А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Примеры. 1. При А = Х имеем, очевндпо, Рв(х) о— в О. 2. Пусть А — — шар с центром О и радиусом т в Жп. Тогда РА(х) !!х)!/~ где !)х!! .— длина вектора х. 3. Пусть А — «слой» вЂ” 1 < х1 < 1 в пространстве !т последоиательностей х = (х1,..., х„,...). Тогда РА(Х) = !Х1!.
Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно-выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение +оо (но не — оо). Тогда из равенства Р(ах) = ар(х) (где се > 0) следует, что р(0) = О или р(0) = оо. Легко "К 2. Пннуквне множестве и вмнуквне функюЮивнвлн юаз проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив р(0) = О вместо р(0) = +ос.
Так обычно и делают. Если р(х) — однородно-вынуклый, но не обязательно коне юный, функционал, то А = (х: р(х) ~ к) есть выпуклое множество, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если А — произвольное выпуклое множество, содержащее точку О, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для т допускать и значение +со. 2. Если рю(х) и ра(х) — - однородно выпуклые функционалы, то таковы же рю(х) +рз(х) и арю(х) прп а л О. Далее, если (р,(х))вен -— проиэвольное семейство однородно-выпуклых функционалов, то таков н функционал р(х) = впрр,(х).
В частности, верхняя грань вез р(х) = зпр /,(х) любого непустого множества линейных функционаеев лов на Ь есть однородно-выпуклый функционал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать, что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал. Упраж не н ке. Множество А в линейном пространстве Е называл.тюк пвглинюаюнюююм, если для всякого х е Ь существует такое о > О, что х к ЛА для всех Л ) о. Доказать, что выпуклое множество А — поглощающее в том н только том случае, если его ядро содержит точку О 4.
Теорема Хана — Баиаха. Пусть Ь вЂ” действительное линейное пространство и Еп — некоторое его подпространство. Пусть, далее, ла подпространстве Ье задан некоторый линейный функционал 2е. Линейный функционал у, определенный на всем пространстве Ь, называется продолпюсенпем функционала 2о, если .ю(х) = юп(х) для всех х е Еп, Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов играет следующая теорема. Теорема 4 (Хан — Банах). Пусть р - — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве.б, и пусть Те — линейное лодпространство в ь. Если юп -- линейный функционал на Ье, подчиненный на ьп функционалу р(х), т.е. волина Ьп Ь(х) < р(х), (О) то уп может бьггь лююдопжен до линейного функционала у па Ь, пал чиненного р(х) на всем Х,.
14б !И. 111. Нормированные и топоеоги.гесаие пространства Доказательство. Покажем, что если Ьо Ф Е, то функционал 1о можно продолжить с Ьо на некоторое большее подпространство Ь' с сохранением условия (9). Действительно, пусть г — произвольный элемент из А, пе принадлежащий Ьо, и пусть Е/ -- надпространство, порожденное Ьо и х.
Каждый элемент из Ь' имеет вид 1з + х, где х Е Ьо. Если у' — искомое продолжение функционала уо на Ьг, то У'(1е+ х) = СУ'(х) + Уо(х), или, если положить у'(е) = с, у'(Ые + х) = 1с+ уо(х). Теперь выберем с так, чтобы сохранить на Ь' условие подчинения (9), т.е. так, чтобы при всех х Е Ьо и всех действительных $ выполнялось неравенство уо(х) + 1с < р(х + М). При ~ > О оно равносильно условию уо(д) + с < р(х1 + х), или с < р(х1 + з) — уо(и), а при 1 < Π— условиго уо ® + с > -р(-х — х) „ или с > — р(-т — з) — Уа(т).
Покажем, что всегда существует число с, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть р' и уи — произвольные элементы из Ьо. Тогда -УО(ри) +Р(ра+ ) > -УО(У') — Уг(-У' — ). (10) Это вытекает из неравенства уо(уи)-уо(у') < р(уи-р') = р((уи+х)-(р'+х)) < р(ра+х)+р( — Ъ'- ). Положим с = ш1( — Уо(Р ) +Р(У + е)), с = зцр( — Уо(у ) — р( — у — з)). Из (9) в силу произвольности у' и уо следует, что си > сг.
Выбрав с так, что с" > с > с', определим функционал у' на Х' формулой у'Ь +х) тес+уз(х). Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9). 'З' 2. йыиуклые мнооееееиева н выиуклые функционалы 147 Итак, мы показали, что если функционал Хо определен на некотором подпространстве Хи С Х и удовлетворяет на Хо условию (9), то Хв можно продолжить с сохранением этого условия на некоторое большее подпространство Л'. Если в Х можно выбрать счетную систему элементов х1,..., х„,..., порождающую все Ь, то функционал на Х строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств Ь(1) = [Х,о х1) Ь(2) = (А(1) х.) ...
(здесь (Х(ь1, хьъ1) означает минимальное линейное (юдпространство в Х, содержащее Х("1 И Хуа1). Тогда каждь1й ЭЛЕмЕнт х б Х, войдет в некоторое Х(1> и, следовательно, функционал будет продолжен на все Х.. В об1цем случае (т.е. когда счетного множества, порождающего Х, не существует) доказательство заканчивается применением леммы Цорна.
Совокушюсть У всевозможных продолжений функционала Хе, удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество Уе обладает верхней граяью; этой верхней гранью служит функцнонал, определеннь1й на объединении областей определения функционалов Х' е Уо и совпадающий с каждым таким Х' на его области определения. В силу леммы Цорна во всем У существует максимальный элемент Х. Этот максимальный злемент Х и представляет собой искомый функционал.
Действительно, он является продолжением исходного функционала Хе, удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем Ь, так как иначе мы продолжили бы его описанным вылив способом с того собственного подпространства, на котором он опрсдечен, ~а ббльшее подщюстранство, и Х це был бы максимальным, Теорема доказана. Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха. Неотрицательный функционал р на комплексном линейном пространстве Х называется однородно-выпуклым, если для всех х, у к Х и всех комплексных чисел Л р(х + у) ( р(х) + р(у), р(Лх) = (Л(р(х).
Те о ре ма 4а. Пусть р — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве Х,, а Хо -- линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве Хи С Х и удовлетворяющий на нем условию ~Уе(х)) < р(х), х б Ьо. 148 Рл.
!П. Нормированннг и гпопологичггпиг проогпраноигва Тогда существует линейный функционал /, определенный па всем Ь и удовлетворяющий условиям (Дх)! < р(х), х 6 Е; Дх) = ~о(х), х Е Ес. Доказательство. Обозначим через Ьн и Аон пространства Е и Ьо, рассматриваемые квк действительные линейные пространства. Ясно, что р — — однородно-выпуклый функционал на Ьн, а уон(х) = = Ееуо(х) -- действительный линейный функционал па Еон, удовлетворяющий услонию ~Ьн(*)) < р(х) и, тем более, условию .гон(х) < р(х). В силу теоремы 4 существует действительный линейный функционал ун, определенный на всем Ьн и удовлетворяющий условиям 1н(х) ~< р(х)) х б Ал(га Е), Ун(х) = Тон(х), х 6 Ьон(го Ьо). Ясно, что — (н(х) = (н( — х) < р( — х) = р(х), так что ~~н(х)~ < р(х), х б Ьн(ол Ь).
(11) Определим функционал у на Ь, полагая ,((х) = уя(х) — гун(гх) (здесь мы пользуемся тем, что Ь вЂ” комплексное линейное пространство, твк что в нем определено умножение на комплексные числа). 11епосрецственная проверка показывает, что у —. комплексный линейный функционал на Ь, причем .гг(х) = уо(х) при х с Ьо, Ве у(х) = 1н(х) при х б Л.
Осталось показать, что Д(х)) < р(х) для всех х Е Ь. Допустим противное; тогда для некоторого хо Е Ь имеем Щхо)( > р(хо). Представим комплексное число у(хо) в виде у(хо) = рево, где р > О, и положим уо = е олхв. Тогда (н(уо) = йеУ(уо) = Ще 'оГ(хо)) = Р > > р(хр) = р(рв), что противоречит условию (11). Теорема доказана. Упражнение. Покюките, что условие конечности функционала р в теореме Хана-Банана можно опустить. 5.
Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть 1 — действительное линейное пространство, а М и гУ вЂ” - два его подмножества. Говорят, что определенный на Т, ли- 1 хк нмпвклме мпоэсестеа и емпкклыс фкпкчпепали нейный функционал Х разделяет зги множества, если существует такое число С, что Х(г)>С при хбМ и Х(х)<С при ха%, т.е. если 1пХ Х(х) > зпр Х(х). хем Функционал Х называется сгпрого разделлюплим множества М и М, если выполнено строгое неравенство нз( Х(х) > зпр Х(х).
хем хен Следующие два утверждения непосредственно вытекают нз определения разделимости. 1) Линейный функционал Х разделяет множества ЛХ и К в том и только том случае, когда он разделяет множества ЛХ вЂ” Л' и (О) (т, е. множества всек злементов вида х — р, где х Е,М, р Е гк', н точку О). 2) Линейный функционал Х разделяет множества М и Ю в том и только том случае, когда при каждом х е Х он разделяет множества М вЂ” х и Л вЂ” х.
Из теоремы Хана-Банаха легко получается следуюгцая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном пространстве, имеющая многочисленные применения. Теорема 5. Пусть М н гк' — выпуклые множества н действительном линейном пространстве Ь, причем ядро хотя бы одного нз них, скажем ЛХ, не пусто и не пересекается с другим множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал на Г, разделяющий М н )У. Доказательство. Ьез огрщгичения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру М множества М. (Иначе мы рассмотрели бы множества М -хе и ге'-хе, где хе б М.) Пусть уо Е М, тогда точка — уе принадлежит ядру множества ЛХ вЂ” гк', а 0 принадлежит ядру К множества К = М вЂ” гк' + уе.
Так как ЛХ О ге' = ю, го 0 не принадлежит ядру М вЂ” г1' и уе 1с К. Пусть р .. функционал Минковского для К. Тогда р(уе) > 1, поскольку уе ф К. Введем линейный функционал Хо( р ) = р(ро). Он определен на одномерном пространстве, состоящем из злементов вида аре, и удовлетворяет условию Уо(оуо) ~ р(пуп) го о Гл, пь Нармирааанкыа и гаааалагаческие праагаракггааа поскольку р(пуо)а пр(уо) при п>0, и Ь(оуо)=пУо(уо)<0<р(оуо) при о < О. По теореме Хана-Ьанаха функционал уо можно продолжить до линейного функционала у, определенного на всем Е и удовлетворяющего нв, Ь условию 1(у) < р(у). Отсюда следует, что 1(у) < 1 пРи У б К и в то же вРемЯ 1(Уо) > 1.
Таким обРазом, 1 РазделЯет множества К и (уо), а следовательно, / разделяет М вЂ” 1к и (О); но тогда 1' разделяет множества М и Ж. Теорема доказана. З 3. Нормированные пространства В главе П мы занимались топологическими и, в частности, метрическими пространствами, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
