювнй (Ьп, рн) = Уп — Ь„, р, —...
- Ь„,„,~„„р,) = = У„,,р,) — Ьпь(~ь ~,) = О. Очевидно, что (Ьп, йп) > 0 (предположение (й„, Ьп) = О противоречило бы линейной независимости системы (3)), Положим Ь„ ,у(Ь„, Ь„) ' 1 4. Еааладввы араатранатава !в! Из индуктивного построения ясно, что йа, а значит, и ьо„, ныражаютгя через уь,...,1„, т.е. ьра аа па!1!+...+оа„у„, где п„а = — — ф. О. Кроме того, /(!-, Е.,) (!о„, ра) = 1, (за„, заг) = О, й < и, Уа = Ь„ь рь +...
+ Ь„„~ „, Ь„„ж,/~„, Ь„) зг О, г.е. ьаа удовлетворяет условиям теоремы. Переход от системы (8) к системе (9), удовлетворяюпьей условиям 1) 3), называется процессоль орпьогонвлизации. Ясна, что подпространства, порожденные снстемамн (8) и (9), совпадают между собой. Следовательно, зги системы полны или це полны одновременно. Следствие. В сепарабельном евклидовом пространстве В суьцеььтвует ортогональный нораьнроваыььый базис. Действительно, пусть фь,...,ф„,...
— счетное всюду плотное множество в ь1. Выберем из него полную систему линейно независимых злемептов ((„). Для етого достаточно из последовательности (Еьа) нсклкьчить все те элементы ф„, каждый из которых может быть представлен как линейная комбинация 6, с ь < й. Применив к полученной таким образом полной систеъьс линейно независимых злементов процесс ортогонализации, мы и построим ортогональный нормированный базис. 4.
Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Выбрав в и-мерном евклидовом пространстве ортогональный нормврованпый базис еь,..., е„, можно каждый вектор х б ьза записать в виде и х = ~~ сгеы ь=ь (10) ь.де (11) сг = (х,еь). Ухпраж пения. 1. Привести пример (несепарабельного) евклидова пространства, в котором нет нн одного ортогонального базиса. Доказать, что в полном евклпдовом пространстве (не обязатььзьььо сепарабе ььном) существует ортогонвльный нормированный базак. 2. Доказать, что в полном овклидовом пространстве (не обязательно сепарабельном) всякан последовательность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограннченных множеств имеет непустое пересечение (ср.
с упражнениями и. 2 3 3 гл. И и и. 3 З 3 атой главы). рл. П!. Нормированные и топало!ические пространства 1Бэ Выясним, как обобщить разложение (10) на случай евклидова бесконечномерного пространства. Пусть !р! . ~ !рп (12) (14) В атом случае и Ц вЂ” Я„)( = ))Д вЂ” ~~! сы ь=! (17) -- ортогональная нормированная система в евклидовом пространстве й и 1 — произвольный элемент из В. Сопоставим элементу 1 б В последовательность чисел сь = (!е, (рв), и!' = 1, 2,...; (12) числа св мы будем называть координатами, или козффициенепами Фурье элемента 1 по системе (!рь), и ряд (пока формальный) ~~!, сь!ры ь который мы назовем рлдоле Фурье элемента у по системе (!р„).
Естественно возникает вопрос: сходится ли ряд (14), т.е. стремится ли последовательность его частичных сумм (в смысле метрики пространства Л) к какому-либо пределу, и если он сходится, то совпадает ли его сумма с исходным элементом 1? Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим предварительно следу!о!ну!о задачу: при заданном п подобрать коэффициенты оь (Й = 1,..., и) так, чтобы расстояние между ! и суммой Я„т ~~! ов!рв (1б) ь=! было минимальным.
Вычислим это расстояние. Так как система (12) ортогонвльна и нормирована, то и и ~)У - В„~~' т (У вЂ” ~ о, р„У - ~' о, р,.~ = ь=! ь=! и и и = (у,у) — 2((,~~! оеар!) + () аь!ры ~ ге!.!р ) = ес=! я=! о=! и и и и = )Ят — 2~~ пусь+~~ о!в = ()Лз — ~~ се, + ) (сц, — св)а. в=! ь=! Ьи! ь=! Ясно,что минимум этого выражения достигается тогда, когда последнее слагаемое равно О, т.
е. при оь =се, Й= 1,...,п. (16) 1 4. Явплпдпвн проетрапстпоа !бз Мы показали, что среди всех сумм вида (15) при данном и наименее уклоняется от 7" частичная сумма ряда Фурье элемента 1. 1"гометрически этот результат можно пояснить следующим образом. Элемент и 1 — ~~', оййпй й=1 ортогонвлен всем линейным комбинациям вида и )1йж., й=1 т.е. ортогонален подпространству, порожденному элементами уы...
..., ~о„, в том и только том случае, когда выполняется условие (16) (проверьте это!). Таким образом, полученный нами результат пред- ставляет собой обобщение известной теоремы элементарной геомет- рии: длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую или плоскость, меньше, чем длина любой наклонной, проведенной из той же точки. Так как всегда Ц вЂ” Я„'О' > О, то из равенства (17) следует, что ей <'ОД . й=! Здесь и произвольно, а правая часть не зависит от и; следовательно, ряд ~', с~~ сходится и ей<)Я.
(18) й=1 Это неравенство называется неравенством Бесселя. Геометрически оно означает, что сумма квадратов проекций вектора У на взаимно ортогонвльные направления не превосходит квадрага длины самого вектора 7'. Введем следующее важное понятие. Определение 1. Ортогональная нормированная система (12) называется вамкнугиои, если для любого 1 Е Й справедливо равенство с~ ~= ))Д~, (19) й=й называемое равенством Парсевала.
Из тождества (17) следует,что замкнутость системы (12) равносильна тому, что для каждого / 6 Л частичные суммы ряда Фурье с„йо„ сходятся к 7. !б4 1"л, !П. Нормированные и еиоиологинеение нроетранеи~ва Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с введенным выше понятием полноты системы. Теорема 2. В сепарабельном евклидовом пространстве Л всякая полная ортогональная нормированная система является залекнутой,и обратно.
Доказательство. Пусть система (4р„) замкнута; тогда, каков бы ни был элемент г е Л, последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к у'. Это означает, что линейные комбинации элементов системы (у1„) всюду плотны в Л, г.е. система (у ) полна. Обратно, пусть система (1ри) полна, т.е. лк1бой элемент 1 и Л можно сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинацией 2 оьеоь элементов системы (Уи); частичнаЯ сУмма 2 срань Ряда 1=1 /с=.1 Фурье для у дает не менее точную аппроксимацию.
Следовательно, ряд 2 сгд1 сходится к У, и равенство Парсеваля имеет место. В предыдущем пункте мы доказали существование полных ортогональных нормированных систем в сепарабельном евклидовом пространстве. Поскольку для ортогональных нормированных систем понятия замкнутости и полноты совпадают, существование замкнутых ортогональных систем в Л не нуждается в новом доказательстве, а приведенные в предыдущем пункте примеры полных ортогональных нормированных систем являются в то же время примерами замкнутых систем.
Выше мы все время предполагали рассматриваемые ортогональные системы нормированными. Можно переформулировать понятия коэффициентов Фурье, ряда Фурье и т, д, и для лк1бых ортогонвльных систем. Пусть (у„) -- произвольнаяортогональнаясистема. По ней можно построить нормированную систему, состоящую из элементов 16„= у„/()1р„(!. Для любого ( Е Л имеем с„= (1,141н) = — (у,у„), " =!М-!! Е =Š—;„ с си4Ри = л — "Р„= У а„<Р„, и=1 и=1 и=1 е„(У зои) и (! (( о (! 2 ' (20) Коэффициенты о„, определяемые формулой (20), мы назовем коэффициентал4и фурье элемента у по ортогональной (ненормирован- !во 1 4, Яеклпдоем прострапстеа ной) системе (~рп).
Подставив в неравенство (18) вместо сп их вы- ражения сп = о„()р„)! из (20), получаем ()!р,Д а„< ))Д и=! (21) — - неравенство Бесселя для произвольной ортогональной системы. сходился. Оказывается, что в полном пространстве это условие не только необходимо, но и достаточно. Именно, справедлива сле- дующая теорема. Теорема 3 (Рисе — Фишер). Пусть (!оп) — — произвольная ортогональная нормированная система в полном евклидовом прогтранстве Й, и пугть числа с!,..., гп, таковы, что ряд с,, (22) ь=.! сходится, Тогда существует такой элемент 1' Е гГ, что сь = (г,ч!ь), 2 (с Зс) !) с!!2 Доказательство.
Положим п У = ~~',сорти ь=! б. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса— Фишера. Начиная с п. 3 мы рассматривали сепарабельные евклидовы пространства; с этого момевта мы будем, кроме того, предполагатро что рассматриваемые пространства полны. Итак, пусть  — полное сепарабельное евклидово пространство и (~рп) -- некоторая ортогональная нормированная система в нем (не обязателыю полная).
Из неравенства Бесселя следует,что для того, чтобы числа с1,...,с„,... служили коэффициентами Фурье какого-либо злемента г" С й, необходимо, .чтобы ряд геь Гл. Пг. Нормароеаннме а гаоаологачесаие ггросвгрансвгоа Тогда а+р г(,ггг-го,ггг(( = г(са+1гда+1 + ° ° + сааргдоч-р(! 2 2 % ~ 2 в=а+1 Так как ряд (22) сходится, то отсюда в силу полноты В вытекает сходимость последовательности (у„) к некоторому элементу у Е Л. Далее (Ла) = Уа,Ю1)+(( — 1, Рг). (23) пРичем спРава пеРвое слагаемое пРи и > 1' Равно со а втоРое стРемится к нулю при и †> оо, так как ИУ вЂ” У,Р1)! ~ 1!У вЂ” М !М!г.
Левая часть равенства (23) от и не зависит; поэтому, переходя в нем к пределу при и -1 со, получаем, что (У,Ю1) = ' Так как, по определению у, )( ( — Я) -г О при н -+ со, то сь — — (у, ~). Ь=1 Действительно, а п (( — ~ ~сарг, ( — ~ ~сггрь) = (г,у) — 2 с2 -+ О при и -+ оо. Установим в заключение следующую полезную теорему. Теорема 4. Для того чтобы ортогональная нормированная система (ага) в полном сепарабелыюм евклидовом пространстве была полна, необходимо н достаточно, чтобы в Н не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам системы (ггга).
Доказательство. Пусть система (гр„) полна в, следовательно, замкнута. Если г" ортогонвлен всем элементам системы (аг„), то все его козе)гфициенты Фурье равны нулю. Тогда из равенства Парсеваля получаем (у, у) = ~ сьз = О, 1=1 т.е. г = О. з 4. Квквидввы прввтрапвгпва Обратно, пусть система (пап) не полна. Тогда в Л существует такой элемент д аб О, что (д,д) > ~~~ с„, где сь = (д (рь). 4=1 На основании теоремы Рисса-Фишера существует такой элемент ,1 6 Й, что ((,1рь) =ею ((,,1) = ~ ~сь. Ь вЂ” а3 Элемент à — д оРтогонален всем 1вь Из неРавенства (1',)') = ~~~ с~.
< (д,д) еле,иует, что г — д ф О. У и р а ж н е н и я. 1. Пугть Н вЂ” полное евклидова пространство (не обязательно сепарабельное); тогда в нем существует полная ортогональная нормированная система (1ва) (см. упражнение 1 в и. 3). Доказать, что для всякого вектора 1 Е Н справедливы разложения где в суммах, стоящих справа, имеется ве более счетного числа отличных от 0 слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
