А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, и компактные, и счетно-компактные пространства характеризуются «поведением» своих открытых покрытий. И в том, и в другом случае из открытого покрытия можно выбрать конечное, но в первом случае речь идет о любых покрытиях, а во втором — только о счетных. Хотя в общем случае из счетной компактности компактность не вытекает, имеет место следующий факт. Теорема 10.
Для пространств со счетной базой понятия компактности я счетной компактности совпадают. Действительно,из любого открытого покрытия пространства Ть имеющего счетную базу, можно выбрать счетное подпокрытие (теорема 5 з 5). Если же Т к тому же и счетно-компактно, то из этого последнего можно в силу предыдущей теоремы выбрать конечное падпокрытие. Тем самым устанавливается, что Т компактно. Замечание. Понятие счетяой компактности топологического пространства оказалось на самом деле (в противовес компактности) не очень удачным и естественным. Оно возникло твк сказать «по инерции». Дело в том, что для метрических пространств (квк и для пространств со счетной базой) этн два понятия совпадают (это будет показано в следующем параграфе).
Прн этом для метрических пространств понятие компактности было поначалу дано именна как наличие у каждого бесконечного подмножества предельной точки, т.е. как определение счетной компактности. «Автоматический» перенос этого определения с метрического случая на топологнческий и привел к понятиьо счетно-компактного топологнческого пространства.
Иногда в литературе, особенно более старой, термин «компактность» понимается как «счетная компактность>, а топологнческое прострвлство, компактное в нашей терминологии, т. е. такое, из каждого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие, называется бикомпактпнмм. При этом компактное хаусдорфово пространство (т.е. компакт) именуется биколеппкпьам, а термин «компвкт» резервируется для обозначения метрического компактного пространства. Мы будем придерживаться тех терминов (компактность, счетная компактность), которые введены 1 7. Кпмььпппьнпптпп и мпьпричтплип прпптрпнппмпп выше; при этом мы и компактные метрические пространства также будем называть компактами, а в тех случаях, когда наличие метрики желательно специально подчеркнуть, — «метрическими компактпами».
5. Прццкомпактные множества. Если множество ЛХ, лежащее в некотором хаусдорфавом пространстве Т, не замкнуто в Т, то М не может быть компактно. Например, ни одно из незамкнутых подмттажеств числовой прямой не является компактом. Может, однако, оказаться, что замыкание [М) такого множества ЛХ в Т уже обладает свойством компактности. Например, этому условию удовлетворяет любое ограниченное подьььвожество па числовой прямой или в п-мерном пространстве.
Введем следующее определение. Определение. Множество М, лежащее в некотором тютьолагическом пространстве Т, называется предкомпактным (нли компактпнмм относшпельно Т), если его замыкание в Т компактно. Аяалогично, М называется с ьетно-предкомлоктнм в Т, если всякое бесконечное подмножества А С ЛХ имеет хотя бы одну предельную точку (которая может принадлежать, но может н не принадлежать ЛХ). Понятие предкомпактности (в отличие ат компактности) связано, очевидно, с тем пространством Т, в котором мы данное множество рассматриваем. Например, множество рациональных точек в интервале (О, 1) предкомпактно, если его рассматривать как подмножество числовой прямой, но оно не будет предкомпактным как подмножество пространства всех рациональных чисел.
Понятие предкомпактности наиболее существенно в случае метрических пространств, о чем будет идти речь в следующем параграфе. З 7. компактность в метрических пространствах 1. Полная ограниченность. Поскольку метрические пространства представляют собой частный случай топологических, на них распространяются те определения и факты, которые были изложены в предыдущем параграфе. В метрическом случае компактность тесно связана с понятием полной ограниченности, которое мы сейчас введем. рм П, Метрические а топалогичсскис пространства Пусть М вЂ” некоторое множество в метрическом пространстве В и е —. некоторое положительное число.
Множество А из В называется е-сетью для М, если лпя любой точки х б М найдется хотя бы одна точка а Е А, такая, что р(х,а) ( е. (Множество А нс обязано содержаться в М н может даже не иметь с М ни одной общей точки, однако, имея для М некоторую е-сеть А, можно построить 2е-сеть В С М.) Например, целочисленные точки образуют на плоскости 1!'чг2-сеть. Множество М называется вполне ограниченным, если для него при любом е ) 0 существует конечная е-сеть. Ясно, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено, как сумма конечного числа ограниченных множеств. Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает приводимый ниже пример 2.
Часто бывает полезно следующее очевидное замечание: если мнозюеетво М вполне ограничено, то его замыкание [М) такгсее вполне ограничено. Из определения полной ограниченности сразу следует,что если само метрическое пространство В вполне ограничено, то оно сепарабельно. Действительно, построим для каждого и в Л конечную Цп-сеть. Сумма их по всем и представляет собой счетное вс!оду плотное в Л множество. Поскольку сепарабельное метрическое пространство имеет счетную базу (теорема 4 ~ 5), мы получаем, что всякое вполне ограниченное метрическое пространство имеегп счетную базу.
Примеры. 1. В и-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, т.е. с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром е, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную (~/п/2)е-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, любюм множестве, лежащем внутри этого куба. 2. Единичная сфера В в пространстве 1г дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Действительно, рассмотрим в о'точки вида е1 = (1,0,0,...,0,0,...), ег = (0,1,0,...,0,0,... ), е„= (0,0,0,..., 1,0,... ).
1 7. Кампакппчаспьь а мспсрпчсскиа прас~арсис~псах !!7 Расстояние между любыми двумя такими точками е„и сса (и ~ сп) равно ьс2. Ото!ода видно, что в 5 не может быть конечной с-ссти ни при каком е ( ь/2/2. 3. Рассмотрим н 17 множество П точек х =. (хс,..., хп,... ), подчиненных условиям )х! ! (~ 1, !хз) ~ (1/2, ..., )х„( » (1/2" Это множество называется оснаенььм параллелепипедом («гильбертовым кирпичом») пространства 17, Оно служит примером бесконечномерного вполне ограниченного множества.
Для доказательства его полной ограниченности поступим еле;!у!ощим образом. Пусть г > О задано. Выберем и так, что 1/2п ' ( с/2. Каждой точке х = (хь,...,хп,...) из П сопоставим точку х* = (хь,..., хп, О, О,...) из того же множества. При этом (2) Ь.с~-~ ь=п Множество П* точек вида (2) из П вполне ограничено (квк огранпчешюе множество в и-мер!!оы пространстве). Выберем в П* кгян!ч. ную е/2-сеть. Ясно, что ова будет в то ясе время е-сетьк! во всем П. Итак, мы показали, что для метрических про!!транств счетная компактность влечет волнуя! ограниченность, которая в свою очередь влечет наличие счетной базы. В силу теоремы 10 Ч 6 отсюда получаем такой важный результат.
2. Компактность и полная ограниченность. Теорема 1. Если метрическое нространствоЛ гчетно-компактно, то опо вполне ограничено. Доказательство. Предположим, что Л не вполне ограничено. Это значит, что при некотором сз > О в Л пе существует конечной еа-сети. Возьмем в Л произвольную точку и!. В Л найдется хотя бы одна такая точка, скажем, аз, что р(о!,аз) > ее (иначе точка а! была бы ез-сетью для Л). Далее, в Л найдется такая точка аз, по р(а!,аз) > са и р(аз,аз) > ее, иначе пара точек а!, ез была бы сз-сетью. Если точки о!,..., аь уже фиксированы, то выберем точку аьь! й Л так, что р(о„аь+!) > ев (!' =- 1,..., к). Это построение дает нам бесконечнун! последовательность а,, аз,..., которая не имеет ни однс!й предельной точки, поскольку р(о„н.) > ее при ! ф.
7, Но тогда Л не счетно-компактно. Теорема доказана. рл. )). Метрические и тоиологические нросгирансгива Следствие. Всякое счетно-компактное метрическое пространство компактно. Мы показали, что полная ограниченность есть необходимое условие компактности метрического пространства. Это услоние не достаточно; например, совокупность рациональных точек отрезка (О, Ц с обычным определением расстояния между ними есть вполне ограниченное, но не компактное пространство: последовательность точек этого пространства 0; 0,4; 0,41; 0,414; 0,4142; ..., т.е. последовательность десятичных приближений числа ~Г2 — 1, не имеет в нем предельной точки. Однако имеет место следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
