А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Уравнение (5) вместе с начальным условием (6) эквивалентно интегральному уравнению (7) гго(х) = Ро + / У(1, 7го(7)) 711,. ео В силу непрерывности функции / 77лгеекг )/(х, у)) < гб в некоторой области С' С С, содеРжащей точкУ (хо, Уо). ПодбеРем 71 > 0 так, чтобы выполнялись условия: 1) (х, у) е С', если ~х — хв! < с1, 7р — у77( < Л 71; 2) 77771 < 1. 87 1 4. Г!риичисс ииииьиии«ии«х оишбооосиеиие Обозначим через С' пространство непрерывных функций .р, определенных на сегменте (х — хо( < с( н таких, что (~р(х) — уо( < Кс(, с метрикой р(рс, ~рз) = шах (!рс(т) — ~рз(х)(.
Пространс.тво С' полно, так как оно является залскнутьсм подпространстволс полного пространства всех неп1эорывных функшсй на (хо — сл,хо + Г)). Расслсотрил! отображение !у = А~р, .определяемое формулой Ф(х) = уо+ / У(! ср(!))М. ли где (х — хо( < И. Это отображение переводит полное пространство С* в себя и является в нем сжатном.
Действительно, пусть р е С*, (х — хо( < с(. Тогда (!«Л(х) — Уо( =' ! / 1(с, тэ(!))ГГ!) «< 7С с! «и и, следовательно, А(С*) с С*. Кроме того, (л8с(х) — ьу(х)( < ~ (((Г, о77(!)) — 7(Г, рт(!))(Гй < «и < 3 ХГГ шах (сл ! (х) — из (х) (. Так как Мс( < 1, то А — - сжатие. Отсюда вытекает, что уравнение со = А:р (т. е. уравнение (7)) имеет одно и только одно решение в пространстве С*. 2. Задача Коши для системы уравнгнн!1, Пусть дана система дифференциальных уравнений р',(х) = Ях,~рс(х),..., ~ои(х)), л' =- 1,...,и,, (8) с начольнымн условиями Р (хо) = уо, ( = 1,, и, причем функцисл Г! опрецелены н непрерывны в некоторой области С пространства Кисл, содержащей точку (хо,уом,уои), и удовлетворяют условию Лившица (,1,(х,у,'~,...,у!О) — Гс(х,у,,....,у„з!)( < ЛХ !пах (у,,' —,,' (.
Докажем, что тогда на некотором сегменте (х — хо( < с! сущсствует одно и только одно решение начальной задачи (8), (9), тли одна и только одна система функций !рс, удовлетворя!сил!!к уравнениям (8) и начальным условиям (9). Нл. П, Мснгричсснис и нгонологичесиггс нростронснто Г.'нстема (8) вместе с начальными условиями (9) эквивалентна свете'ме инзвграчьпых уравгеений эо;(х) =. де, + / )е(1,у1(1),...,гр„(с))с11, 1= 1,...,н.
(10) со В силу непрерывности функции Д ограничены в некоторой области С' С С, соДеРжашей точкУ (хе, Уаы..., 1Аи„), т. е. сУЩествУет такое постоянное число К, что !ц;(х, уы., ., й„)/ < К. Подберем с! ) 0 так, чтобы выполнялись условия: 1) (х,ды....ун) Е С',если /х — хэ! < с(, )уг-1Ае,( < КсХ(г = 1г...,п); 2) Мс1 < 1. Рассмотрим пространство С„*, элементами которого являготся наборы ео = ( оы..., он) из и функций, определенных и непрерывных при ~х — хэ/ < с(, и таких, что /д(х) — уег/ < Ксг.
Определим метрику формулой р(~р, и1) = шах ~грг(х) — г(гг(х)). с,г Введенное пространство полно. Отображение гр = Арг задаваемое системой равенств 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям. 1. Уравнения Фредгольма. Применим теперь мстолсжпмакгщнх отображений для доказательства существования и единственностии решения неоднородного линейного интегрального у р а внепия Фрсдгольма второго рода, т.е. уравнения Ь У(х) = Л У К(х, у)У(у) с1у + у(х), о (11) Мх) с й *+ (" Л(А,МА)"- Ки(1))11 есть сясимагощсе отображение полного пространгтва С;, в себя. Действительно, р,"'(х) — ю("( ) = =- ~ [ус(1, р',"(Г),...,р'„0(1)) — у,(1,:р",(1),...,р~4(А)Я 11 со и, следовательно, щах ~гр, (х) — г)г, (х)! < Мс1 игах)сг, (х) — гго,.
(х)!. с,г с,г Отображение А -- сжимающее, поскольку Ме1 < 1. Г)тгюда вытекает, что операторное уравнение иг =- А:р имеет одно и только одно решение в пространстве С„'. ! 4, принцип сам!~магон!их огпобрааменпя где К (так называемое ядро) и !Р суть данные функции, 1 -- искомая функция, в Л -- произвольный параметр. Мы увидим, что наш метод применим лигпь при достаточно мальгх значениях параметра Л. Предположим, что К(х, у) и !Р(х) пепрерывнь! при о < х < Ь, а < у < Ь и, следовательно, ~К(х, у) ~ < М. Рассмотрим отображение д = А1 полного пространства С(гг, Ь) в себя, задаваемое формулой д(т) = Л ) К(х, у)у(у) г)у+ у(гх).
а Имеем Р(дг,дз) =шах дг(з!) — дз(х)~ < ~Л!ЛХ(Ь вЂ” п)шах,'(г(х) г,(х)! Следовательно, при Л < „отображение А — сжимакицсе. 1 Из принципа сжимающих отображений заключаем, что для вся- кого Л с !Л, '< — уравнение Фредгольма имеггт един!:твенпое 1 непрерывное решение. Последовательные приближения к этому рс- шеншо Д, )г,..., 1п,... иагг ют вид о зп(х) = Л / К(х, у))п г(у) г)у + Р(х), где в ка гсстве !ев(х) можно взять любую иепрерывптю функцию. 2. Нелинейные интегральные уравнения. Принцип сжимающих отображений можно применить и к нелинейному интегральному уравнению вида ((х) .= Л / К(х,у;у(у)) г)у+ Р(х),.
(12) где К и гР непрерывны и. кролге того, ядро К удовлетворяет условшо Лившица по своему «функцнонвлыгому» аргументу: !К(х,.у;х!) К(х,у; 3)! < ЛХ!х! хз!. В этом гпгучас для отображения д = Ау полного пространства С(г!. Ь) в себя, заданного фора!улой д(х) — — Л (е К(х, у: Ду)) г!у+ гР(х), (13) а имеет место неравенство шах )д! (х) — дз(х) ! < )Л)ЛХ(Ь вЂ” а) шах!у! (х) — уг(х)(, гце д, = А,г"г, д! = А1ю Следовательно, при )Л( < — отобра- 1 жение А будет сжимакяцим.
!уе !!. Меаамч«ские а топо«огичеекие ~ растр«ест«а 3. Уравненил Вол ьтерра. Рассмотрим, наконец., интегральное уравнение типа Вольтерра Х )(х) .=. Л / К(х, у)((у) ду+:р(х). (14) « Здесь, в отличие от уравнений Фредгольма, верхний предел в интеграле — переменная величина х. Формально это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив функцию К равенством: К(х, у) = О при у > х.. Однако в случае интегрального уравнения Фредгольма мы были вынуждены ограннчитьгя малыми значениями параметра Л, а к уравнениям Вольтерра принцип сжимающих отображений (и метод последовательных приближений) применим прн всех зиачепилх Л. Точнее, речь идет о следующем обобщении принципа сжимающих отображений.
Пусгпь А — такое непрерывное отображение полного метрического пространства Л в себя, что некотпорал его спитепь В = А" лвллетсл сэсатием; тогда уравнение Ах = х имеет одно и только одно решение. Действительно, пусть х — — неподвижная точка отображения В, т.е. Вх = х. Имеем Ах = АВьх = ВгАх =Вьхо — > х, й-г оо, ибо отобрюкение В - — сжимающее, а потому последовательность Вхо, Ваха„Вгхо,...
дла любого хо Е В сходитсЯ к неподвижной точке х отображения В. Следовательно, Ах = х. Эта неподвижная точка единственна, поскольку всякая точка, неподвижная относительно А, неподиижна и относ!«тельно сжимающего отображения А", дпя которого неподвижная точка может быть только одна.
Покажем теперь, что некоторая степень отображения АУ(х) = Л 1 К(х,у)У(у) ду+:~(х) « является сжатием. Пусть !! н (г -.-две непрерывные функции на отрезке [а, Ь]. Тогда х [А!!(х) — Ага(х)[ = [Л[/ ~ К(х у)(Л(у) — Уг(у)) ду!~ ~ « < [Л[ЛХ(х — а)щах[!!(х) — !г(х)[. 1 и токолоекксскас иростраьстоа в! Здесь М .= шах ~К(х, у)~.
Отсюда , )а /А'1»(а) — А »а(х)/ ~( ~Л~»М — 2 !»!ах!)»(х) — за(х)/ и, вообще, Ь )Аа)»(х) — А"~а(х)( ( (Л("Ма ! ' и» ~~ Ф'»Чаев где и» = п»ах !,)! (х) — ~а(х) /. Прн любом значении Л число и можно выбрать настолько боль- )Л)" М" (Ь вЂ” а)" Тогда отобралкеппе А" будет сжатием. Итак, уравнение Вольтерра (14) прн любом Л имеет решение, и притом единственное.
з б. Топологические пространства 1. Определение и примеры топологических пространств. Основные понятия теории метрических пространств (пр»дельная точка, точка прикосновешш, замыкание множества и т.д.) мы ввалили, опираясь на понятие окрестности нли, что, по существу, то же самое, на понятие открытого множества. Эти последние понятия (окрестность, открытое множество) в свою очередь определялись с полющыо метрики, заданной в рассматриваемом пространстве. Можно, однако, стать на другой путь и, не вводя в дапвом множестве»»'.
метрику, непосредственно определить в Л систему открытых л!нохсегтв посредством аксиом. Этот путь., обеспечивая значительно ббльшую свободу действий., приводит нас к топологическим пространствам, по отнош»ннпо к которым метрические пространства представляют собой х»лтя и весьма важный, но несколько специальный случай. Определение. Пусть Х вЂ” некоторое множество -- пространство-носитель.
Топологией в Х называется л»абая система г его подмножеств О, удовлетворяющая двум требованиям; 1'. Само мнохсество Х и пустое множество О принадлежат т. 2'. Сумма () С' л»обого (конечного нли бесконечного) н пересечео а няе Д Гь любого коне*того числа мяожес»в из т принадлежат т. л=» Множество Х с заданной в нем топологией т, т.е. пара (Х, т), называется топологичесхил» простпранстоом. 92 Гл.!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
