А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Теорема 6. Для того чтобы отображение 1 топологического пространства Х в типологическое пространс;тво У было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз Г = 1 '(С) всякого открытого множества С С У был открыт (в Х). Доказательство. Необходимость. Пусть отображение 1 непрерывно и пусть С - открытое множество в У. Докажем, .что Г = 1 1(С) открыто. Пусть х — произвольная точка множества Г я у = г"(х).

Тогда С служит окрестностью точки у. По определению непрерывности найдется такая окрестность 1с, точки х, что )'(У ) С С, т.е. 1к С Г. Иначе говоря, если х и Г, то существует окрестность У этой точки, содержащаяся в Г. Но это и значит, что Г открыто. Достаточность. Пусть Г = 1 1(С) открыто, если С С У открыто. Рассмотрим произвольную точку х 6 Х и произвольную окрестность С„точки у = 1(х). Поскольку у 6 (1г, точка х принадлежит множеству ( 1(сГц).

Это открытое множество и служит той окрестностью точки х, образ которой содержится в б'г. Замечание. Пусть Х и У -- произвольные множества и 1 -.- отображение Х в У. Если в У задана некоторая топология т (т.е. система множеств, содержащая И и У и замкнутая относительно взятия любых сумм и конечных пересечений), то прообраз топологии т (т.е. совокупность всех множеств ~ '(С), где С й т) будет топологией в Х. Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе суммы и пересечения множеств (см. 02 гл. 1). Мы обозначим эту топологию 1 '(т). Если теперь Х и У вЂ” топологические пространства с топологиями т и тг, то теорему 6 можно сформулировать так: отпобразссение /: Х вЂ” > У непрерывно о пюм и сполоха пюм случае, если топологсие т, сильнее гпопологии 1 1(т„). Из того, что прообраз дополнения есть дополнение прообраза, следует теорема, двойственная к теореме 6.

1О1 1 3. Гтамлааи маииа араазирансгааа Теорема б'. Для того чтобы отображение 7" топологнческого пространства Х в типологическое пространство Г было непрерывно, необходимо н достаточно, чтобы прообраз всякого замкнутого множества из 1' был замкнут (в Х). ЯО) О 1/2 1 Я1/2) Рнс. 11 Легко убедиться, что образ открытого (замкнутого) множества прн непрерывном отображении не обязатегаьно открыт (замкнут). Рассмотрим, например, отображение полуинтервзла Х = [0,1) на окружность.

Множество [1/2, 1), замкнутое в [О, 1), переходит при этом в незамкнутое множество на окружности (рис. 11). Отображение называется оп1крмтмзз, если оно переводит каждое открытое множество снова в открытое. Отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое, называется замкнутым. Для непрерывных отображений справедлива следующая теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной функции.

Теорема 7. Пусть Х, У и Я вЂ” топологические пространства и пусть у' и 1а - непрерывные отображения Х в У и У в Е соответственно. Тогда отображение х ~-~ 1а(Дх)) пространства Х в Я непрерывно. Доказательство этой теоремы сразу получается из теоремы б. На топологические пространства распространяется понятие гомеоморфизма, введенное нами в 21 для метрических пространств,.

а имен1ю, отображение 1 топологического пространства Х на топо- логическое пространство 1' называется гомеоморфизмоза, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно; пространства Х н 'г' прн этом называют зозаеоморфнымп. Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологнческнми свойствами, и с топологической точки зрения их можно рассматривать просто как два экземплнра одного н того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и прообразами друг друга.

Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому любая совокупность топологнческих пространств !Ез Рл. бч Метрические и пюпологичссиис просглрансп1ео распадается на непересекающиеся классы гомеоморфных между со- бой пространств. Замечание. Следует иметь в виду, что метрические свойства двух гомеоморфнь!х между собой метрических пространств могут быть различны '). Так, одно из них может быть полно, а другое — нет. Например, интервал ( — х/2,х!'2) гомеоморфен числовой прямой (соответствующий гомеоморфизм можно задать функцией х -ч 1кх, во при этом прямая — полное пространство, а интервал— нет.

6. Аксиомы отделимости. Хотя многие из основных понятий теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические пространства, все же такие пространства представляют собой объект, слишком общий с точки зрения задач авализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических пространствах. Так, мы видели, что конечное множество точек в топологическом пространстве может быть не замкнутым (пример 4, п. 1, З 5) и т.и. Среди топологических пространств можно выделить пространства, более близкие по своим свойствам к пространствам метрическим.

Для этого следует к аксиомам 1' и 2' топологического пространства (и. 1, з 5) присоединить еще те или нные дополнительные условия. Такими условиями служат, например, аксиомы счетности; они позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости. Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы — так называемые аксгголгм опгделилгосгпи. Мы перечислим эту серию аксиом в порядке их постепенного усиления. Аксиома Т! (первая аксиома отделимости): для любых двух различных точек х и р пространства Т существуют окрестность Ох точки х, не содержащая точку р, и окрестность Оу точки р, не содержащая точку х.

Пространства, удовлетворяющие атой аксиоме, называются Тг-проспгрансгпвомп. Примером топологического пространства, не являющегося Тг-пространством, может служить связное двоеточие. В Тг-пространстве любая точка есть замкнутое множество. Действительно, если х ~ р, то существует окрестность Оу точки у, не содержащая я, т.е. у ф [х]. Поэтому [х] = х. Следовательно, г) Метрика пространства гс однозначно определяет его топологию, но не наоборот; одну и ту же топопогвю в и = (х,р) можно получить, задавая в х различные метрики. ~аз 1 5. Тоаологьчгскнв вгаатравства в Тыпространстве замкнуто и любое конечное множество точек. Более того, как легко проверить, аксиома Т1 в точности равносильна требованию замкнутости всех таких множеств, Выше (п.

1, з 5) мы определили предельную точку х множества ЛХ в топологическом пространстве Т как такую точку, для которой пересечение ППМ 1(х) непусто. Здесь (Х вЂ” произвольная окрестность точки х. В пространствах, не удовлетворяющих аксиоме Ты предельные точки могут иметь даже множества М, состоящие только из конечного числа точек.

Пусть Т вЂ” - снязное двоеточие с топологией, состоящей из И, (5) и (а,б). Тогда точка а является предельной для множества ЛХ = (6). В Тыпространствах такое явление уже не может иметь места. Именно, верно следуюп1ее утверждение. Лемма. Для того чтобы точка х была предельной для множества М в Т1-пространстве, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность (Х этой точки содержала бесконечно много точек нз М. Достаточность этого условия очевидна. Установим его необходимость. Пусть х.

предельная точка для М; допустим, что су~цествует такая окрестность ХХ точки х, которая содержит только конечное число точек из М. Пусть хы..., х„-- все эти точки, кроме самой х (если таковая принадлежит ЛХ). Тогда $' = ХХ ~ (хы..., х„) окрестность х и Ъ' П М '1 (х) = И. Всякое метрическое пространство заведомо является Тыпространством. Поэтому за определение предельной точки множеегва в метрическом пространстве и было принято свойство, указанное в лемме.

Усилением первой аксиомы отделимости является аксиома Тз. Аксиома Тз (вторая, или хаусдарфова, аксиома отделимости): любые две различные точки х и у топологического пространства Т имеют непересекающиеся окрестности Ох и О„. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Тз-пространствами, или хаусдарфовыми пространствами. Всякое хаусдорфово пространство есть Тыпространство, но не наоборот.

Примером не хаусдорфова Тыпространства может служить отрезок (О, 1), в котором открытыми считаются пустое множество и все множества, получающиеся из отрезка выбрасыванием не более чем счетного числа точек. Аксиома Тз (третья аксиома отделимости): любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся Гв. В.

Метрические и тополе»ические прострвисепвв 104 окрестности. При этом окрестностью множества М в топологическом пространстве Т называется всякое открытое множество ь', содержащее М. Этой аксиоме можно дать следующую эквивалентную формулировку: Любая окрестность П произвольной точки х содержит меньшую окрестность той же точки, входящую в !) вместе со своим замыканием. Читатель может доказать это в качестве упражнения. Поскольку и произвольном топалогическом пространстве зечка может не быть замкнутым множеством, третья аксиома отделимости интересна только для пространств, удовлетворяиндих аксиоме Т,. Пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам Т4 и 2з, называются реауллрмыми, Всякое регулярное пространство, разумеется, хаусдорфово.

Примером хаусдорфова пространства, не являющегося регулярным, мажет служить отрезок ~О, 1], в котором окрестности всех точек, кроме точки О, определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [О, а), из которых выкинуты точки вида 1/и (п = 1, 2,... ). Эта — хаусдорфово пространство, но в нем точка О и не содержащее ее замкнутое множество 11/и) не отделимы друг от друга непересекающимися окрестностями, т. е. аксиома Тз не выполнена.

Обычно в анализе не приходится встречаться с пространствами более общими, чем регулярные. Более того, как правило, интересные с точки зрения анализа пространства удовлетворяют и следующему более сильному требованию, так называемой нормальности пространства. Аксиома Те (аксиома нормальности): Тшпространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.

К нормальным пространствам относятся, в частноаги, все метрические пространства. Действительно, пусть Х и !' — два непересекающихся замкнутых множества в метрическом пространстве В. Каждая точка х б Х имеет окрестность О», не пересекающуюся с 1' и, следовательно, находится от )' на некотором положительном расстоянии р .

Аналогично расстояние каждой точки у б 1» от Х есть положительная величина ри. Рассмотрим открытые множества ) !! = ) ) В(х,р,/2) и Ъ' = )) В(у,ри/2), »ЕХ иеу ') Заесь, как обычно, В(х, е) — открытый шар радиуса г с центром х. 1 5. Топала»ические прасгпранстеа )05 содержащие Л и 1' соответственно, и покажем, что их пересечение пусто. Допустим, что г б Н С Г, Тогда в Х существует такая точка хо, что р(го,г) < рщ/2, а в У вЂ” такая точка уо, что Р(г; уо) < рв,/2. Пусть для определенности р», < ркю Тогда Р(хо, уо) < р(хо, г) + р(г, хо) < р» /2+ рв,/2 < р „ т.е.

хо 6 В(уо, ра ), но это противоречит определению р„„. Наше утверждение доказано, Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством нормальности. Нто, вообще говоря, неверно для произвольных нормальных пространств: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным. '1'аким образом, нормальность пространства не есть наследственное свойство' ). Наследственным свойством является так называемая полная регуллрносгдь топологических пространств, представляющая собой важное усиление свойства регулярности.

Топологическое Т!-пространство называется вполне Регуллрнылс, если для каждого замкнутого множества Г С Т и каждой точки хо Е Т1Р существует непрерывная па Т действительная функция /, равная нулю в точке хо, единице на Г и удовлетворяющая условию О < /(х) < 1. Всякое нормальное пространство вполне регулярно ), но не обратно. Любое подпространство вполне регулярного (в частности, нормального) пространства само вполне регулярно. А. Н.

Характеристики

Список файлов книги