А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 28
Текст из файла (страница 28)
13 Рис. 12 Рис. !4 Однако при одинаковом порядке прохождения точек пространства выбор «параметра» 1 мы будем считать несущественным, Например, функции, изображенные на рис. 15 и 16, определяют одну и ту же «кривую», расположенную на оси у, хотя значения параметра 1, отвечающие какой-либо точке кривой, в случаях рис. 15 и 16 могут быть различными. Например, в случае рис. 15 точке А соответствуют на оси 1 две изолированные точки, а в случае рис. 16 — одна изолированная точка н лежащий правее нее отрезок (когда 1 пробегает этот отрезок, точка на кривой остаетси на месте), (Допускать такие отрезки неподвижности Р = т'11) будет удобно в дальнейшем при исследовании компактности систем кривых.) Рис. 16 Рис.
15 Перейдем к формальным определениям. Две непрерывные функции Р=~'<1'), Р=~"~ги), определенные соответственно на отрезках З В. Криеыс е емтричгскпя прос1лрансюпвак 127 и принимающие значения в метрическом пространстве И, назовем зквпеаленгпнымп, если существуют две непрерывные неубывающие функции =Ч(1) " =1з (1) определенные на некотором отрезке а <1 <Ь и обладающие свойствами ю'(а) = а', ю'(6) = 6', у (а) = а, 1в (6) = Ь, Х'[ '(1» = Хл[ л(1)[ для всех 16 (а,Ь[. Легка видеть, что так внедениое отношение эквивалентности рефлексивно (у эквивалентно 7'), симметрично (если /' эквивалентно у'', то 7" эквивалентно /').
Можно показать, что оно и транзитивно (из эквивалентности 7 и 7 и эквивалентности / и 7 вытекает эквивалентность 7' я 7~~~). Поэтому все непрерывные фуниции рвссматриваелюго типа разбиваются на классы функций, эквивалентных между собой. Кюкдый такой класс и определяет непрерывную хривую в пространстве Рт. Длн любой функции Р = 7"'(Г'), определенной ва каком-лабо отрезке [а, Ь [, найдется эквивалентная ей функция, определенная на отрезке [и", Ьл[ = [О„Ц. Действительно, достаточно положить ') 1 =у(1)=(Ь вЂ” а)1+о, 1 = р (Г)=й Таким образом, всякую кривую можно предполагать заданной параметрически при помощи функции, определенной на отрезке [О, Ц.
Поэтому целесгюбразно ввегти в рассмотрение пространстно Сгн непрерывных отобрюкений У отрезка 1 = [О, Ц в пространство й с метрикой Будем счнтатьч что последовательность кривых Бм ..., 1„,... сходится к кривой 6, если кривые Х можно параметрически представить в виде Р = („(1), 0 ( 1 < 1, а кривую Б — в виде Р = 7'(1), 0 < Г < 1, так что р(У, У ) з 0 прн и -> оо.
применяя обобщенную теорему Ариеля (теорема 7 з 7), легко доказать следующую теорему. ) Мы считаем, что всегда а < Ь. Однако мы ие исключаем «кривых», которые состоят из одной-единственной точки и получаются, если на [а, Ь) функция 7(1) постоянна. Эзп тоже удобно для дальнейшего.
1л. П, зее>аричесхие и тоиояогические пространства Т.еорг.ма 1. Если лоследовагелытсть кривых Ь>,...,Е„,..., лежащих и компакте л, можно предстаоять ларзметрическл при помои>и ровлостелеипо веорерывлых функций ил отрезке [О, Ц, то из нее г>ожзо выделить схопящуюся лодлоследооательногзь. Определим теперь длину кривой, заданной лараметрическн функцией Р=ф(Е), а<1<Ь, как верхнюю грань сумм вида о ',.р(П1>- ), П1 )).
'=1 где точки 1, подчинены лишь условиям а=10<1>< <С,«1 =-Ь. Легко видеть, что длина кривой нг зависит от выбора ее параметрического представления. Если ограничиться параметрическими представлениями посредством функций, заданных на отрезке [О, Ц, то легко доказать, что длина кривой есть полунепрерывный снизу функци>игвл ог 1 (в пространстве С>л). На геометрическом языке этот результат можно выразить в виде следующей теоремы о полуиепрерывности. Т е о р е м а 2. Если лоследооатсльлость кривых Рш сходится к кривой Ь, то длина кривой б ие болыое нижне>о предела длил кривых То.
Рассмотрим теперь специально кривые конечной длины. Пусть кривая определена параметричсскн функцией Р=/(Е), а<г<Ь. Функция 1, рассматриваемая лищь на отрезке [а, Т), где а < Т < Ь, определяет «начальный отрезок» кривой от точки Р, = ф(а) до точки Рт = ф(Т), Пусть з = ш(Т) — его длина. Легко устанавливается, что Р= у(з) =ПЗ> ( )[ есть новое параметрическое представление той же кривой. При этом з пробегает отрезок 0 ~ (з ~ (о, где Я вЂ” длина всей рассматриваемой кривой. Это представление удовлетворяет требованию р(у(з>), д(зг)) ч [зг — з>[ (длинв луги не меньше хорды). Переходя к отрезку [О, Ц,получим параметрическое представление Р= Р(т) =д(з), т =-3/Я, удовлетворя>ощое условию Липшица р(Р(г>), Р(тг)) < о[т> — тг[. Мы видим, таким образом, что дяя всех кривых длины Я < М, где М вЂ” некоторая коне>нанта, возможно параметрическое предсглооленис равностепенно непрерывнъмии функциями, заданными на отрезке [О, Ц.
К ним, следовательно, применима теорема 1. Покажем силу полученных общих результатов на примере доказатель- ства следующего важного предложения. З 6. Кривые в метричегкия прветраиетвае 129 Теорема 3. Если в комплекте К две точки, А и В, можно соединить непрерывной кривой конечной длншл, то среди таких кривых существует кривая нанменыней длины. В самом деле, пусть Г есть нижняя грань длин кривых., соединяющих А и В в компакте К. Пусть длины кривых Вм..., Ье,..., соединяющих А и В, стремятся к )е. Из последовательности Ви по теореме 1 можно выбрать сходящуюся подпоследоеательность. По теореме 2 пределе ная кривая втой подпоследовательвости не может иметь длину больше 1'.
Отметим, что даже в случае, когда К является замкнутой гладкой (надлежащее число раз дифференцируемой) поверхностью в евклидшюм трехмерном пространстве, зта теорема не вытекает непосредственно из результатов, устананливаемых в курсе дифференциапыюй геометрии, где ограничиваются обычно спучаслэ достаточно близких друг к другу точек 21 и В.
Все изложенное выше приобрело бы ббльнеую прозрачность, если бы мы надавили множество всех кривых данного метрического пространгтва Л структурой метрического прострющтва. Это можно сделать, определяя расстояние между кривыми Вм Ьг формулой где нижняя грань берется по всем возможным парам параметрических представлений кривой Е1 при помощи функции Р = э'1(Ф) (О ~ (1 (ч 1) и криной Ьа при помощи функции Р = Уэ(1) (О » КС ~ (1). Доказательство того, что зто расстояние удовлетворяет обычным аксиомам, очень просто, за исключением одного пункта: представляет некоторые трудности доказать, что из р(йм Ье) = О вытекает тождество кривых Вмбэ Этот факт является непосредственным спедствнем того обстоительства, что нижняя грань и формуле, которой мы определилн расстояние р(Вы Ьэ), достигается при надлежащеле выборе параметрических представлений ум уа.
Но доказательство итого последнего утверждения таксе не очень просто. ГЛАВА П1 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИт1ЕСКИЕ ЛИНЕИНЬ1Е ПРОСТРАНСТВА 3 1. Линейные пространства Понятие линейного пространства относится к числу самых основных в математике, Оно будет играть важную роль не только в этой главе, но и во всем дальнейшем изложении.
1. Основные определения и примеры линейных пространств. Определение 1. Непустое множество 1, элементов х,у,х,... называется линейным, или еекторныле, пространством, если оно удовлетворяет таким условиям: 1. Для любых двух элементов х, у б Х однозначно определен тре- тий элемент в б Ь, называемый их суммой и обозначаемый х + у, причем 1) х+ у = у+ х (коммутативпость), 2) х + (у + х) = (х + у) + е (ассоциативность), 3) в Ь существует такой элемент О, что х+ О = х для всех х б Ь (существование нуля), 4) для каждого х б Ь существует такой элемент — х, что х + ( — х) = О (существование противоположного элемента).
П. Для лк>бого числа а и любого элемента х й Ь определен эле- мент ах Е Ь (произведение элемента х на число а), причем 1) афх) = (а)3)х, 2) 1 ° х=х., 3) (а+,О)х = ах+ 13х, 4) а(х+ у) = ах+ ау. В зависимости от того, какой запас чисел (все комплексные или только действительные) используется„различают комплексные и действительные линейные пространства ~). Всюду, где не оговорено противное, наши построения будут верны как для действительных, так и для комплексных пространств. 1] Можно было бы рассматривать и линейные пространства ннн произвольным полем. 1 /. Линеанме пространства Заметим, что всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное пространство, если ограничиться в нем умножением векторов на действительные числа. Рассмотрим некоторые примеры линейных пространств, предогтавив читателю проверить для каждого из них сформулированные выше аксиомы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
